信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学内容

选修2-1《2.2.1椭圆及其标准方程》的教学设计

龙山中学 张松贵

一、教学目标

1．知识目标：①掌握椭圆的定义、方程及标准方程的推导；②掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距；③了解建立坐标系的选择原则. 2. 能力目标：培养学生口头表达的能力，充分“激活”学生潜在思维.

3. 德育目标：使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数与形”的辩证统一. 4. 品质目标：培养学生善于观察，勤于思考，敢于钻研的良好的学习品质. 二、本章内容的数学分析

1.《圆锥曲线与方程》是选修2-1第二章的内容，是高中数学中重要的内容，圆锥曲线的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。《2.2.1椭圆及其标准方程》是整个解析几何部分的重要基础知识，从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的一次演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础.所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。通过对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。

2.学情分析

在学习本节内容以前，通过对必修3《直线与圆》以及选修2-1《2.1曲线与方程》的学习，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，对曲线的方程的概念有一定的了解，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。

同时，经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了一定的提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。但是，在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时予以指导。

3.教学对策

有效学习的关键在于学生学习的主动性，而主动性与学习的动机、所学内容的价值性、趣味性和学习任务是否具体清楚等都有非常密切的关系，这些相关的积极因素越多，学习的主动性就会越强。这就需要教师在教学中，充分挖掘积极因素，促进学生主动地学习。

本节作为圆锥曲线的起始课，在激发学生学习主动性上应给予更多的关注。本课在设计上先动员学生查找圆锥曲线的资料，促使学生了解数学在人类文明发展中的作用。在《椭圆》的教学活动中，通过让学生展示圆锥曲线在实际中的应用的资料以及信息技术的应用，使学生感受数学的文化背景，增加用数学的意识。对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力。

三、信息技术环境下的教学结构设计

如何在信息技术环境下达到本节知识目标、能力目标、德育目标和品质目标1

呢？下面笔者给出此节课的结构设计：

[在多媒体教室中启动电脑、放下投影屏幕、打开《几何画板》(4.06版)软件等] 1.引入概念：

教师一边口述一边在《几何画板》软件中进行操作：用“画点”工具作出两个定点A和B，再用“画线段”工具作出线段CD，使|CD|>|AB|，选中线段CD后单击【作图】工具栏中“线段上的点”作出点E，分别以点A、B为圆心|CE|和|DE|长为半径作圆，两圆相交于点F、G，请同学们叙述交点F、G所满足的条件.(如图1) 同学们聚精会神地观察投影屏幕上教师作的图形后异口同声地回答：交点F、G满足到点A、B的距离之和等于线段CD的长. 教师：哪一位同学再叙述得更精确一些？

学生甲：交点F、G满足到两个定点A、B的距离之和等于常数|CD|，且|CD|>|AB|. 教师：回答得非常好.那么它们的轨迹是什么？

全体学生：不知道. 教师：下面我们就通过技术的优势来观察它们的轨迹将会是什么图形.选中点F、G之后单击单击【显示】工具栏中“追踪点”，接着选中线段CD上的点E后单击【编辑】工具栏中“操作类按钮”的“动画”可得到点E的运动按钮“”，启动此按钮即可得到两圆交点F、G的轨迹.(如图2) 注：此轨迹的形成与教材P.38的“拉线”法形成轨迹原理本质完全相同，课堂上准备了相应材料请同学们进行了操作(这种学生亲自动手的能力特别重要). 教师：刚才得到的这种图形不是我们已经学过的圆，更不是直线，那么它是什么曲线呢？请同学们翻开课本P.38，齐声朗读第三段. 全体学生: 我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 2.推导方程：

如图3，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合. 设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（－c,0），(c,0). 又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.

由椭圆定义，椭圆就是集合

P=｛M∣∣MF1∣+∣MF2∣=2a｝

因为∣MF1∣=(xc)2y2，∣MF2∣=(xc)2y2

所以得：(xc)2y2+(xc)2y2=2a

整理得：（a2－c2）x2+a2y2=a2(a2－c2). 由椭圆的定义可知：2a＞2c，即a＞c，故a2－c2＞0. 2

令a2－c2=b2，其中b＞0，代入上式整理得：

x2y21(ab0)

a2b2说明：其中具体整理步骤让学生自主得到. 3.巩固训练：

上面我们进行了椭圆概念的引入，方程的推导，利用信息技术的优势再一次在《几何画板》软件进行巩固训练：

教师：用“画圆”工具作出两个定圆A和圆B，使圆A内含于圆B，再作出与圆A内切且与圆B外切的动圆M，切点分别为P、Q，请同学们观察投影屏幕动手在草稿上作演算，说出动圆圆心M的轨迹是什么？(如图4) 学生乙上来在黑板上书写：

∵圆M与圆A内切，与圆B外切，

∴由两圆内切和外切的性质可得：

|MA||MQ||AQ|，|MB||BP||MP|，|MA||MB||MQ||AQ||BP||MP||AQ||BP|

即点M到定点A、B的距离之和等于定值|AQ||BP|(亦即两定圆半径之和)，所以点M的轨迹是一个椭圆. 教师：回答很好！哪一位同学再补充？

学生丙：因为动点M到定点A、B的距离之和等于定值|AQ||BP|，且此定值大于|AB|，故由椭圆定义可知，点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆. (全班同学对学生丙的出色叙述报以热烈的、鼓励的掌声！)

教师：屏幕上老师已设置了动圆M的动画按钮，追踪了圆心M，哪一位同学上来启动动圆的“运动点”按钮？

学生丁启动了动圆的“运动点”按钮，得到了点M的轨迹.(如图5) 四、信息技术在学习进程中作用设计

信息化教学设计是强调以学为中心、促进学习者综合能力的教学模式.具有以下特点：

设计核心：教学过程设计，重视学习资源的利用. 主要教学模式：探究/研究型学习、资源型学习、合作型学习，主动参与学习. 教学周期：以单元为单位. 教学评价：采用过程评价、作品集评价、集体评价、即时评价等方式. 在信息化教学设计中，充分利用信息技术手段进行基于资源、基于合作、基于研究、基于问题等方面的学习，使学习者在意义丰富的情境中主动建构知识.因此，对于《2.2.1椭圆及其标准方程》的信息化教学设计的基本原则可以归纳3

为以下几点：

1.以学为中心，注重学习者学习能力的培养，教师是作为学习的促进者，引导、监控和评价学生的学习进程. 2.充分利用各种信息资源来支持学. 3.以“任务驱动”和“问题解决”作为学习和研究活动的主线，在相关的有具体意义的情境中确定和讲授学习策略与技能. 4.强调“协作学习”，这种协作学习不仅指学生之间、师生之间的协作，也包括教师之间的协作，如实施跨年级和跨学科的学习等. 5.强调针对学习过程和学习资源的评价. 五、学习效果反馈总结

教育科研成果也是一个如何转化为教育生产力的问题.新的教育理论、教学方法、教学模式，最终转化为教育、教学质量的提高，需要教师将掌握的教育理论、教学方法和教学模式运用于自己的教学过程.教学模式管理就是促进这一过程的实现，就是发挥教育管理的功能，使教学模式理论优化我们的教学结构、教学过程和教学评价，使教学模式理论转化为教育生产力.

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