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高考总复习

高中数学高考总复习函数概念习题及详解

一、选择题

1．(文)(2010·浙江文)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(a)＝1，则a＝(

) A．0

C．2

[答案]

B [解析]

由题意知，f(a)＝log2(a＋1)＝1，∴a＋1＝2，

∴a＝1. x2

x∈－∞，2](理)(2010·广东六校)设函数f(x)＝，则满足f(x)＝4的x的值是

log2x

x∈2，＋∞

B．1

D．3

(

) A．2

B．16 D．－2或16 C．2或16

[答案]

C [解析]

当f(x)＝2x时.2x＝4，解得x＝2. 当f(x)＝log2x时，log2x＝4，解得x＝16. ∴x＝2或16.故选C. log3x

x>012．(文)(2010·湖北文，3)已知函数f(x)＝x，则f(f())＝(

) 92

x≤0

A．4

C．－4

[答案]

B

1B.

41D．－

411[解析]

∵f()＝log3＝－2<0 9911－∴f(f())＝f(－2)＝22＝. 941x2－1

x<1(理)设函数f(x)＝，若f(x0)>1，则x0的取值范围是(

) lgx

x≥1－

A．(－∞，0)∪(10，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－1,10) D．(0,10) [答案]

A 含详解答案

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x0<1x0≥1[解析]

由或⇒x0<0或x0>10. 21－x0－1>1lgx0>1

3．(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有(

) A．7个

C．9个

[答案]

C [解析]

由x2＝1得x＝±1，由x2＝4得x＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，－2,1,2}，故选C. 1－2x4．(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数f(x)＝，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图1＋x象关于直线y＝x对称，则g(1)等于(

) 3A．－

21C．－

2[答案]

D 1－2a[解析]

设g(1)＝a，由已知条件知，f(x)与g(x)互为反函数，∴f(a)＝1，即＝1，1＋a∴a＝0. 5．(2010·广东六校)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(1－x)的图象大致为(

)

B．－1 D．0

B．8个

D．10个

[答案]

A [解析]

解法1：y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称．将y＝f(－x)的图象向右平移一个单位得y＝f(1－x)的图象，故选A. 解法2：由f(0)＝0知，y＝f(1－x)的图象应过(1,0)点，排除B、C；由x＝1不在y＝f(x)的定义域内知，y＝f(1－x)的定义域应不包括x＝0，排除D，故选A. 含详解答案

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6．(文)(2010·广东四校)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表，填写下列g(f(x))的表格，其三个数依次为(

)

x f(x)

x g(x)

x g(f(x))

A.3,1,2

C．1,2,3

[答案]

D [解析]

由表格可知，f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝1，g(1)＝1，g(2)＝3，g(3)＝2，

∴g(f(1))＝g(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2，g(f(3))＝g(1)＝1，

∴三个数依次为3,2,1，故选D. (理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：

x f(x)

x g(x)

则方程g[f(x)]＝x的解集为(

) A．{1}

C．{3}

[答案]

C [解析]

g[f(1)]＝g(2)＝2，g[f(2)]＝g(3)＝1；

g[f(3)]＝g(1)＝3，故选C. 7．若函数f(x)＝loga(x＋1)

(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a等于(

) 1A.

3C.

B.2 D．2

B．{2} D．∅

1

3

2

2

3 1 1

2

2

3

3 1

1

2

3

1

1

2

3

3 2 1

2

2

3

3 1 B．2,1,3 D．3,2,1 2

2含详解答案

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[答案]

D [解析]

∵0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2，

又∵0≤loga(x＋1)≤1，故a>1，且loga2＝1，∴a＝2. gx＋x＋4，x＜gx8．(文)(2010·天津文)设函数g(x)＝x－2(x∈R)，f(x)＝，则f(x)gx－x，x≥gx2

的值域是(

) 9－，0∪(1，＋∞)

A.49－，＋∞

C.4[答案]

D x2＋x＋2

x<－1或x>2[解析]

由题意可知f(x)＝2

x－x－2

－1≤x≤2B．[0，＋∞) 9－，0∪(2，＋∞) D.4

17x＋2＋

1°当x<－1或x>2时，f(x)＝x2＋x＋2＝24由函数的图可得f(x)∈(2，＋∞)．

19x－2－，

2°当－1≤x≤2时，f(x)＝x2－x－2＝24119故当x＝时，f(x)min＝f＝－，

224当x＝－1时，f(x)max＝f(－1)＝0，

9－，0. ∴f(x)∈49－，0∪(2，＋∞)．

综上所述，该分段函数的值域为4(理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝

log21－x

x≤0，则f(2010)的值为(

) fx－1－fx－2

x>0

A．－1

C．1

[答案]

B

B．0 D．2 [解析]

f(2010)＝f(2009)－f(2008)＝(f(2008)－f(2007))－f(2008)＝－f(2007)，同理f(2007)＝－f(2004)，∴f(2010)＝f(2004)，

∴当x>0时，f(x)以6为周期进行循环，

∴f(2010)＝f(0)＝log21＝0. a，若a≤b；9．(文)对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝函数f(x)＝log1(3x2b，若a>b含详解答案

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－2)*log2x的值域为(

) A．(－∞，0)

C．(－∞，0]

[答案]

C a，若a≤b，[解析]

∵a*b＝而函数f(x)＝log1(3x－2)与log2x的大致2b，若a>b.

