3.4.1 函数与方程优质课教案整理

教学设计方案

课题名称

年级学科

一、教材分析

本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。

第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数yf(x)零点就是方程f(x)0的实数根，即函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法：如果函数yf(x)在区间a,b上图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得《3.1.1方程的根与函数的零点》

高一数学

作者

河北昌黎第一中学 刘学娟

f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。

二、学情分析

1.学生具备的知识与能力

(1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x轴的交点横坐标之间的关系。

(2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。

2. 学生欠缺的知识与能力

(1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出来. 三、教学目标

根据新课标对本节课的教学要求：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。考虑到学生的认知能力在不断完善和思维能力更加成熟以及追求自我、敢于创新等心理特征，并结合以上对教材的分析，制定了以下教学目标：

（一）知识与技能：

（1）了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系,掌握函数零点存在性判定定理。

（2）培养学生自主发现、探究实践的能力。

（二）过程与方法：

经历“类比——归纳——应用”的过程，通过研究具体二次函数，探究函数存在零点的判定方法。从具体的二次函数到抽象函数，从而得出函数的零点定义及其相关定理。在认知过程中培养学生分析问题，探究实践的能力，并渗透相关的数学思想。

[来源:学.科.网]1

（三）情感态度与价值观：

在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值，树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，并初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。鼓励学生通过观察类比提高发现、分析、解决问题的能力，同时培养学生自主探究，合作交流的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。

四、重点难点分析

重点：零点的概念；零点存在的判定方法。

难点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系），零点存在判定方法的探究及应用（体现判定方法：条件、结论、应用）。

五、教法学法分析

本节学习的主要载体是函数图象。为了使学生构建一个从具体到抽象的过程，除了二次函数图象外，应用几何画板作出了部分函数的图象，通过观察加深对定理的理解，提高课堂效率。注重学生的学习体验，精心设置一个个问题，并以此为主线，由表及内、由浅入深，逐步突破重点和难点。

以问题为纽带，通过问题引出研究对象，通过探究生成新知，通过应用巩固新知，让学生经历动手实践、自主探究、合作交流的过程来主动获取知识，培养学生发现问题，探究问题，解决问题的能力。

六、课程资源分析

课本、考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具如：平板电脑、电子白板及白板笔、PPT课件、几何画板软件、互动课堂软件，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．

七、教学过程设计

教学环节

教师活动

探究问题1：求下列方程的根

预设学生活动

设计意图

从学生的认知冲突出（1）x-10

（2）x2-2x-30（3）2x0

观察、思考，能顺利完成（1）发，引发学生的好奇心——（4）题

2 （4）log2x0和求知欲，让学生带着问

环节（一）：

设问激疑，创设情景

环节（二）：启发引导，感知概念

[来源:学科网]小组讨论后能解决（5）、（6）题，（7）是无法完成的．

题学习，推动问题进一（6）lnxx10(5)exx10

步的探究．

（7）lnx2x60

探究问题2：完成下列表格：

一元二次方程

x10

图象与x轴交方程的根

与方程对应的函数

yx1

yx22x3函数的简图

点的坐标

完成表格，推送展示

通过对熟悉的三个方程根的情况分析培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程的根与函数图象的关系打下基础．

以学生熟悉的方程和函数为平台，观察方程和函数形式上的联系，把从具体方程得出的结论推广到一般方程的情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的解决问题的能力．

x22x30

2x0

y2x

思考后回答问题：方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标

将表格以板书推送形式下发给学生

探究问题3：方程的根与相应函数图象和x轴交点坐标有什么关系？

[来源:学科网ZXX

环节（三）：辨析讨论，明确概念

给出函数零点的概念：

对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。

辨析讨论，深化关系

方程f(x)0是否有解等价于函数yf(x)是否存在零点

函数的零点是数不是点

方程有实数根

观察归纳

形成概念

让学生明确方程的根，函数的零点，函数图像与x轴交点横坐标之间的关系

函数yf(x)的图象与x轴有交点

函数yf(x)有零点

3

环节（四）：初步运用，示例练习

1、你能从下列函数图象中分析出函数有几个零点吗？

完成老师所给题目；生生互动出题解题。

利用函数图象直观的特点，进一步突破函数零点与方程根相互转化这一难点。

加深学生对方程的根与函数零点的理解。

y[来

x

O

你能给你的同桌画一个函数图象，让他分析一下函数的零点个数？

2、函数f(x)(x1)(x4)的零点为（

）

A、（1,0），（2,0），（-2,0）

B、1,2 C、1,2，-2

3、判断下列函数是否有零点，若有请求出

2

完成所给题目。题后归纳总结：函数图象与x轴有几个交点，函数就有几个零点

完成教师给的题目，总结求函数零点的方法

巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况．进一步掌握函数零点的概念，并对其进行应用体会方程与函数的关系．

