3.3 幂函数教学设计实例

§2.1.2幂函数的图象与性质

【教学目标】

知识与技能：

1、理解幂函数的概念；

2、通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.

过程与方法：

类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质.

情感态度与价值观：

1、进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

2、体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 【教学重点】从五个具体的幂函数中认识的概念和性质

【教学难点】从幂函数的图象中概括其性质。

【教学方法】通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质

。

【教学过程】

问题引入

阅读教材P77的具体实例（1）~（5），思考下列问题.

1、它们的对应法则分别是什么？

2、以上问题中的函数有什么共同特征？

让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论！

答：

1、（1）乘以1 ；（2）求平方；（3）求立方

；

（4）求算术平方根

；（5）求－1次方。

2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：yx，其中自变量x为底，指数是常数.

自变量前的系数为1，幂前的系数也为1.

一、幂函数的定义

一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数. 1如yx2,yx3,yx14等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 强调：

1、幂函数yx的定义域是使x有意义的实数x的集合

2、注意辨析幂函数yx与指数函数yax(a0且a0。)

130422736.doc 问题探究

二、幂函数的性质探究

2-1、几类特殊幂函数的图像特征

1（1）yx

（2）yx2

（3）yx2

（4）yx1

（5）yx3

提问：如何画出以上五个函数图像？

引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个函数的图像.

y=x3

yx2

yx

41yx2

12yx3y=x-1

-50 510-2-4-6

让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性-8质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质-10.

通过观察图像，填P91探究中的表格

yx

yx2

yx3

1yx2

yx1

定义域

R R R x|x0

x|x0

奇偶性

奇

奇

奇

非奇非偶

奇

在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ象限在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ象象限的象限单单调递增

象限单象限单限单调递增减性

调递增

调递增

调递增

减

定点

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

2-2、幂函数yx性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点

（原因：1x1）；

（2）0时，幂函数的图象都通过原点，并且在

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[0,)上是

函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.

例3、判断下列两个值的大小

（1）2,16特别地：

当1时，x(0,1)，yx的图象都在yx图象的下方，形状向下凸，越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）

当01时，x(0,1)，yx的图象都在yx图象的上方，形状向上凸，越小，上凸的程度越大（你3

；

323216（2）(x1),x2(x0)

24（3）(a24)4,4

能说出原因吗？）

（3）0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是

函数.

在第一象限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.

例1、已知函数f(x)(m2m1)x5m1，当m为何值时，f(x)是：①幂函数；②正比例函数；③反比例函数；④二次函数。

例2、证明：幂函数f(x)x在[0,)上是增函数。

证：任取x1,x2[0,),且x1x2则

f(x1)f(x2)1x

x2=(x1x2)(x1x2)xx

12=x1x2x

1x2

因

x1x20，x1x20

所以

f(x1)f(x2)，

故

f(x)在x[0,上是增函数).

思考：

我们知道，若f(x)0，则f(x1)f(x1f(x1)f(x2)。2)你能否用这种作比的方法来证明f(x)x在[0,)上是增函数？利用这种方法需要注意些什么？

130422736.doc

※点评：

利用幂函数的单调性来比较大小.

【练习】

1、判断下列函数哪些是幂函数：

（1）y =5x；

（2）y2x；

（3）yx0.3；

⑷y1x4；

⑸yx1；

（6）yxx。

2、比较大小.

33⑴1.551.75；⑵0.51.50.71.5；

33⑶2.251.85；⑷0.51.20.71.2

2323、a(35)5,b(25)5,c(255)，则a、b、c从小到大的顺序是

。

4、若函数f(x)(m2m1)xm22m1是幂函数，且是偶函数，则m。

4、求下列函数的定义域：

1⑴y(2x5)2；

⑵y(x3)15

32⑶yx2；

⑷yx3。

5、课本P79习题§2.3

1、2

小结：

1、我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？

2、你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？

【作业】书上：《测评卷》P75“2.3 幂函数”

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