B．(0，＋∞) D．[0，＋∞)

图象如右图所示，

∴f(x)的值域为(－∞，0]．

1x(理)定义max{a、b、c}表示a、b、c三个数中的最大值，f(x)＝max{x－2，log2x(x>0)}，2，则f(x)的最小值所在范围是(

) A．(－∞，－1)

C．(0,1)

[答案]

C 1x1x与y＝[解析]

在同一坐标系中画出函数y＝，y＝x－2与y＝logx的图象，y＝222log2x图象的交点为A(x1，y1)，y＝x－2与y＝log2x图象的交点为B(x2，y2)，则由f(x)的定义1x知，当x≤x1时，f(x)＝2，当x1

∴f(x)的最小值在A点取得，∵0

B．(－1,0) D．(1,3)

10．(文)(2010·江西吉安一中)如图，已知四边形ABCD在映射f：(x，y)→(x＋1,2y)作用下的象集为四边形A1B1C1D1，若四边形A1B1C1D1的面积是12，则四边形ABCD的面积是

(

)

A．9

B．6 含详解答案

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C．63

[答案]

B

D．12 [解析]

本题考察阅读理解能力，由映射f的定义知，在f作用下点(x，y)变为(x＋1,2y)，∴在f作用下|A1C1|＝|AC|，|B1D1|＝2|BD|，且A1、C1仍在x轴上，B1、D1仍在y轴上，故1111SABCD＝|AC|·|BD|＝|A1C1|·|B1D1|＝SA1B1C1D1＝6，故选B. 2222x＋bx＋c

x≤0(理)设函数f(x)＝，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)2

x>02

＝x的解的个数为(

) A．1

C．3

[答案]

C [解析]

解法1：当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，

－42＋b·b＝4－4＋c＝c∴，解得，

2－2＋b·－2＋c＝－2c＝2x＋4x＋2

x≤0∴f(x)＝，

2

x>02

B．2

D．4

当x≤0时，由f(x)＝x得，x2＋4x＋2＝x，

解得x＝－2，或x＝－1；

当x>0时，由f(x)＝x得，x＝2，

∴方程f(x)＝x有3个解．

解法2：由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2可得，f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图如图所示．方程f(x)＝x的解的个数就是函数图象y＝f(x)与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解．

二、填空题

11．(文)(2010·北京东城区)函数y＝x＋1＋lg(2－x)的定义域是________．

[答案]

[－1,2) x＋1≥0[解析]

由得，－1≤x<2. 2－x>0

(理)函数f(x)＝x＋4－x的最大值与最小值的比值为________．

[答案]

2 x≥0[解析]

∵，∴0≤x≤4，f

2(x)＝4＋2x4－x≤4＋[x＋(4－x)]＝8，且f

4－x≥0

含详解答案

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2(x)≥4，

∵f(x)≥0，∴2≤f(x)≤22，故所求比值为2. xxπ[点评]

(1)可用导数求解；(2)∵0≤x≤4，∴0≤≤1，故可令＝sin2θ(0≤θ≤)转化为442三角函数求解．

cosx－112．函数y＝

x∈[0，π]的值域为________．

sinx－240，

[答案]

3[解析]

函数表示点(sinα，cosα)与点(2,1)连线斜率．而点(sinα，4cosα)α∈[0，π]表示单位圆右半部分，由几何意义，知y∈[0，]．

313．(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数，有下列函数

1x①f(x)＝sin2x

②g(x)＝x3

③h(x)＝3

④φ(x)＝lnx. 其中是一阶整点函数的是________．(写出所有正确结论的序号) [答案]

①④

[解析]

其中①只过(0,0)点，④只过(1,0)点；②过(0,1)，(1,1)，(2,8)等，③过(0,1)，(－1,3)等．

f2f3f201214．(文)若f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝1，则＋＋…＋＝________. f1f2f2011[答案]

2011 fa＋1[解析]

令b＝1，则＝f(1)＝1，

fa∴f2f3f2012＋＋…＋＝2011. f1f2f2011(理)设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列命题：

①b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实数根；

②c＝0时，y＝f(x)是奇函数；

③方程f(x)＝0至多有两个实根．

上述三个命题中所有的正确命题的序号为________．

[答案]

①②

[解析]

