平方差公式的应用教案和学案内容

第课时

1.进一步掌握平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.

2.会通过图形的拼接验证平方差公式,了解平方差公式的几何背景,并会运用所学的知识进行简单的混合运算.

让学生在数学活动中建立平方差公式模型,通过探索规律,归纳出利用平方差公式解决数学问题的方法,培养学生观察、归纳、应用能力.

了解平方差公式的几何背景,培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义,建立学习数学的信心.

【重点】

利用数形结合的思想方法解释平方差公式和运用平方差公式进行简单计算.

【难点】

掌握平方差公式的结构特征,并能灵活运用平方差公式解决问题.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P21~22.

导入一:

[过渡语]

上节课我们学***方差公式,现在先来回顾一下,谁能分别用字母和文字语言叙述平方差公式?

[处理方式]

学生口答,教师适时鼓励.

请同学们利用平方差公式快速计算下列各题.

(1)(mn- 4n)(mn+4n);

(2)(- 2x+3y)(- 2x- 3y);

(3)(6m- n)(- 6m- n);

(4)(x+1)(x- 1)(x2+1).

[处理方式]

学生独立做题,教师巡视,然后出示答案,学生自批,教师利用实物投影展示学生出现的错误做法,组织学生指出、分析并纠正错误.

师:同学们完成的非常好,这节课我们继续学***方差公式.

[设计意图]

复***方差公式,让学生把握运用公式的前提条件是两个多项式相乘,且有一项完全相同,另一项互为相反数.为进一步学***方差公式相关知识做好准备.

导入二:

[过渡语]

大家回顾一下上节课学***方差公式,看谁答的又对又快.

1.平方差公式.

(1)符号表达式:

.

(2)文字表达:

.

[处理方式]

思考后,指名口答,教师进行点评.

2.判断下列算式能否运用平方差公式计算.

(1)(a+2)(a- 3);

(2)(- m- n)(m- n);

(3)(2x+3y)(3x- 2y);

(4)(4x- 3)(- 4x- 3).

[处理方式]

先小组内交流,然后由小组代表汇报结果:(1)不能;(2)能;(3)不能;(4)能.

师:平方差公式是十分重要的数学知识,它的应用非常广泛,这节课我们继续进行探究.

[设计意图]

上节课直接利用多项式乘多项式法则,推导得到平方差公式,设计这一环节的目的是在复习上节课知识的基础上,为本节课的平方差公式的几何解释和进一步应用平方差公式进行较复杂的化简、计算做好知识准备.

[过渡语]

有人说,数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际意义!那么数学真的没有什么实际意义吗?请看下面的问题.

探究活动1

拼图游戏,验证公式

思路一

课件展示:如图所示,边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形.

(1)请表示图中阴影部分的面积:S=

.

[处理方式]

对于正方形的面积公式,学生在小学已经学过,且对这个知识点比较熟悉,可让学生口答完成.对于有困难的同学,可以向同桌或学习组长请教.

(2)请将阴影部分剪拼成一个长方形,画出这个长方形.这个长方形的长=

,宽=

,面积S=

.

[处理方式]

学生动手画图,对于长方形的面积公式,学生对这个知识点比较熟悉,可让学生口答完成,可能出现的画法如下:

(3)比较(1)(2)的结果,你能验证平方差公式吗?

[处理方式]

学生通过(1)(2)的探索,很容易从阴影部分面积与长方形的面积相等得出平方差公式:(a+b)(a- b)=a2- b2.

[设计意图]

通过面积相等得出平方差公式,使学生体会平方差公式的实际意义,理解数学知识与现实生活的密切联系,培养学生学数学、用数学的意识.

思路二

[过渡语]

上节课利用多项式乘多项式法则推导得到平方差公式.其实我们还有其他方法来验证、解释公式的正确性.请看下面的问题:

如图(1)所示,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.

(1)请用式子表示图(1)中阴影部分的面积.

(2)小颖将阴影部分剪拼成了一个长方形(如图(2)所示),这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗?

