习题1.2课件配套优秀获奖教案

初高中数学衔接课讲义——函数

第六讲

函数的定义

【映射】

1.定义

一般地，设A,B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射.记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

2.映射的特性

（1）存在性：对集合A中任一个元素a，在集合B中都存在元素b与之对应；

（2）唯一性：集合A中的任一元素在集合B中的对应元素是唯一的；

（3）封闭性：集合A中任一个元素的对应元素都必须在集合B中；

（4）确定性：非空集合A,B及对应关系都是确定的；

（5）方向性：集合A到集合B的对应与集合B到集合A的对应所确定的映射是不同的.

3.一一映射的概念

如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合A中的任何一个元素在集合B中都有象，集合B中的每一个元素在A中都有象，那么就说两个集合之间存在着一一对应关系，并把这个映射叫做一一映射.

【提示】

（1）函数一定是映射，但是映射不一定是函数. （2）在函数中，A,B是两个数集，即A,B中的元素都是实数，但在映射中，A,B中的元素不一定是实数.

【例题1】下列对应是映射的有__________.

【例题2】下列各个对应中,构成映射的是（

）

A.

B.

C.

D.

【例题3】下列不能表示P{x|0x4}到Q{y|0y2}的映射的是（

）

A.f:xy1x

21x

33x

2B.f:xyC.f:xyD.f:xyx

（x,y)在映射f作用下的象是（xy,xy)，则2,3在f作用下的象是【例题4】若_________；2,3在f作用下的原象是__________.

【例题5】设集合A和B都是实数集，映射f:AB把集合A中的元素x映射到集合B中的元素xx1，则在映射f下，象1的原象组成的集合是（

）

3A.{1}

1，2}

B.{0，C.{0}

1，1}

D.{0，

【例题6】设AB{(x,y)|xR,yR}，f:(x,y)(kx,yb)是从集合A到集合B（6,2）1)，则k_________，b的映射，若B中元素在映射f下对应A中元素(3，__________.

【函数的定义】

设集合A、B是两个非空数集，对于A中的任意数x，按照某种关系的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x),xA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做的定义域，与x的值相对应f(x)的值叫做函数值，所有函数值构成的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域. 【提示】

（1）A、B都是非空数集，故定义域（或值域）为空集的函数是不存在的.

（2）B不一定是函数的值域，如函数yx21可称为实数集到实数集的函数，但函数的值域不是实数集R. （3）函数三要素的定义域、对应关系和值域.其中对应关系是核心，定义域是根本. （4）函数符合f(x)的含义：f(x)表示一个整体，一个函数，而符号“f”可以看作是对“x”施加的某种法则（或运算）. 【例题1】判断正误：

（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应； （ ）

（2）函数的定义域可以为空集；

（

）

（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定；

（

）

（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素；

（

）

（5）对于不同的x，

y的值也不同；

（

）

32（6）函数f(x)xx，则f(1)2;

（

）

【例题2】已知函数f(x)x31，求f(3),f(f(3))的值. x2

【例题3】函数f(x)

x6，则f(3)__________. 【例题4】函数f(x)(x991)0x31，则f(2)__________.

【例题5】已知函数f(x)x31，当a0时，求f(a),f(a1)的值. x2

【例题6】下列图象能表示函数图象的是（

）

A.

B.

C.

D.

【例题7】下列图中能作为函数图象的是（

）

A.

B.

C.

D.

【例题8】下列四个图象中，不是函数图象的是（

）

A.

B.

C.

D.

【例题9】图中能作为函数图象的是（

）

A.

B.

C.

D.

【例题10】yf(x)定义在2,3上，则函数yf(x)图象与直线x2的交点个数有（

）

A.0个

B.1个

C.2个

D.不能确定

【例题11】函数yf(x)的图象与直线x1的公共点数目是（

）

A.1 B.0 C.0或1 D.1或2

【课堂练习】

【练习】设集合A和集合B都是自然数集合N，映射f:AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n，则在映射f下，象20的原象是（

）

A.2 B.3 C.4 D.5

【练习】判断下列说法是否正确：

（1）表达式相同的两个函数是相同函数；

（2）定义域、值域均相同的函数是同一函数；

（

）

（

）

n（3）函数的定义域、值域均是无限集；

（

）

【练习】关于函数yf(x)与函数yf(x1)的叙述一定正确的是（

）

A.定义域相同

B.对应关系相同

C.值域相同

D.三要素都不可以不同

【练习】下列图形可以表示为以M{x|0x1}为定义域，以N{x|0x1}为值域的函数是（

）

A.

B.

C.

D.

x21f(2)【练习】函数f(x)2，则（

）

1x1f()2A.1 B.-1 C.3

53

5D.

【练习】设f(x)|x1||x|，则f[f()]（

）

1A.12

B.0 C.12

D.1

2初高中数学衔接课讲义——函数第六讲

函数的定义

【映射】

4.定义

一般地，设A,B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射.记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

5.映射的特性

（1）存在性：对集合A中任一个元素a，在集合B中都存在元素b与之对应；

（2）唯一性：集合A中的任一元素在集合B中的对应元素是唯一的；

（3）封闭性：集合A中任一个元素的对应元素都必须在集合B中；

（4）确定性：非空集合A,B及对应关系都是确定的；

（5）方向性：集合A到集合B的对应与集合B到集合A的对应所确定的映射是不同的.

