平方差公式的应用教案2

1.5

平方差公式(二) ●教学目标

(一)教学知识点

1.了解平方差公式的几何背景. 2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. 3.体会符号运算对证明猜想的作用. (二)能力训练要求

1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感与价值观要求

1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣. 2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美. ●教学重点

平方差公式的几何解释和广泛的应用. ●教学难点

准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能. ●教学方法

启发——探究相结合

●教学过程

一、创设问题情景，引入新课

［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a. 这个正方形的面积是多少？

（1）从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？

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图1－23 （2）你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论. （3）比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？

即(a+b)(a－b)=a2－b2. 上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学***方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用. 二、讲授新课

（一）想一想：

(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点

79

881113

12127981

8080(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？

(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

［生］(1)中算式算出来的结果如下

7963

88641113143

121214479816399

80806400［发现］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1. 解：］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a－1,a+1, 则有(a+1)(a－1)=a2－1. 师：这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？

（二）例如：计算29×31很麻烦，

我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.. 我们不妨再做几个类似的练习. ［例3］用平方差公式计算：(1)103×97

(2)118×122 ［例4］计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2

(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3). 分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.

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解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2

(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3) =a2(a2－b2)+a2b2

=(2x)2－52－(4x2－6x) =a4－a2b2+a2b2

=4x2－25－4x2+6x =a4

=6x－25 注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体. （三）拓展——公式的逆用

(1)(x+y)2－(x－y)2

(2)252－242

分析：逆用平方差公式可以使运算简便. 解：(1)(x+y)2－(x－y)2

(2)252－242

=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］

=(25+24)(25－24) =2x·2y

=49

=4xy 三、.随堂练习

1.(课本P22)计算

(1)704×696 (2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) (3)x(x－1)－(x－1)(x+1) 33(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠) 四、课时小结

［师］同学们这节课一定有不少体会和收获. 1、能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面. 2、平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇……

五、课后作业

课本习题1.10.

1、2 六、活动与探究

计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1

1232—124×122

（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）...（232+1）+1

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●板书设计

§1.5.2

平方差公式(二) 一、平方差公式的几何解释：

二、想一想

特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明

即(a+1)(a－1)=a2－1 三、例题讲解：例3

例4 四、练习

●自我检测

1.选择题

(1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是(

) A.(－a－b)(a－b)

B.(c2－d2)(d2+c2) C.(x3－y3)(x3+y3)

D.(m－n)(－m+n) (2)用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x2+1)结果正确的是(

) A.x4－1

B.x4+1 D.(x+1)4

C.(x－1)4

(3)下列各式中，结果是a2－36b2的是(

) A.(－6b+a)(－6b－a)

B.(－6b+a)(6b－a) C.(a+4b)(a－4b)

D.(－6b－a)(6b－a) 2.填空题

(4)(5x+3y)·(

)=25x2－9y2

(5)(－0.2x－0.4y)(

)=0.16y2－0.04x2

(6)(－3x－11y)(

)=－9x2+121y2

24(7)若(－7m+A)(4n+B)=16n2－49m2,则A=

，B=

. 3.计算

(8)(2x2+3y)(3y－2x2). (9)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5). (10)(x2y+4)(x2y－4)－(x2y+2)·(x2y－3).

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教学反思：

本节课通过与学生生活紧密联系问题及多媒体图画设计引入，激发了学生学习兴趣，同时在教学中以学生自主探究为主，自主出题回顾练习，有利于提升了学生的自信心．

为了让学生理解公式的几何背景，通过拼图计算，既可以直观说明公式的几何特征，又可以体现数形结合。学生经过动手实践，用几何图形的面积说明平方差公式，为学生营造一个宽松、和谐的学习环境。

信息技术的应用，便于及时发现问题，反馈教学，使教与学更有层次性、针对性、实效性．教师要善于抓住这个契机，充分利用多媒体技术，利用图形结合功能，降低难度，增强直观性．信息技术的应用大大提高了课堂效率．

不足之处：

1、课堂驾驭能力还需提高，具体的说是教学节奏感和控制力还要加强。

2、面对全体学生的教学，学生覆盖面没能够达到百分百，在以后的教学中，应调动一切手段来促使每一个学生参与到数学活动中来。

从整体而言，我觉得本节课的设计和实施是符合初中数学课程标准的，学生大部分按时完成了学习任务。

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