阅读与思考 集合中元素的个数第一课时评课稿

1.3 函数的基本性质

[教学目标] 1．理解函数的单调性，初步掌握函数单调性的判别方法．

2．理解函数的最大值、最小值及其几何意义．

3．结合具体函数了解奇偶性的含义．

4．能够运用函数图象理解和研究函数的性质．

[教学要求] 讨论函数的基本性质，就是要研究函数的重要特征：函数的增与减，最大值与最小值，增长率与衰减率，增长（减少）的快与慢，对称性（奇偶性），函数的零点，函数值的循环往复（周期性）等．

引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．

[教学重点] 函数的单调性的概念；判断、证明函数的单调性；形成奇偶性的定义．

[教学难点] 1．函数的单调性和奇偶性定义的形式化表达．

2．利用增（减）函数的定义判断函数的单调性．

[教学时数] 3课时

[教学过程] 第一课时

1.3.1单调性与最大（小）值——函数的单调性

新课导入

一、情景问题

如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32C），观察这张气温变化图：

问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？

问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？

由“函数在某个区间内随着自变量的增加函数值增大或减小”引入课题——函数的单调

性．

二、观察函数图象，认识“上升”与

“下降”

请同学们画出函数f(x)x和f(x)x2的图象，并观察图象的变化特征，说说自己的看法．

（呈现这两个函数的图象，课本第27页图）

可观察到的图象特征：

（1）函数f(x)x的图象由左至右是上升的；

（2）函数f(x)x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；也就是图象在区间(,0]上，随着x的增大，相应的f(x)随着减小，在区间(0,)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大．

归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映．

新课进展

一、函数的单调性

1．如何用函数解析式f(x)x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”，“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”？

在区间(0,)上任取x1,x2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？

对于函数f(x)x，经过师生讨论得出：在区间(0,)上，任取两个x1,x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)．这时，我们就说函数f(x)x在区间(0,)上是增函数．

课堂练习

请你仿照刚才的描述，说明函数f(x)x在区间(,0]上是减函数．

2．增函数和减函数的定义

设函数f(x)的定义域为I：

（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（increasing

function）．

（2）请你仿照增函数的定义给出函数f(x)在区间D上是减函数的定义．

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有222

．

f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数（decreasing

function）3．对定义要点分析

问：（1）你能分析一下增函数定义的要点吗？

（2）你能分析一下减函数定义的要点吗？

引导学生分析增（减）函数定义的数学表述，体会定义中“区间D上的任意两个自变量都有…”的含义．

课堂例题

例1

（课本第29页例1）

课堂练习

课本第39页习题1.3A组第4题．

课本第32页练习第1、2、3题．

课堂例题

例2

（课本第29页例2）

课堂练习

课本第32页练习第4题．

4．本课小结

（1）增减函数的图象有什么特点？

增减函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的．

（2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的大小．

（3）如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间．

5．布置作业

课本第39页习题1.3A组第1、2、3题．

课本第44页复习参考题A组第9题．

第二课时

1.3.1单调性与最大（小）值——函数的最大（小）值

复习导入

通过提问复习上节课主要学习内容．

问：如何判断函数的单调性？

观察上节课例1中的图象（课本第29页），发现，函数图象在x2时，其函数值最2小，而在x1时，其函数值最大．函数f(x)x的图象有一个最低点(0,0)，函数f(x)x2的图象有一个最高点(0,0)，而函数f(x)x的图象没有最低点，也没有最高点．

新课进展

二、函数的最大（小）值

1．函数的最大（小）值的定义

设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；

（2）存在x0I，使得f(x0)M．

那么，我们称M是函数yf(x)的最大值(maximum value)．

请你仿照函数最大值的定义，给出函数yf(x)的最小值的定义．

设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；

（2）存在x0I，使得f(x0)M．

那么，我们称M是函数yf(x)的最小值(minimum value)．

课堂例题

例1 （课本第30页例3）

说明：本例题是一个实际应用题，教学时应让学生体会问题的实际意义．

例2 （课本第30页例4）

说明：本例题表明，高一阶段利用函数的单调性求函数的最大（小）值是常用的方法．通过本例题的教学，再一次让学生体会用函数的单调性定义证明函数的单调性的方法．

课堂练习

课本第32页练习第5题

2．函数的最大（小）值与单调性的关系

从上面的例题可以看到，函数的最大（小）值与单调性有非常紧密的关系．我们再看一个例子．

例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：

(1) 若函数yf(x)的定义域为xb,e，求最大值和最小值；

(2) 若函数yf(x)的定义域为xa,e，求最大值和最小值；

(3) 若函数yf(x)的定义域为xb,d，求最大值和最小值；

解：(1)在定义域b,e上，函数yf(x)在区间b,c上是增函数，在区间c,d上是减函数，

在区间d,e上是增函数，且f(e)f(c)，则函数yf(x)在b,e上的最大值为f(c)，最小值为f(d)；

(2) 在定义域a,e上，函数yf(x)在区间a,c上是增函数，在区间c,d上是减函数，

在区间d,e上是增函数，且f(a)f(d)，则函数yf(x)在a,e上的最大值为f(c)，最小值为f(a)；

(3) 在定义域b,d上，函数yf(x)在区间b,c上是增函数，在区间c,d上是减函数，

由于函数在xd处没有定义，则函数yf(x)在b,d上的最大值为f(c)，没有最小值．

思考：为什么要讨论f(e)f(c)？

说明：从本例中可以看出，在求函数的最值时，除了注意单调区间的变化之外，还要注意定义域的区间端点的函数值．

3．本课小结

函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质．一个函数可能存在最大值也可能不存在最大值，最大值具有唯一性．对于最小值也一样．

我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

4．布置作业

课本第39页习题1.3A组第5题；课本第39页习题1.3B组第1、2题

第三课时

1.3.2

奇偶性

创设情景，导入新课

从对称的角度，观察下列函数的图象：

函数f(x)x1,g(x)x.

2

这两个函数图象有什么共同的特征? 请列出从3到3这一段区间上，两个函数的对应值表，并思考：自变量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量关系？

讨论结果：当自变量取值互为相反数时，函数值恰相等．反映在图象上，函数图象关于y轴对称．

新课进展

三、函数的奇偶性

1．偶函数

如果函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)．

定义域关于坐标原点对称．

请你举出偶函数的例子．

f(x)x2，f(x)2．奇函数

1等等．

x21的图象，说一说这两个函数有什么共同特征？

x观察函数f(x)x和f(x)

（1）图象看，它们都是关于坐标原点成中心对称；

（2）从定义域看，它们的定义域都是关于坐标原点对称；

（3）从函数值看，x与x的函数值的绝对值相等且符号相反．

如果函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x),则函数f(x)叫做奇函数(old function)．

请你举出奇函数的例子．

3．函数的奇偶性

奇函数和偶函数的这种性质叫做函数的奇偶性．

（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．

（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．

（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．

课堂例题

例1 （课本第35页例5）

课堂练习

课本第36页练习第1（1）——（4）、第2题．

4．本课小结

本节课学习了函数的奇偶性及其判断方法．我们可以把对称性和奇偶性结合起来思考．

定义域具有对称性，函数值具有对称性，图象具有对称性．由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．

5．布置作业

课本第39页习题1.3A组第6题，B组第3题．课本第44页复习参考题A组第10题．

2补充：1．已知f(x)axbxc,xR是偶函数，那么g(x)ax3bx2cx是(

)．

(A)偶函数

(B)奇函数

(C)既奇又偶函数

(D)非奇非偶函数

x1,x0,x0,试判断并证明它的奇偶性．

2．

已知函数f(x)0,x1,x0.