习题2.2教学实录

1．1.2

弧度制

学习目标

1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．

知识点一

角度制与弧度制

思考1

在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？

1答案

周角的等于1度．

360思考2

在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？

答案

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示．

思考3

“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？

答案

“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．

梳理

(1)角度制和弧度制

角度制

弧度制

(2)角的弧度数的计算

l如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. r知识点二

角度制与弧度制的换算

思考

角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？

180π答案

利用1°＝

rad和1 rad＝进行弧度与角度的换算．

π°180梳理

(1)角度与弧度的互化

角度化弧度

360°＝2π rad

180°＝π rad

弧度化角度

2π rad＝360°

π rad＝180°

用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1

360长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制

π1°＝

rad≈0.017_45 rad

180

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

度

弧度

知识点三

扇形的弧长及面积公式

思考

扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？

0°

0

1°

π

18030°

π

645°

π

460°

π

390°

π

21801 rad＝≈57.30°

π°120°

135°

150°

180°

270°

360°

2π

33π

45π

6π

3π

22π

答案

设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则：

扇形的弧长

扇形的面积

1．1 rad的角和1°的角大小相等．(

×

) π提示

1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝

rad. 1802．用弧度来表示的角都是正角．(

×

) 提示

弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数．

3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(

√

) 提示

“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．

α为度数

l＝απR

180α为弧度数

l＝αR

11S＝lR＝αR2

22απR2S＝

360

类型一

角度与弧度的互化

例1

将下列角度与弧度进行互化．

7π11π(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－. 125考点

弧度制

题点

角度与弧度的互化

20ππ解

(1)20°＝＝. 1809

15ππ(2)－15°＝－＝－. 180127π7(3)＝×180°＝105°. 121211π11(4)－＝－×180°＝－396°. 55反思与感悟

将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即180可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可．

π°跟踪训练1

(1)把下列角度化成弧度：

①－150°＝________；②2 100°＝________；

③11°15′＝________；④112°30′＝________. (2)把下列弧度化成角度：

π5π①＝________；②－＝________；

639π5π③＝________；④－＝________. 2012考点

弧度制

题点

角度与弧度的互化

5π35π5π答案

(1)①－

②π

③

④

63168(2)①30°

②－300°

③81°

④－75°

类型二

用弧度制表示终边相同的角

例2

把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．

23π(1)－1 500°；(2)；(3)－4. 6考点

弧度制的应用

题点

弧度制的应用

解

(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. 5π∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角．

323π11π(2)∵＝2π＋，

66∴23π11π与终边相同，是第四象限角．

66π(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π.

2∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．

反思与感悟

用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是

整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．

跟踪训练2

(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；

2π(2)在[0°，720°]内找出与角终边相同的角．

5考点

弧度制的应用

题点

弧度制的应用

π74π解

(1)∵－1 480°＝－1 480×＝－，

180974π16π16π而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，∴α＝. 99916π∴－1 480°＝＋2×(－5)π.

92π2π180(2)∵＝×°＝72°，

55π2π∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，

5当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°. 2π∴在[0°，720°]内与角终边相同的角为72°，432°. 5类型三

扇形的弧长及面积公式的应用

例3

(1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为(

) 5π3π23πA．π

B.

C.

D.

439(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为(

) 24A．2

B.

C．2sin 1

D.

sin 1sin 1考点

扇形的弧长与面积公式

题点

扇形的弧长与面积公式的综合应用

答案

(1)A

(2)D 解析

(1)扇形的中心角为120°＝2π，半径为3，

3112π所以S扇形＝|α|r2＝××(3)2＝π.

223(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角22形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2×sin 1sin 1＝

4. sin 1

11反思与感悟

联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如22果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算．

跟踪训练3

一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．

考点

扇形的弧长与面积公式

题点

扇形的弧长与面积公式的综合应用

解

设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，

1∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，

21得1＝(4－2R)·R，

2l2∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，

R1即扇形的圆心角为2 rad.

1．下列说法正确的是(

) A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧

B．1弧度是长度为半径的弧

C．1弧度是1度的弧与1度的角之和

D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小

考点

弧度制

题点

弧度制的定义

答案

D 解析

由弧度的定义可知D正确．

8π2．把化为角度是(

) 5A．270°

B．280°

C．288°

D．318°

考点

弧度制

题点

角度与弧度的互化

答案

C 解析

8π8π180＝×°＝288°. 55π3．若θ＝－5，则角θ的终边在(

) A．第四象限

B．第三象限

C．第二象限

考点

弧度制的应用

题点

弧度制的应用

答案

D 解析

2π－5与－5的终边相同，

π0，，

∵2π－5∈2D．第一象限

∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．

3π4．已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为(

) 83π3π3π3πA.

B.

C.

D.

16842考点

扇形的弧长与面积公式

题点

扇形的面积公式

答案

C 13π13π解析

由S＝|α|r2得＝×α×12，所以α＝. 28242π5．已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：

3(1)弧AB的长；

(2)扇形所含弓形的面积．

考点

扇形的弧长与面积公式

题点

扇形的弧长与面积公式的综合应用

2解

(1)l＝α·R＝π×6＝4π，

3所以弧AB的长为4π.

11(2)S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π.

222如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120°，

3

所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，

1于是有S△OAB＝×AB×OD

21＝×2×6cos 30°×3＝93. 2所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－93.

所以弓形的面积是12π－93.

1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．

2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．

180π易知：度数×

rad＝弧度数，弧度数×＝度数．

π°1803．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．