阅读与思考 集合中元素的个数优秀说课稿

专题一

集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、

算法、合情推理

解题必备解题方略走进高考限时规范训练考点二

平面向量、复数运算

1．“三点”共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P→＝λOA→＋λOB→(其中λ＋λ＝1)．

三点共线的充要条件是OP12122．三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则→与向量OA→、OB→的关系是OP→＝1(OA→＋OB→)．

向量OP2→＋GB→＋GC→3．三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔GA

xA＋xB＋xCyA＋yB＋yC＝0⇔G，. 33→·→＝OB→·→＝OC→·→⇔O为△ABC垂心．

OAOBOCOA4．a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)．

5．i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1，i4n3＝－i. ＋＋＋1＋i1－i6．z·z＝|z|，(1＋i)＝2i，(1－i)＝－2i，＝i，＝－i. 1－i1＋i222

类型一

平面向量的概念及线性运算

→＝3CD→，则[典例1]

(1)设D为△ABC所在平面内一点，BC(

A

) →＝－1AB→＋4AC→

A.AD33→＝4AB→＋1AC→

C.AD33→＝1AB→－4AC→

B.AD33→＝4AB→－1AC→

D.AD33

4→→→→→→→→→解析：通解一：AD＝AB＋BD＝AB＋BC＋CD＝AB＋BC＝AB34→→1→4→＋(AC－AB)＝－AB＋AC.故选A.

333→＝AC→＋CD→＝AC→＋1BC→＝AC→＋1(AC→－AB→)＝4AC→－通解二：AD3331→1→4→AB＝－33AB＋3AC.选A.

优解：如图，建立平面直角坐标系，设B(0,0)，A(0,1)，C(1,0)，

则4D3，0.



4→→＝(1，－1)，AB→＝(0，－1)．

∴AD＝3，－1，AC→＝4AC→－1AB→.选A. AD33

(2)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mmn≠0，若a∥b，则n等于(

C

) 1A．－2

C．－2 1B.2

D．2

解析：通解：(直接法，利用向量共线定理)

∵a∥b，∴a＝λb，即m得n＝－2.

λn＝m，me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则－λ＝2，

解优解：(用向量坐标表示)

将e1，e2视为x轴，y轴上的单位向量，

∵a＝(m,2)，b＝(n，－1)

m2∴a∥b⇔n＝＝－2.故选C. －1

平面向量线性运算的两种技巧

(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算；

(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．

[自我挑战]

→＝－2CD→，→1．在等腰梯形ABCD中，ABM为BC的中点，则AM＝(

B

) 1→1→A.AB＋AD

223→1→C.4AB＋4AD

3→1→B.AB＋AD

421→3→D.2AB＋4AD

→＝1(AB→＋AC→)＝1(AB→解析：选B.由于M为BC的中点，所以AM22→＋DC→)＝1(AB→＋AD→＋1AB→)＝3AB→＋1AD→，故选B. ＋AD2242

→＝－1AB→＋2AC→，则S△ABD2．已知A、B、C三点不共线，且AD3S△ACD＝(

C

) 2A.

3C．6 3B.

21D.

6

→＝－1AB→，AN→＝2AC→，以AM，AN为解析：选C.如图，取AM3邻边作平行四边形AMDN，

→＝－1AB→＋2AC→.

此时AD3由图可知S△ABD＝3S△AMD，

1S△ACD＝2S△AND，而S△AMD＝S△AND，

S△ABD∴＝6，故选C. S△ACD

类型二

平面向量数量积及其应用

13→→[典例2]

(1)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量BA＝，，BC22＝31，则∠ABC＝(

A

) ，22A．30°

C．60°

B．45°

D．120°

解析：通解：根据向量的夹角公式求解．

1313→→∵BA＝，，BC＝，

，222213313→→→→∴|BA|＝1，|BC|＝1，BA·BC＝2×2＋2×2＝2，

→·→BABC3→→∴cos∠ABC＝cos〈BA，BC〉＝＝.

→|·→|2|BA|BC→，BC→〉≤180°→，BC→〉＝30°∵0°≤〈BA，∴∠ABC＝〈BA.

