信息技术应用 用计算机绘制函数图象优质课一等奖

《函数单调性的应用》教学设计

成都市新都一中

谭莉

一、教学内容解析

1.教学内容及地位

本节课是人教版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的应用的第二课时，主要是让学生理解和掌握函数单调性的应用。

函数单调性是函数概念后研究的第一个，也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理论基础，如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用。因此，函数单调性是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地，故函数单调性的应用这堂课显得非常重要。

2.教学重点

已知函数的单调区间，解抽象不等式，分段函数的单调性，复合函数的单调性，利用函数单调性的定义研究未知函数的单调性问题

3.教学难点

复合函数的单调性，利用函数单调性的定义研究未知函数的单调性问题

二、学生学情分析

1.教学有利因素

学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数、反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，高中函数单调性的第一课时，已经从理论上对函数单调性进行了数学语言的表达，并且已经学习了复合函数的基本概念，并且对复合函数有了简单的认识。

2.教学无利因素

分段函数、复合函数、分式函数、抽象不等式都是学生在高中才接触的，这几个数学概念对于刚进入高中进行学习的学生来说，都有较大困难，而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平比较薄弱，抽象概括能力也不强。

三、课堂教学目标

1.

让学生理解并掌握如下技能：求已知函数的单调区间，解抽象不等式，分段函数的单调性，复合函数的单调性，利用函数单调性的定义研究未知函数的单调性问题；

2.

让学生通过实例体会数形结合、分类讨论等数学思想方法；

3.

引导学生主动探究，并积极展示，上台讲解，养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼学生探究、概括和交流表达的能力，引导学生主动参与到知识生成的整个思维过程中，力求使学生在积极、愉快的课堂氛围中提高自己的认知水平；

四、教学策略分析

教学是教师的教和学生的学共同组成的传递和掌握社会经验的双边活动。在这期间，教师只是起主导作用，而学生才是教学活动的主体。为了体现以学生为主体，遵循高一年级学生的认知规律，体现循序渐进和启发式的教学原则，这节课可采用综合运用直观演示、讨论、自学、练习并辅以多媒体等多种形式的教学方法。在教学中，要加强师生间的双向活动，启发引导学生自主探究，发挥其主观能动性，以使学生学会学习。节课我以新课改理念为指导，根据高一学生的认知规律，以教师为主导，以学生为主体，引导学生主动参与到知识生成的整个思维过程中，力求使学生在积极、愉快的课堂氛围中提高自己的认知水平，从而达到预期的教学效果。

五、教学过程

根据以上分析，我的教学过程设计了以下五个教学环节。1、提前预习，完成导学案；2、

1

复习旧知；3、学生展示，教师反馈；4、归纳小结，深化目标；5、任务后延，自主探究。下面我将对这五个教学环节逐一进行介绍。

1、提前预习，完成导学案。为了让学生能够更加自信地进行课堂展示，我提前一天把导学案发到学生手里，让学生有充足的时间去思考每一个题，并且用规范的语言书写、作图，以便于第二天进行讲解和分享。

2、复习旧知。数学知识的应用必须依托数学概念本身，所以本节课是函数单调性的应用，那么学生必须首先要熟悉函数单调性的相关概念和性质，才能具备学习本课的基础，故本环节必不可少。

3、学生展示，教师反馈。我认为激发学生的学习兴趣，让学生成为课堂的主人，让每一位啊学生的脑袋都动起来，不走神，才是真正高效的课堂，而打破传统老师满堂灌的方式，我把课堂交给学生，让学生大胆地上台利用多媒体展台展示自己的做法，并且给全班进行讲解，但是老师并不是甩手掌柜，而是要对整个课堂进行全程把控，并且在学生讲解语言不规范的时候，及时提出进行修正，在学生讲解深度不够到位的时候，及时进行点拨和提升，这样在老师和全体同学的共同参与下，解决相应的问题。

4、归纳小结，深化目标。对于本节课知识的归纳，我是在每一种题型讲完的时候，及时进行归纳总结，这样学生能够在例题的基础上，形象地理解知识的应用，并做好笔记以便后续复习，这样能够保证难点逐个突破。

5、任务后延，自主探究。通过以上四个环节的学习，同学们已经掌握了本节课的所学内容。但是，根据艾宾浩斯的遗忘曲线，必须进行及时复习。所以，应该让同学们及时复习本节课所学的内容并做一些相应的练习。作业就是相应知识对应的“固学案”。

六、导学案和答案预设

（一）复习回顾

1.