(3)比较(1)(2)的结果,你能验证平方差公式吗?

[处理方式]

学生分组研讨,教师巡视同学们研讨的情况,随机指导.

教师重点讲解:把剩下的图形(即图(1)中阴影部分)先剪成两个长方形(沿图(1)虚线剪开),我们可以知道,上边的大长方形宽是(a- b),长是a;下面的小长方形长是(a- b),宽是b.由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a- b),我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如图(2)所示的图形(阴影部分),它的长和宽分别为

(a+b),(a- b),面积为(a+b)(a- b).这两部分面积应该是相等的,即(a+b)·(a- b)=a2- b2.这恰好是我们上节课学过的平方差公式.

探究活动2

速算王的秘密

[过渡语]

通过刚才的学习我们进一步加深了对平方差公式的理解,接着来看下面一组题目.(课件展示)

1.想一想:

(1)迅速计算下列各组算式,并观察它们的特点.

(2)从以上的计算过程中,你发现了什么规律?

(3)请你用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?

[处理方式]

独立思考,交流解决方法.

展示:(1)中算式算出来的结果如下:

方法归纳:

(2)从上面的计算可以发现,一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.

(3)设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数分别为a- 1,a+1,则有(a+1)(a- 1)=a2- 1.

[设计意图]

让学生经历由特例进行归纳、建立猜想、用符号表示并给出证明这一重要的探索过程,体会符号运算对证明猜想的重要作用,以及代数运算的推理作用.

探究活动3

运算中的平方差公式

(教材例3)用平方差公式进行计算.

(1)103×97;

(2)118×122.

[处理方式]

给学生一定时间尝试、交流,让学生体会解题方法.

第(1)题教师指导讲解:

因为103=100+3,97=100- 3,

所以103×97

=(100+3)(100- 3)

=1002- 32

=9991.

第(2)题学生独立完成.

118×122

=(120- 2)(120+2)

=1202- 4 =14400- 4 =14396.

[过渡语]

既然同学们都发现了这个秘密,那么接下来咱们来进行一个比赛,看一看哪个同学算的又快又准!(出示课件)

计算.

(1)(200+1)(200- 1);

(2)102×98;

(3)9.9×10.1.

[处理方式]

利用平方差公式解决问题,教师巡视,指导有困难的学生.

解:(1)(200+1)(200- 1)=2002- 12=40000- 1=39999.

(2)102×98=(100+2)(100- 2)=1002- 22=10000- 4=9996.

(3)9.9×10.1=(10- 0.1)(10+0.1)=102- 0.12=100- 0.01=99.99.

[设计意图]

把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式运用平方差公式计算,体现了转化思想,让学生体会到利用公式可以进行一些有关于数的简便运算,目的是进一步巩固平方差公式.

探究活动4

综合应用平方差公式

[过渡语]

如果把本节课所学的知识与以前的知识融合一下,大家还能解决吗?

(教材例4)计算.

(1)a2(a+b)(a- b)+a2b2;

(2)(2x- 5)(2x+5)- 2x(2x- 3).

〔解析〕

上面两个小题是整式的混合运算,平方差公式的应用能使运算简便,还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.

解:(1)a2(a+b)(a- b)+a2b2

=a2(a2- b2)+a2b2

=a4- a2b2+a2b2

=a4.

(2)(2x- 5)(2x+5)- 2x(2x- 3)

=(2x)2- 52- (4x2- 6x)

=4x2- 25- 4x2+6x

=6x- 25.

教师强调:2x(2x- 3)的结果要用括号括起来.

[设计意图]

运用平方差公式进行简单的混合运算,巩固平方差公式,体会平方差公式在解决计算类问题时的简便作用.

[知识拓展]

平方差公式中的字母不仅可以表示一个数字或一个单项式,也可以表示一个多项式,如(a+b- c)(a- b+c)=[a+(b- c)][a- (b- c)].也可以用来计算一些较大数的乘法.

对于形如两数和与这两数差相乘的运算,就可以运用平方差公式来计算;在整式的乘法中只有符合公式要求的乘法才能用公式计算,其余的运算仍需按乘法法则进行.

