习题2.2课时教学实录

《对数函数单调性的习题课》教学设计

数学组

田涛

教学目标：会用对数函数的单调性解决问题，培养学生数形结合的能力;培养学生大胆尝试、团结合作的精神和严谨的态度，以及喜欢数学的兴趣与情感，帮助学生树立学好数学的自信心。

教学重点：对数函数单调性的应用

教学难点：底数a对对数函数的影响

（Ⅰ）设置情景

复习回顾

师：前面我们学习了对数函数的单调性，请同学们回忆一下对数函数的单调性是如何描述的？

生1：当a1时，对数函数ylogax在(0,)内是增函数；

当0a1时，对数函数ylogax在(0,)内是减函数

师：今天我们就利用对数函数的单调性来解决一些问题。

（Ⅱ）探求与研究

问题1：（幻灯片1）

11已知0a1,b1且ab1,若mlogab，nloga，plogbbb则下列各式中成立的是()

A.pmnB.mpnC.mnpD.pnm师：给大家一分钟的讨论时间，然后告诉我结果。

生2：首先观察m、n、p三个式子，可以判断出m0,n0,p10，然后再判断m与p的大小。p可以写成ploga11，此时m与p同底，然后比较b与的大小，因为aa1，因此mp，答案应为B。

aa0,b0,ab1，所以b全体同学异口同声说：好！

师：回答得非常好！那我们看，比较大小的实质就是“求同”，利用对数函数的单调性来比较。我们来看第二题

问题2：（幻灯片2）

求函数ylog0.2(x24x5)的单调区间

生3：这是一个复合函数，首先要求定义域，我们可令ux24x5，则ylog0.2u在(0,)内是减函数，现在我们来求函数ux24x5的单调区间，易得u在(1,2)是增函数，u在(2,5)是减函数，所以，函数ylog0.2(x24x5)在(1,2]是减函数，在[2,5)是增函数。

师：看来大家对于求复合函数的单调区间问题掌握的很好，应该注意的问题也注意到了。提

醒大家一句在求函数的单调区间时，若题中没给定义域，要先求定义域。这道题也是对数函数单调性的一个简单应用。我们来看第三题。

问题3：（幻灯片3）

若函数yloga21(x)在其定义域内是减函数，则a的取值范围是()

A.|a|1B.|a|2C.|a|2D.1|a|2师：也给大家一分钟的讨论时间。

生4：我们可以把这个函数看作一个复合函数，令ux，则函数ux在(,0)

是减函数，若要使函数yloga21u在(,0)上是减函数，需满足a211，解之得|a|2。

师：他说的完全正确……，还没等我把话说完，一位同学站起来说：我还有一种解法，同学们都在注视着他。这位学生边板演边讲解

生5：我是从图像的角度考虑的。根据题意，我们可以画出函数yloga21(x)的草图，根据图像的对称性，可以画出函数ylog(a21)(x)关于y轴对称的函数ylog(a21)x的图像，知函数ylog(a21)x在(0,)是增函数，所以a211，即|a|2。

大家都为他的解法鼓起了掌

师：利用图像的对称性，运用的是数形结合的思想。妙！

我们回头看一下这三道题（比较两个数的大小，求复合函数的单调区间以及求参量的取值范围），最后都化归为对数函数的单调性问题来解决。

那么如何判断和证明以对数函数为载体的函数的单调性问题呢？先看第一道题。

问题4：（幻灯片4）

判断函数f(x)lg(x21x)(x0)的单调性并证明。

师：大家做完之后可以交流一下看法。

大约三分钟之后，一位同学站了起来，我示意他到前面来板演，边做边讲。

生6：因为yx21在(,0)上是减函数，yx在(,0)上也是减函数，所以函数f(x)lg(x21x)在(,0)上是减函数。证明过程是这样的：根据函数单调性的定义，作差比较f(x1)-f(x2)与零的关系，转化成比较x11x1x21x222与1的关系，利用不等式的基本性质可以得出x11x1x21x222即f(x1)f(x2)0也就是f(x1)f(x2)，1，因此函数f(x)lg(x21x)在(,0)上是减函数。

另一位同学霍地站起来，我还有一种证明方法。

师：好！快说！我们都在期待你的方法。

生7：因为ylgx在(0,)是增函数，所以我们可以比较真数的大小，即比较x11x1与x21x2的大小，利用不等式的基本性质可知x11x1因此lg(x11x1)lg(x21x2)，即f(x1)f(x)lg(x21x)在(,0)上是减函数。

22222x21x20，2f(x2)，所以函数哗……一阵热烈的掌声。这时又有一位同学站起来了，大家都很惊诧。

生8：能否利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明这道题。

师：具体一点. 生9：首先求这个函数的反函数，再证明反函数的单调性。

大家议论开了：这种方法比较麻烦，而且容易出错。

师：大家能否评价一下这三种做法。

生10：第一种是根据对数函数单调性的定义来证明的，第二种也是从函数单调性的定义出发，直接比较f(x1)与f(x2)中真数的大小。第三种则是利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明的。相对来说，第二种方法比较好一些。

师：他说的非常好！第一种方法大家都容易想到的就是利用定义，第二种方法也是利用定义，只不过比较对象变了；第三种方法是利用互反的两个函数的关系来做的，想法很好。但运算量较大，而且容易出错。三种方法各有特点，可根据自己的情况适当选择。一般情况下，证明函数的单调性就是要利用函数单调性的定义。我们再来看第二题。

（Ⅲ）演练与反馈

问题5：（幻灯片5）

函数f(x)logaxb(b0,a0,且a1)xb

(1)求函数f(x)的定义域(2)判断函数f(x)的单调性并证明师：这是一道判断含参的函数的单调性问题，大家可以互相交流看法。然后告诉我你们的解题思路。

生11：根据对数式真数大于零，可得x(,b)(b,)。证明单调性的方法同第4题，只不过需要对参数进行分类讨论。

师：大家同意他的看法吗？

学生齐声：同意。

师：我们再回头看一下判断和证明函数单调性的两道题，在证明函数单调性的时候，要事先在定义域中规定x1与x2的大小，无论我们用何种手段，只要能比较出f(x1)与f(x2)的大小，单调性就可判断。

总结：这5道题都是研究有关对数函数单调性的问题，我们处理的办法是从函数单调性的定义出发，这里对数函数只不过作为一个载体，最后都可归结为：以下三个结论，知其二，必知其一。

①x1x2，

②f(x1)()f(x2)，

③f(x)是增（减）函数