函数单调性定义：对于定义域A的一个给定的子集区间M（MA），如果取区间M内的任意两个值x1，x2，且x1x2，则：

①

当f（x1）f（x2）时，就称函数y＝f（x）在区间M上是增函数；

②

当f（x1）f（x2）时，就称函数y＝f（x）在区间M上是减函数．

注意：（1）如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性．（区间M称为单调区间．）

（2）同一个函数可能有多个不同的单调区间，这些区间之间不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”连接。

（3）单调递增的等价形式

f(x1)f(x2)x1x200(x1x2)[f(x1)f(x2)]0

x1x2f(x1)f(x2) （4）单调递减的等价形式

f(x1)f(x2)x1x200(x1x2)[f(x1)f(x2)]0

x1x2f(x1)f(x2)2. 证明单调性的步骤：取值——作差——变形——定号——判断

变形常用技巧：因式分解、配方、分子有理化、立方和立方差公式

3. 结论：增函数+增函数=增函数； 减函数+减函数=减函数；

2

增函数-减函数=增函数； 减函数-增函数=减函数

4.

复合函数的单调性

（1）复合函数的定义：函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数yf[g(x)]称为复合函数，其中yf(u)称为外函数，ug(x)称为内函数。

（2）复合函数的单调性——简称：同增异减

内函数

增

减

增

减

增

减

外函数

增

减

减

复合函数

增

增

减

（二）典型例题

题型一

求单调区间（图像法）

例1

求下列函数的单调区间

（1）f(x)1

（2）f(x)xx2

x2教学预设：解：（1）利用图像，可得单增区间为(,2),(2,)；

（2）利用图像，可得单增区间为(0,1),(2,)，单减区间为(,0),(1,2)。

注意：多个单调区间之间只能用“，”，不能用“”。

题型二

解抽象不等式（注意：________________________）

例2 已知定义在[1,4]上的函数f(x)是减函数，求满足不等式f(12a)f(3a)0的实数a的取值范围。

教学预设：解：f(x)的定义域为[1,4]

112a4

13a4f(12a)f(3a)0且函数f(x)是减函数

32a0112a413a4，即1a2

12a3a2a1a0

故a的取值范围是[1,0]。

此题要注意：定义域先行。

3

题型三

分段函数的单调性（注意：________________________）

例3 若函数f(x)教学预设：解：(2b1)xb1,x0x(2b)x,x02在R上为增函数，则实数b的取值范围。

f(x)是R上的增函数

要保证左段增，右段增，结点在左段的值小于或等于右段的值。

12b10b22b0，b2

b12(1)b101b2

分段函数的单调性问题注意：一段一段地保证单调性，还要注意结点位置的值。

题型四

复合函数的单调性（注意：________________________）

例4 求函数f(x)x22x3的单调区间。

教学预设：解：定义域先行

令x2x30，得：x1或x3

令ux2x3，则yu

由于外函数单增，内函数在(,1]上单减，在[3,)上单增。

22f(x)的单增区间为[3,)，单减区间为(,1]。

复合函数单调性要注意：定义域先行。

类型五

函数单调性定义的应用

例5 利用单调性的定义，证明函数函数f(x)x证明：任取x1,x2(0,)，且x1x2，

21

在区间(0,)上是增函数。

xf(x1)f(x2)x12112(x2)

x1x2

4

2(x12x2)(11)x2x1(x1x2)

x1x2

(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x21)x1x2x1,x2(0,)，且x1x2

x1x20，x1x20,10

x1x2(x1x2)(x1x21)0x1x2

f(x1)f(x2)0

f(x1)f(x2)

x1x2

1f(x)x2

在区间(0,)上是增函数。

x

ax11(a)在(2,)上的单调性；

x22a(x2)12a12aa教学预设：解：f(x)

x2x2例6 讨论函数f(x)任取x1,x2(2,)，且x1x2，

f(x1)f(x2)a12a12a(a)

x12x22

12a12a

x12x22(12a)(x2x1)

(x12)(x22)

2x1x2，x2x10，x120,x220

当12a0，即a1(12a)(x2x1)0时，2(x12)(x22)

5

此时函数f(x)在(2,)上为增函数

当12a0，即a1(12a)(x2x1)时，02(x12)(x22)

此时函数f(x)在(2,)上为减函数

综上，当a11时，函数f(x)在(2,)上为增函数；当a时，函数f(x)在(2,)22上为减函数。

注意：此题是分式函数，可以先分离常数后，再作差，运算量小一点，另外由于本题含参，说不清楚问题的时候，必须采用分类讨论思想。

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