①f(x)＝x|x|＋c

含详解答案

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2x＋c，x≥0＝2，

－x＋c，x<0

如右图与x轴只有一个交点．

所以方程f(x)＝0只有一个实数根正确．

②c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx显然是奇函数．

2x＋bx，x≥0③当c＝0，b<0时，f(x)＝x|x|＋bx＝2

－x＋bx，x<0

如右图方程f(x)＝0可以有三个实数根．

综上所述，正确命题的序号为①②. 三、解答题

15．(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为1206t吨，(0≤t≤24)．

(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？

(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．

[解析]

(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，

则y＝400＋60t－1206t(0≤t≤24) 令6t＝x，则x2＝6t且0≤x≤12，

∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)；

∴当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，

即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．

(2)依题意400＋10x2－120x<80，

得x2－12x＋32<0，

832解得4

33328∵－＝8，∴每天约有8小时供水紧张．

33(理)某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米．

(1)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，AB长度应在什么范围内？

(2)若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方体形建筑，问AB长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计) 含详解答案

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DCNDx20－AD[解析]

(1)依题意得三角形NDC与三角形NAM相似，所以＝，即＝，AMNA30202AD＝20－x，

32矩形ABCD的面积为S＝20x－x2

(0

3要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，

2即20x－x2≥144，

3化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18. 所以AB长度应在[12,18]内．

2(2)仓库体积为V＝20x2－x3(0

3V′＝40x－2x2＝0得x＝0或x＝20，

当00，当20

80003所以x＝20时，V取最大值m，

3即AB长度为20米时仓库的库容最大．

16．(2010·皖南八校联考)对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：

fxgx，当x∈Df且x∈Dg，函数h(x)＝fx，当x∈Df且x∉Dg，gx，当x∈Dg且x∉Df.

1(1)若函数f(x)＝，g(x)＝x2，写出函数h(x)的解析式；

x－1(2)求问题(1)中函数h(x)的值域；

(3)若g(x)＝f(x＋α)，其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y＝f(x)，及一个α的值，使得h(x)＝cos4x，并予以证明．

[解析]

(1)由定义知，

xx－1，x∈－∞，1∪1，＋∞，h(x)＝

1，x＝1.1(2)由(1)知，当x≠1时，h(x)＝x－1＋＋2，

x－1则当x>1时，有h(x)≥4(当且仅当x＝2时，取“＝”)；

当x<1时，有h(x)≤0(当且仅当x＝0时，取“＝”)．

则函数h(x)的值域是(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)．

π(3)可取f(x)＝sin2x＋cos2x，α＝，则g(x)＝f(x＋α)＝cos2x－sin2x，

4含详解答案

2

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于是h(x)＝f(x)f(x＋α)＝cos4x. π(或取f(x)＝1＋2sin2x，α＝，则g(x)＝f(x＋α)＝1－2sin2x.于是h(x)＝f(x)f(x＋α)＝2cos4x)．

[点评]

本题中(1)、(2)问不难求解，关键是读懂h(x)的定义，第(3)问是一个开放性问题，乍一看可能觉得无从下手，但细加观察不难发现，cos4x＝cos22x－sin22x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)积式的一个因式取作f(x)，只要能够找到α，使f(x＋α)等于另一个因式也就找到了f(x)和g(x)．

17．(文)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示：

该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示：

第t天

Q(件)

5

35

15

25

20

20

30 10 (1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；

(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；

(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量) *t＋20

0

(1)P＝

*－t＋100

25≤t≤30，t∈N

(2)图略，Q＝40－t(t∈N*) (3)设日销售金额为y(元)，

2*－t＋20t＋800

0

*t－140t＋4000

25≤t≤30，t∈N

含详解答案

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2*－t－10＋900

0

2*t－70－900

25≤t≤30，t∈N

若0

则当t＝10时，ymax＝900；

若25≤t≤30(t∈N*)，

则当t＝25时，ymax＝1125. 由1125>900，知ymax＝1125，

∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．

(理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当1地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x万元，可获得纯利润P＝－(x160－40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售159119的投资收益为：每投入x万元，可获纯利润Q＝－(60－x)2＋·(60－x)万元，问仅从这160210年的累积利润看，该规划方案是否可行？

1[解析]

在实施规划前，由题设P＝－(x－40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，160即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W1＝100×10＝1000(万元) 1实施规划后的前5年中，由题设P＝－(x－40)2＋100知，每年投入30万元时，有160795最大利润Pmax＝(万元) 87953975前5年的利润和为×5＝(万元) 88设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，

则其总利润为

1159119W2＝[－(x－40)2＋100]×5＋(－x2＋x)×5＝－5(x－30)2＋4950. 1601602当x＝30时，W2＝4950(万元)为最大值，

3975从而10年的总利润为＋4950(万元)．

8∵3975＋4950>1000，

8∴该规划方案有极大实施价值．

含详解答案

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含详解答案