6.一一映射的概念

如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合A中的任何一个元素在集合B中都有象，集合B中的每一个元素在A中都有象，那么就说两个集合之间存在着一一对应关系，并把这个映射叫做一一映射.

【提示】

（1）函数一定是映射，但是映射不一定是函数. （2）在函数中，A,B是两个数集，即A,B中的元素都是实数，但在映射中，A,B中的元素不一定是实数. 【例题1】下列对应是映射的有__________.

答案：①④

【例题2】下列各个对应中,构成映射的是（

）

A.答案：B

B.

C.

D.

【例题3】下列不能表示P{x|0x4}到Q{y|0y2}的映射的是（

）

A.f:xy1x

21x

33x

2B.f:xyC.f:xyD.f:xy答案：B

x

（x,y)在映射f作用下的象是（xy,xy)，则2,3在f作用下的象是【例题4】若_________；2,3在f作用下的原象是__________. （1，6）答案：;

（1,3）或（

3，1）【例题5】设集合A和B都是实数集，映射f:AB把集合A中的元素x映射到集合B中的元素xx1，则在映射f下，象1的原象组成的集合是（

）

3A.{1}

1，2}

B.{0，C.{0}

1，1}

D.{0，答案：D

【例题6】设AB{(x,y)|xR,yR}，f:(x,y)(kx,yb)是从集合A到集合B（6,2）1)，则k_________，b的映射，若B中元素在映射f下对应A中元素(3，__________. 答案：2；

1

【函数的定义】

设集合A、B是两个非空数集，对于A中的任意数x，按照某种关系的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x),xA. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做的定义域，与x的值相对应f(x)的值叫做函数值，所有函数值构成的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域. 【提示】

（1）A、B都是非空数集，故定义域（或值域）为空集的函数是不存在的.

（2）B不一定是函数的值域，如函数yx21可称为实数集到实数集的函数，但函数的值域不是实数集R. （3）函数三要素的定义域、对应关系和值域.其中对应关系是核心，定义域是根本. （4）函数符合f(x)的含义：f(x)表示一个整体，一个函数，而符号“f”可以看作是对“x”施加的某种法则（或运算）. 【例题1】判断正误：

（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应； （ ）

（2）函数的定义域可以为空集；

（

）

（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定；

（

）

（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素；

（

）

（5）对于不同的x，

y的值也不同；

（

）

（6）函数f(x)x3x2，则f(1)2;

（

答案：（1）√

（2）×

（3）√

（4）√

（5）×

（6）√

【例题2】已知函数f(x)x31x2，求f(3),f(f(3))的值. 解析：由题意可得：f(3)331321

f(f(3))f(1)1311221

答案：1;21

【例题3】函数f(x)x6，则f(3)__________. 答案：3

【例题4】函数f(x)(x991)0x31，则f(2)__________. 解析：由题意可得：当x2时，29910，299101

f(2)12318

答案：8

【例题5】已知函数f(x)x31x2，当a0时，求f(a),f(a1)的值. ）

解析：由题意可得：当a0时，f(a)a311a3

a2a2f(a1)a1311a2

a12a111

; f(a1)a2

a2a1答案：f(a)a3【例题6】下列图象能表示函数图象的是（

）

A.答案：C

B.

C.

D.

【例题7】下列图中能作为函数图象的是（

）

A.答案：D

B.

C.

D.

【例题8】下列四个图象中，不是函数图象的是（

）

A.答案：B

B.

C.

D.

【例题9】图中能作为函数图象的是（

）

A.（1）、（2）

B.（1）、（3）

C.（2）、（4）

D.（3）、（4）

答案：A

【例题10】yf(x)定义在2,3上，则函数yf(x)图象与直线x2的交点个数有（

）

A.0个

B.1个

C.2个

D.不能确定

答案：B

【例题11】函数yf(x)的图象与直线x1的公共点数目是（

）

A.1 B.0 C.0或1 D.1或2 答案：C

【课堂练习】

【练习】设集合A和集合B都是自然数集合N，映射f:AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n，则在映射f下，象20的原象是（

）

n

A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C

【练习】判断下列说法是否正确：

（4）表达式相同的两个函数是相同函数；

（5）定义域、值域均相同的函数是同一函数；

（

）

（

）

（6）函数的定义域、值域均是无限集；

（

）

答案：（1）×

（2）×

（3）×

【练习】关于函数yf(x)与函数yf(x1)的叙述一定正确的是（

）

A.定义域相同

B.对应关系相同

C.值域相同

D.三要素都不可以不同

答案：C

【练习】下列图形可以表示为以M{x|0x1}为定义域，以N{x|0x1}为值域的函数是（

）

A.答案：C

B.

C.

D.

x21f(2)【练习】函数f(x)2，则（

）

1x1f()2

A.1 B.-1 C.3

53

52D.112213123,f()解析：由题意可得：f(2)2

2215215123f(2)51. 13f()25答案：B

【练习】设f(x)|x1||x|，则f[f()]（

）

12A.1

2B.0 C.1

2D.1

解析：由题意可得：f()|121111|||0，f[f()]f(0)|01||0|1. 222答案：D