优解：如图，以B为原点建立平面直角坐标系，则∴∠ABx＝60°，C1A2，3.

231，∴∠ABC＝30°. ，∠CBx＝30°22

1→→→→(2)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t.若点P是△ABC所在平面t→4AC→AB→→·→的最大值等于(

) 内的一点，且AP＝＋，则PBPCA→→|AB||AC|A．13 C．19 B．15 D．21 →⊥AC→，故分别解析：通解：(借“底”数字化)

由题意，AB

→，AC→同向共线的单位向量可以作为平面向量的一组基底，设与AB→→ABACπ＝a，＝b，则|a|＝|b|＝1，且〈a，b〉＝2，所以a·b＝0.

→→|AB||AC|1→→＝tb，AP→＝a＋4b.

所以AB＝a，ACt11→→→而PB＝AB－AP＝ta－(a＋4b)＝t－1a－4b，

→＝AC→－AP→＝tb－(a＋4b)＝－a＋(t－4)b，

PC

1→→故PB·PC＝[t－1a－4b]·[－a＋(t－4)b]

11＝－t－1a2－4(t－4)b2＋4＋t－1t－4a·b

11＝－t－1×1－4(t－4)×1＋4＋t－1t－4×0

1＝1－t－4t＋16

1＝17－t＋4t.



→|＝1，所以t＞0.

由已知|ABt1由基本不等式可得t＋4t≥211×4t＝4(当且仅当tt＝4t，即t1＝2时等号成立)，

1→→所以PB·PC＝17－t＋4t≤17－4＝13.

1→·→取得最大值13.故选A.

综上，当t＝2时，PBPC

→⊥AC→，故以点A为坐标优解：(借“系”坐标化)由题意，AB原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

1由题意可得，Bt，0，C(0，t)．



→→ABAC而＝(1,0)，＝(0,1)，

→→|AB||AC|→4AC→AB→所以AP＝＋＝(1,4)，故P(1,4)．

→→|AB||AC|1→→＝(－1，t－4)，

故PB＝t－1，－4，PC

1→→所以PB·PC＝t－1×(－1)＋(－4)×(t－4) 11＝1－t－4t＋16＝17－t＋4t.

→|＝1，所以t＞0.

由已知|ABt1由基本不等式可得＋4t≥2t1即t＝时等号成立)，

2→·→＝17－(t＋4t)≤17－4＝13.

∴PBPC1→·→取得最大值13，故选A. 综上，当t＝2时，PBPC11×4t＝4(当且仅当＝4t，

tt

[母题变式] →|的值？

本例(1)中，已知条件不变，改为求|AC31133－11－3→→→解：∵AC＝BC－BA＝，－，＝

2222，22→|＝∴|AC6－23－121－32＋. ＝222

1．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2＝a2，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利用公式“cos〈a，a·bb〉＝|a|·|b|”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决．

2．求解向量数量积最值问题的两种思路

(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．

(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．

[自我挑战] →·→3．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD＝________.

→、AD→为基底表示AE→和BD→后直接计算数量解析：通解：以AB积．

→＝AD→＋1AB→，BD→＝AD→－AB→，

AE21→→→→→→∴AE·BD＝AD＋2AB·(AD－AB)

→|2－1|AB→|2＝22－1×22＝2.

＝|AD22

优解：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解．

如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，

→＝(1,2)，BD→＝(－2,2)，

∴AE→·→＝1×(－2)＋2×2＝2.

∴AEBD答案：2

5．(2016·高考山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos1〈m，n〉＝3.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(

B

) A．4 9C.4

B．－4 9D．－4

解析：选B.因为n⊥(tm＋n)，所以tm·n＋n2＝0，所以m·n＝n2－，又4|m|＝3|n|，

tn41m·n4m·所以cos〈m，n〉＝|m|·＝2＝－＝，所以t＝－4.故选|n|3|n|3t3B.

6．(2016·高考全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________. 解析：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，知a⊥b，

∴a·b＝m＋2＝0，∴m＝－2.

答案：－2