小结名师教学视频（文字实录）

数形结合的简单应用

简阳市石桥中学

王兴彬

一、教学目标

1、

知识与技能目标：

利用数形结合思想与方法解决函数相关问题。

2、

过程与方法目标：

通过典型例题及变式迁移，让学生体会如何把代数问题通过数形结合方法转化解决。

3、

情感与价值目标：

培养学生积极参与，大胆探索和勤于思考、善于思考的学习习惯，提高学习数学的能力与兴趣，增强学生学习数学的自信心和自主性。

二、教学重难点：

掌握和理解数形结合的思想方法及等价转化方法的应用。

三、教学模式：

范例迁移和多媒体辅助教学。

四、课型：

复习专题。

五、教具准备：

直尺、多媒体。

六、教学过程：

入门导学：

函数是高考考查的重点和难点，而函数的一个很重要的特点就是抽象性太强，如何让函数更形象和直观-----那就是函数的图象。一个很重要的课题摆在我们面前，如何画出比较准确的函数图象以及灵活运用数形结合思想解决有关的函数问题。(画函数图象的方法和要点)

课前练习：

Y 2x1、方程x20有

个根。

解析：一般超越方程无法解出根的准确值，但可以通过

其他方式（借助函数图象）确定有几个根。

2x方程x20有几个根

2xx2方程有几个根



2x函数与函数有几个交点。

yxy2

点评：超越方程构建函数并结合函数图象找根的个数或

范围。

O

X

2、函数f(x)lnxx2有

个零点。

Y 解析方法一：

等价变形后利用函数图象解决问题。

yx2ylnx

函数f(x)lnxx2有几个零点

方程lnxx20有几个不同实数根

X O 方程lnxx2有几个不同实数根

函数ylnx和yx2图象有几个交点。

作图后可知，函数f(x)有两个零点。

解析方法二：

从理解函数零点概念出发，运用零点存在定理和函数单调性破题。

函数的定义域为0,，由f(x)11知f(x)在

xY

X O

1

（1，+）递减，

在(0,1)递增，易知：f极大值(x)f(1)10

且x时，f(x)0

x0时，f(x)0

所以f(x)在（

0,1）和（1，+）都各有一个零点。所以，函数f(x)有两个零点。

点评：两种方法都用了一定的数学思想，相比而言，方法一易于操作而且更简单，较复杂的函数零点个数问题通过等价转化和构建函数转化成两个较为简单的函数图象的交点个数问题。

3、已知奇函数f(x)定义域为xx0且f(1)0,f(x)0恒成立，则不等式xf(x)0的解集为

。

解析：由题易知f(1)0和f(x)在0,和,0都递增

结合函数f(x)的图象

Y

-1

O

1

X 由又由x0f(x)0得x1

x0f(x)0得x1

所以，原不等式的解集为xx1或x1

另外，构建的函数F(x)xf(x)是偶函数，我们只需要找到(0,)内

解并由对称性即可得到解集。

点评：抽象函数求值用赋值法，而其他问题主要通过图象来解决。

例1：已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x1)f(x1)，

且x1,1时，f(x)x2，则函数yf(x)与ylog9x的图象有

个交点。

解析：本题关键在如何画出函数yf(x)的图象

①

先画出f(x)在1,1上的图象

②

由f(x1)f(x1)可知函数f(x)的一个周期为2，刚才恰好画了一个周期的图象，由此可以画出f(x)的图象。

③

画出函数ylog9x的图象可知他们有8个交点。

Y

O

X 1

9 

x例2：已知函数f(x)21，当abc时，有f(a)f(c)f(b)，则（

）

(1).a0,b0,c0

(2).a0c,b0,

(3).2a2c

(4).2a2c2

解析：画出函数yf(x)图象后，直观反映了单调性，由题意易知

（2）

a0,c0，以及b的可能范围，排除（1）Y 又a可以趋于，所以（3）被排除，故选（4）

点评：用了

①

变换作图；

②

函数的单调性分析；

1 ③

排除法。

a

b

O

c

1

X

3x,x1

例3：已知函数

f

(

x

)



，若f(m21)f(tm1)恒成立，

2xx2,x1

求实数t的取值范围。

解析：由于m11恒成立，于是有2f(m21)(m21)3复杂而且f(tm1)的表达不确定。所以得另寻他路，从不等式特征上看，能否结合函数f(x)的单调性解题，于是需要函数其实f(x)的单调性很容易得到。

f(x)的单调性，解：作出函数f(x)的图象，

所以函数f(x)在R上递增，

所以f(m21)f(tm1)

可化为m1tm1

即mtm20恒成立，

即t80

222Y

1

O

1

X 得22t22

点评：用图象解函数题更直观形象，有时避免讨论或其他复杂的过程。

小结：

一、数形结合能解决的常见问题有

1.解决方程根的个数问题. 2.解决有关解不等式的问题. 3.解决有关取值范围或最值的问题. 4.解决有关函数的单调性的问题. 5.构造图形解决一些抽象函数的问题. 二、解决策略：

数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，在选择、填空中更显优越。

数形结合在解题过程中应用十分广泛，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些