1x

(3)ylog2x2(4)y2x2(1)yx22x1;(2)y

问题探究4：对于函数一小组为单位，探究讨论后拍照上传展示

创设情境，让学生主动去探索、发现，变被动式的灌输为主动的探索及发现，通过感知和归yf(x),x[a,b],f(a),f(b)，满足什么条件有零点呢？

教师下发事先准备好的学案

y纳，学生的积极性被极大调动，定理得到深层次的处理及重新建构，从而培养了学生的思维品质和学习能力。

环节（五）：

讨论探究，揭示定理

问题ox

探究5：

yf(x),x[a,b],f(a)f(b)0，f(x)在区4

利用具体图像，通过观小组讨论后给出反例

察、对比，加深对函数

间[a,b]上一定有零点吗？

必须连续的理解

正例巩固

反例强化

点存在的判定方法：

培养学生的观察及归纳能力。2.培养学生的数形结合思想

条件：①函数f(x)的图象在[a,b]上连续；

归纳定理内容：如果函数y②f(a)f(b)0；

结论：f(x)在(a,b)内存在零点

＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

环节（六）新知应用与深化

问题探究6：已知函数f(x)lnx2x6

（1）存在零点吗？

（2）若存在能具体求出值吗？

（3）零点大致存在在哪个区间更精确些？

（4）还有其他零点吗？

学生独立思考后，小组为单位讨论，展示成果

问题（1）不同的学生会给出不同的区间

（2）运用前面的方法无法解决

（3）讨论激烈

（4）给出不疼的方法

（一）利用单调性

（二）作出（1）

四个问题的设置

层层递进，初步应用零点的存在性定理来判断函数零点的存在性问题，提高学生解决问题的能力； （2）

运用前面学过的

方法：图像、解方程的方法不能解决，激发学生的探究欲望；

（3）不同的学生会给出不同的区间，为二分法的学习埋下伏笔；

（4）强化学生对函数零f(x)lnx2x6的图像

（三）在同一坐标系中分别作ylnx与y2x6的图像，看焦点个数

5 点、零点存在定理的深刻理解与直观认识

环节（七）正反例证，深入挖掘

问题1：函数满足条件且存在零点，零点个数一定唯一吗？

问题2:如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象是

连续不断的一条曲线，那么当f(a)f(b)0

时，函数在区间(a,b)）内一定没有零点吗？

问题3：若f(x)在区间(a,b)内有零点时，一

定有f(a)f(b)0吗？

学生小组讨论后展示

强调函数零点存在定理的三个注意点：

1、

函数的图像是连续不断的。 2 、定理不可逆。 3 、至少有一个零点。

通过探究，学生知道判断在某个区间是否存在零点，但是在该区间里零点到底有几个呢？再一次引起学生认知冲突。

环节（八）训练反思，巩固提高

1、函数f(x)28的零点是

A.（3，0）B. 3 C. （4，0） D. 4 2、函数

f(x)3x

零点所在的区间是

x2x学生完成后上传，统计答题情况

巩固学过的知识，检测学生学习的效果，便于教师掌握学生的学习情况

A. （-2，-1） B. （-1，0 ）

C. （0，1） D. （1，2） 3．求函数f(x)lnx的零点个数.

环节（九）概括总结

分层作业

6

2x本节课我们学习了哪些知识？掌握了哪些方法？体会了哪些思想？

知识：

①零点的概念，方程的根与函数零点的关系。

②连续函数零点存在性定理。

方法：数形结合（数缺形时开放式小结，使不同的学生有不同的学习体验和收获. 引导学生主动建构，形成知识体系；

少直观，形缺数时难入微），

等价转化

思想：特殊到一般，具体到抽象

作业布置：

必做题：课本第88页练习1；习题3.1A组2 选做题：已知f(x)x2x3a,a取何值时能分别满足下列条件:

① 2个零点;②3个零点;③4个零点. 2

根据不同层次学生的学习能力，分层布置作业.拓展学生的自主发展空间.

探究题：预习3.1.2 探究如何求方程 lnx2x60的根. 思考题:若函数yf(x)在某个区间内有零点,如何求出这个零点?

八、教学评价设计

根据本节课的特点，我从以下三个方面进行教学评价：

1.关注学生在整个探究过程中的表现，包括学生的投入程度、思维水平的发展.具体体现在：

（1）在对数函数概念形成的过程中，观察学生的思维发展过程，学生的概括问题的能力

（2）在对数函数的性质的探究过程中，考察学生动手操作能力和分析解决问题的能力

2.在练习中检测学生对本节知识的掌握情况。

3.根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏，以便调控教学。

九、教学反思

1、逐层铺垫，降低难度

本节课实际上是《数学分析》中的介值定理下放中学课程，如何把理论性很强的内容深入浅出地让学生理解是这节课的着力点，因此设计符合学生认知规律，从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和有兴趣的问题开始，通过设疑迁疑让学生逐步理解本课程及一些高等数学思想方法。如反例、条件的变换与结论的关系等等，对学生今后学习和分析数学问题很有帮助。

2、恰当使用信息技术

恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程. 3、采用“启发引导—讨论探究—概括归纳”教学模式

精心设置问题链，要给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会。以提高学生的学习兴趣，体会、掌握基本数学思想方法，掌握“三基”，提高初步探究能力为主。

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板书设计

3.1.1 方程的根与函数的零点

1.零点的概念

2.函数零点方程的根函数图像与x轴交点的横坐标。

3.零点存在定理：

条件：①函数f(x)的图象在[a,b]上连续；

②f(a)f(b)0；

结论：f(x)在(a,b)内存在零点

4.问题解析

5.课堂练习

6.小结

7.作业

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