实习作业第二课时教学实录

第1讲

函数图象与性质

高考定位

1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.

真

题

感

悟

ex－e－x1.(2018·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝x2的图象大致为(

)

ex－e－x1解析

f(x)＝x2为奇函数，排除A；当x>0时，f(1)＝e－e>2，排除C，D，只有B项满足. 答案

B 2.(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(

) A.－50

B.0

C.2

D.50 解析

法一

∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(4

＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，又f(0)＝0，知f(2)＝f(0)，f(4)＝f(0)＝0，由f(1)＝2，知f(－1)＝－2，则f(3)＝f(－1)＝－2，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C. 法二

由题意可设

πf(x)＝2sin2x，作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2. 答案

C 3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(

) A.f(x)在(0，2)上单调递增

B.f(x)在(0，2)上单调递减

C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称

解析

由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝

ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误. 答案

C 4.(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝πxcos 2，0

因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期为4.又因为在区间(－2，2]上，f(x)＝

1x＋，－2

2

πxcos 2，0

考

点

整

合

1.函数的图象

(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性

①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 2.函数的性质

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x). ②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0. ③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性. (3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数. ②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数. ③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数. 1④若f(x＋a)＝－f(x)或f（x＋a）＝f（x），则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数. 易错提醒

错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.

热点一

函数及其表示

lg（1－x2）【例1】

(1)函数y＝2的定义域为(

) 2x－3x－2A.(－∞，1] B.[－1，1] 11C.－1，－2∪－2，1

11D.－1，－2∪－2，1

－x2，x≤0，(2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)0，是(

) A.(－∞，－1]

C.(－1，0)

B.(0，＋∞)

D.(－∞，0) 21－x>0，解析

(1)函数有意义，则2

2x－3x－2≠0，－1

x≠2且x≠－2.1所以函数的定义域为x－1

(1)C

(2)D 探究提高

1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可. (2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解. 2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则. 【训练1】

(1)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，

则A∩B＝(

) A.(1，2)

B.(1，2]

C.(－2，1)

D.[－2，1) x＋12，x<0，(2)(2018·郑州质检)函数f(x)＝

且f(a)＝－2.则f(14－a)－log2（x＋1）＋2，x≥0.＝________. 解析

(1)由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，

由1－x＞0得x＜1，∴B＝(－∞，1).∴A∩B＝[－2，1). (2)当x<0时，f(x)＝2x＋1>0，由f(a)＝－2，知－log2(a＋1)＋2＝－2，∴a＝15.故f(14－a)＝f(－1)＝2－1＋1＝1. 答案

(1)D

(2)1 热点二

函数的图象及应用

【例2】

(1)(2018·浙江卷)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是(

)

|2x＋1|，x<1，(2)(2018·合肥调研)已知函数f(x)＝

若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，log2（x－m），x>1，x2，x3互不相等)，且x1＋x2＋x3的取值范围为(1，8)，则实数m的值为________. 解析

(1)设f(x)＝2|x|sin 2x，其定义域关于坐标原点对称，又f(－x)＝2|x|·sin(－2x)－＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故排除选项A，B；令f(x)＝0，则sin 2x＝0，所kπ以x＝2(k∈Z)，故排除选项C.故选D. (2)作出f(x)的图象，如图所示，可令x1

答案

(1)D

(2)1 探究提高

1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断. 2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究. sin x【训练2】

(1)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋x2的部分图象大致为(

)

(2)(2018·贵阳质检)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(

) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值

C.有最小值－1，无最大值

D.有最大值－1，无最小值

sin x解析

(1)法一

易知g(x)＝x＋x2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋xsin x＋x2的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项D满足. 法二

当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.

(2)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|

综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值. 答案

(1)D

(2)C 热点三

函数的性质与应用

考法1

函数的奇偶性、周期性

【例3－1】

(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则

f(－a)＝________. (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________. 解析

(1)设g(x)＝f(x)－1＝ln(1＋x2－x)，则g(x)为奇函数.由f(a)＝4，知g(a)＝f(a)－1＝3.∴g(－a)＝－3，则f(－a)＝1＋g(－a)＝－2. (2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期.∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，

又f(x)在R上是偶函数，

∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6. 答案

(1)－2

(2)6 考法2

函数的单调性与最值

【例3－2】

(1)(2018·湖北名校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(32a－1)≥f(－3)，则a的最大值是(

) A.1

1B.2

1C.4

3D.4

(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(

)

A.a

C.b

B.c

D.b

解析

(1)f(x)在R上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，由f(33最大值是4. (2)法一

易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，

∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0. ∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数. 又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，

∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b. 法二

(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log25.1>20.8，

从而可得c>a>b. 答案

(1)D

(2)C 探究提高

1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解. 2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性. log3x－2，x>0，【训练3】

(1)(2018·潍坊模拟)若函数f(x)＝

为奇函数，则

g（x），x<0f(g(－3))＝(

) A.－3

B.－2

C.－1

D.0 2a－1)≥f(－3)＝f(3)，∴32a－113≤3，则2a－1≤2，∴a≤4.故a的(2)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________. 解析

(1)由题意得g(－3)＝f(－3)＝－f(3)＝2－log33＝1.因此f[g(－3)]＝f(1)＝log31－2＝－2. (2)由题意知f(x－1)>f(2). 又因为f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，

所以f(|x－1|)>f(2)，即|x－1|<2，解得－1

答案

(1)B

(2)(－1，3)

11.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f(x)＝xln x的定义域时，只考虑x>0，忽视ln x≠0的限制. 2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0；若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x). 3.三种作函数图象的基本思想方法

(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；

(2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线；

(3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状. 4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.

一、选择题

x，0

) 2（x－1），x≥1，A.2

B.4

C.6

D.8 解析

由已知得a>0，∴a＋1>1，

∵f(a)＝f(a＋1)，∴a＝2(a＋1－1)，

11解得a＝4，∴f a＝f(4)＝2(4－1)＝6. 答案

C x3－x2.(2018·西安质检)函数f(x)＝x－x的图象是(

) e＋e

x3－x解析

f(x)＝x－x为奇函数，排除选项A，B，由f(x)＝0，知x＝0或x＝±1，选e＋e项D满足. 答案

D 3.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(

) A.y＝ln(1－x)

C.y＝ln(1＋x)

B.y＝ln(2－x) D.y＝ln(2＋x) 解析

法一

设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x). 法二

由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B. 答案

B 4.已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(

) A.a＜b＜c

C.c＜a＜b

B.a＜c＜b

D.c＜b＜a

解析

由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，

所以f(x)＝2|x|－1. 所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，

b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，

c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c

答案

C x－12e，x<1，5.(2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝3则f[f(x)]<2的解集为(

) x＋x，x≥1，A.(1－ln 2，＋∞)

C.(1－ln 2，1)

B.(－∞，1－ln 2) D.(1，1＋ln 2) 解析

因为当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f(x)＝2ex－1<2，∴f(f(x))<2等价于f(x)<1，即2ex－1<1.因此x<1－ln 2. 答案

B 2|x＋5x＋4|，－4≤x≤0，6.已知定义在D＝[－4，4]上的函数f(x)＝对任意x∈D，2|x－2|，0

) A.7

B.8

C.9

D.10 解析

作出函数f(x)的图象如图所示，由任意x∈D，f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，由图可知|x1－x2|max＝8，

|x1－x2|min＝1，所以|x1－x2|的最大值与最小值之和为9. 答案

C 二、填空题

7.(2018·成都诊断)函数f(x)＝132x－2＋的定义域为________. x＋112x－≥0，2解析

由题意得：解得x>－1. x＋1≠0，答案

{x|x>－1} 8.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且f(log14)＝－3，则2a的值为________. 解析

∵奇函数f(x)满足f(log14)＝－3，而log14＝－2<0，∴f(－2)＝－3，即f(2)22＝3，

又∵当x>0时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，又2>0，

∴f(2)＝a2＝3，解之得a＝3. 答案

3 9.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________.

解析

在同一坐标系中画出函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象，如图所示. 根据图象，当x∈(－1，1]时，y＝f(x)的图象在y＝log2(x＋1)图象的上方. 所以不等式的解集为(－1，1]. 答案

(－1，1] 三、解答题

10.(2018·深圳中学调研)已知函数f(x)＝a－22x＋1. (1)求f(0)；

(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；

(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)

(1)f(0)＝a－220＋1＝a－1. (2)∵f(x)的定义域为R，

∴任取x1，x2∈R且x1

则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1

＝2·（2x1－2x2）（1＋2x1）（1＋2x2），

∵y＝2x在R上单调递增且x1

∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0.

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

即a－22＝－a＋，

2－x＋12x＋1解得a＝1(或用f(0)＝0去解). ∴f(ax)

又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2. 11.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a. (1)求函数f(x)的极值；

(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围. 2解

(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－x＝0，得x＝1. 当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，

所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，

2所以k′(x)＝1－x，

令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，

所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a. 因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1，3]上恰有两个不同零点，

即有k(x)在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，

k（1）≥0，1－a≥0，所以k（2）<0，即有2－2ln 2－a<0，

k（3）≥0，3－2ln 3－a≥0，解得2－2ln 2