1.在等号右边的括号内填上适当的项.

(1)a+b- c=a+(

);

(2)a- b+c=a- (

);

(3)a- b- c=a- (

);

(4)a+b+c=a- (

).

答案:(1)b- c

(2)b- c

(3)b+c

(4)- b- c

2.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式计算?若可以,请用平方差公式计算.

(1)(a+b+c)(a- b+c);

(2)(a- b- c)(a+b- c).

解:(1)能用.

(a+b+c)(a- b+c)

=[(a+c)+b][(a+c)- b]

=(a+c)2- b2=a2+2ac+c2- b2.

(2)能用.

(a- b- c)(a+b- c)

=[(a- c)- b][(a- c)+b]

=(a- c)2- b2=a2- 2ac+c2- b2.

3.计算:x(x- 1)- -

.

解:x(x- 1)- -

=x2- x- x2+

=- x+.

4.计算:(x- 2y)(x+2y)- (x- 1)(x+1).

解:(x- 2y)(x+2y)- (x- 1)(x+1)

=x2- (2y)2- (x2- 1)

=x2- 4y2- x2+1 =- 4y2+1.

探究活动1

探究活动2

探究活动3

例1 探究活动4

例2 拼图游戏,验证公式

速算王的秘密

运算中的平方差公式

综合应用平方差公式

第2课时

一、教材作业

【必做题】

教材第22页习题1.10知识技能第1题.

【选做题】

教材第22页习题1.10问题解决第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在下列多项式的乘法中,不能用平方差公式计算的是

(

)

A.(- a- b)(a- b)

B.(c2- d2)(d2+c2)

C.(x3- y3)(x3+y3)

D.(m- n)(- m+n)

2.用平方差公式计算(x- 2)(x+2)(x2+4)的结果正确的是

(

)

A.x4- 16 B.x4+16 C.(x- 16)4

D.(x+16)4

3.若(- 7m+A)(4n+B)=16n2- 49m2,则A=

,B=

.

【能力提升】

4.计算:(3x- 2)(3x+2)- x(x- 3).

5.已知x+y=6,x- y=5,求x2- y2的值.

【拓展探究】

6.计算:(a+2)(a2+4)(a4+16)(a- 2).

【答案与解析】

1.D(解析:选项A,因为- a- b与a- b中的相同项是- b,不同项- a与a互为相反数,所以可以用平方差公式计算;选项B,因为c2- d2与d2+c2中c2为相同的项,- d2与d2互为相反数,所以能用平方差公式计算;选项C,因为x3- y3与x3+y3中x3为相同的项,- y3与y3互为相反数,所以能用平方差公式计算;选项D,因为m- n与- m+n中没有相同的项,所以不能用平方差公式计算.故选D.)

2.A(解析:(x- 2)(x+2)(x2+4)=(x2- 4)(x2+4)=x4- 16.故选A.)

3.4n

7m(解析:由(- 7m+A)(4n+B)=(4n)2- (7m)2可知,A是与4n相同的项,B是与- 7m互为相反数的项,故A=4n,B=7m.)

4.解:(3x- 2)(3x+2)- x(x- 3)=(3x)2- 22- (x2- 3x)=9x2- 4- x2+3x=8x2+3x- 4.

5.解:x2- y2=(x+y)(x- y)=6×5=30.

6.解:原式=(a2- 4)(a2+4)(a4+16)=(a4- 16)·(a4+16)=a8- 256.

让学生理解平方差公式的本质,即结构的不变性,字母的可变性,这也是数学公式的本质.培养“以数的眼光看式子的整体观念”的数学素养,培养学生的问题解决能力和数学探究能力.在教学中,教师应该有意识地培养学生的推理能力,鼓励学生通过合情推理进行大胆猜测,然后利用符号间的运算验证猜测或解决问题,同时鼓励学生有条理地表达自己的思考过程.

本节课对于时间的把握不好,许多设计在课堂上并没能达到设计的意图.