习题2.3国家获奖教案

课时跟踪检测（十九）

幂函数

层级一

学业水平达标

-11．在函数①y＝x，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x2中，是幂函数的是1(

) A．①②④⑤

C．①②⑥

B．③④⑥

D．①②④⑤⑥

解析：选C

幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是1α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；2⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常数函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．

12．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点2，2 ，则k＋α＝(

) 13A.

B．1

C.

22

D．.2 11，2 ，∴k＝1，f 

＝解析：选A

∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点221

α＝2，即α＝－1，∴k＋α＝1. 2223．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(

) A．y＝x2

－

B．y＝x1

－C．y＝x

2D.y＝x

－213解析：选A

所给选项都是幂函数，其中y＝x和y＝x是偶函数，y＝x2－1和y＝x不－213是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A. 4．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(

) 12在

解析：选B

y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项

B. 12121212

5.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(

) A．n

C．n>m>0

2n，所以n＜m＜0. 6．若y＝axa2-12

B．mn>0 解析：选A

由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x＝2时，2m＞是幂函数，则该函数的值域是________．

1a-22解析：由已知y＝ax为[0，＋∞)．

答案：[0，＋∞) 是幂函数，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故该函数的值域127．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：

x f(x)

则f(x)的单调递增区间是________．

1211α＝2，解析：因为f ＝，所以即α＝，所以f(x)＝x的单调递增区间是[0，＋∞)．

22222答案：[0，＋∞) 18．设α∈－1，2，1，3，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值121

1

1

22

2是________．

解析：因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1. 答案：－1 9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x反比例函数；(3)幂函数．

解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则

m2＋m－1＝1，2∴m＝1. m＋2m≠0，m2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)

(2)若函数f(x)为反比例函数，则

2m＋m－1＝－1，2∴m＝－1. m＋2m≠0，

(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±2.

10．比较下列各组数的大小．

(1)3-72和3.222325-72；

23－π；

－(2)和36(3)4.1和3.8-43. -72解：(1)函数y＝x2323在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3232323-72＞3.2-72. 22ππ2π－＝，－＝，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞，所(2)3366362π－＞－. 以3644(3)4.1＞1＝1,0＜3.8－＜1－＝1，

334所以4.1＞3.8－. 32525252323层级二

应试能力达标

1．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x1a-2为幂函数，则实数a的值为(

)

1a-2A．－1或2

C．－1

B．－2或1 D．1 解析：选C

因为f(x)＝(a2－a－1)x又a－2≠0，所以a＝－1. 2．下列结论中，正确的是(

) 为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

1C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数

2D．.当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数

解析：选C

当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)＞0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α＞0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选C.

3311414，c＝12，则(

) 3．设a＝，b＝252A．a

C．b

34

B．c

D．b

解析：选D

构造幂函数y＝x

(x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知1xa>b；构造指数函数y＝2，由该函数在定义域内单调递减，所以aa>

B.

14．如下图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则2对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为(

)

11A．－2，－，，2 2211B．2，，－，－2 2211C．－，－2,2，

2211D．.2，，－2，－

22解析：选B

要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，11C4，所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，，－，－2. 225．若(a＋1) 12＜(3－2a) 1212，则a的取值范围是________．

解析：函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，

a＋1＞0，所以3－2a＞0，a＋1＜3－2a，2－1，

答案：36．已知函数f(x)＝x正整数α＝________. 解析：取值验证．α＝1时，y＝x，不满足；α＝2时，y＝x0-13

2解得－1＜a＜. 31-a3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的，在(0，＋∞)上是减函-23数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y＝x答案：3 满足题意．

7．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k. (1)求m的值；

(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．

解：(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2. 当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0. (2)由(1)可知f(x)＝x2. 当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增，

∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]．

∵A∪B＝A，∴B⊆A，

2－k≥1，∴⇒0≤k≤1. 4－k≤4

∴实数k的取值范围是[0,1]．

8．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1

(m∈N*) (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．

解：(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，而m与m＋1中必有一个为偶数，

∴m(m＋1)为偶数．

∴函数f(x)＝x(m2＋m)1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．

－(2)∵函数f(x)经过点(2，2)，

∴2＝2(m2＋m)－1，即2＝212(m2＋m)－1. ∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2. 又∵m∈N*，∴m＝1. 2－a≥0，由f(2－a)＞f(a－1)得a－1≥0，2－a＞a－1.31，. ∴实数a的取值范围为2

3解得1≤a＜. 2