4 利用轴对称进行设计优质课教案内容

长沙市雨花实验中学数学教案

八年级

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课题：13.1.1

轴对称

[教学目标]：1．理解轴对称图形及轴对称的定义，认识轴对称与全等的关系，了解轴对称图形与轴对称的联系与区别。

2．了解线段的垂直平分线的定义，了解轴对称的性质及轴对称图形的性质， 3．通过独立思考、小组合作，发展学生的观察、归纳能力，感受对称美。

[教学重难点]：对轴对称图形与轴对称概念的理解；垂直平分线的定义，轴对称的性质及轴对称图形的性质；轴对称图形与轴对称的联系与区别。

[教学过程]：

一、情景导入：

观察课本P58图13.1-1和图13.1-2，体会对称现象的无处不在，观察对称图形的共同特点. 二、问题导学：

阅读教材P58-60，完成下面填空：

1.轴对称图形的定义： 叫做轴对称图形，这条直线叫做它的 ，我们也说这个图形 。

．．2.轴对称的定义： 那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做 ，折叠后重合的点是对应点，叫．．做 。

3.线段的垂直平分线的定义： ，叫做这条线段的垂直平分线；

4.轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 ；类似地，轴对称图形的对称轴，是 的垂直平分线。

三、互动点拨：

1、在一张半透明的纸上画△ABC，使AB＝AC,作BC上的高AD，沿直线AD折叠，直线两旁的部分重合吗？

你的答案是： 。

2、在一张半透明的纸上建立一个平面直角坐标系，并描出点A（-1，3）、B（-2，-4）、C（-3，-1）、A1（1，3）、B1(2，-4)、C1(3，-1)，画出△ABC和△A1B1C1，沿y轴折叠，这两个三角形重合吗？

你的答案是： 。

3、第2中的△ABC和△A1B1C1全等吗？把其中的△A1B1C1向下平移一个单位，得到△A2B2C2，△ABC和△A2B2C2全等吗？折一折，△ABC和△A2B2C2成轴对称吗？

轴对称与全等的关系：两个图形成轴对称，则它们一定 ；两个图形全等， 成轴对称。

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4、你能说说轴对称图形与轴对称的区别和联系吗？

区别： 联系： 5、如图1，△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，点A的对应点是 ，y轴经过线段AA1的中点吗？y轴垂直线段AA1吗？

你能得到什么结论？

6、在图1中，y轴是线段CC1和BB1的垂直平分线吗？

你能得到什么结论？

四、检测反馈

1、课本P60练习1、2 2、下列图案中，不是轴对称图形的是( )

(A) (B) (C) (D) 图1 C1

B1

A1

3、下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是（ ）

A.

4、在镜中看到的一串数字是“

780903”，则这串数字是 。

5、下列图形中对称轴最多的是 ( ) A、圆 B、正方形 C、等腰三角形 D、线段

五、教学反思：

B. C. D.

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课题：13.1.2 线段的垂直平分线的性质

[教学目标]：1．理解线段的垂直平分线的两条性质及其证明；

2. 掌握运用尺规作图方法作直线垂线的方法；

3．发展学生观察、归纳及推理能力。

[教学重难点]：理解垂直平分线的性质；将线段的垂直平分线的性质运用于数学解题。

[教学过程]：

一、情景导入：

1、回顾线段的垂直平分线的定义；

2、回顾轴对称的性质；

二、问题导学：

阅读课本P61-62，完成下面的填空：

1、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段 的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在 上。

三、互动点拨：

1、在一张半透明的纸上画线段AB，用量角器和刻度尺画线段AB的垂直平分线CD，在CD上任取一点P，连结PA、PB,量一量PA、PB的长，你有什么发现？沿直线CD对折，线段PA、PB重合吗？

你的答案是？你能证明你的结论吗？

2、在一张纸上线段AB及点P1、P2，使P1A=P1B ,P2A=P2B,再画线段AB的垂直平分线CD，你又有什么发现？

你的答案是？你能证明你的结论吗？

3、尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线。

四、检测反馈：

1、作出下列图形的对称轴。

2、教材P62练习1，2；

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3、如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB•的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm ，求线段MN的长。

0FNMEPBA

4、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E,交AB于点D，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，

求△ABC的周长。

拓展演练：

B C E D A 某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等. （1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；

（2）阐述你设计的理由.

B M·

N·

A O

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课题：13.1.2段的垂直平分线的性质（2）

[教学目标]：

1、

掌握用“连结对称点的线段被对称轴垂直平分”

2、

熟练画出轴对称图形的对称轴。

3、培养良好的动手实践能力。

[教学重难点]：验证一个图形是不是轴对称图形，画轴对称图形的对称轴。

[教学过程]：

一、情景导入：

1、如图：不通过折叠的方法，你能验证出这两个四边形是否关于直线MN对称吗？

2、设A、B两点关于直线MN对称，则______垂直平分________．

3、轴对称图形的对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么关系？

二、问题导学：

阅读课本P62-63，完成下面填空：

1、如果两个图形成轴对称，其对称轴就是 ，因此，我们只要找到一对 ，作出 ，就可以得到这两个图形的对称轴。

2、如果一个图形为轴对称图形，只要找到任意一组 ，作出 ，就得到此图形的对称轴。

三、互动点拨：

例1、如图13.1-9（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？（只用圆规和直尺（不量长度）你能作出线段AB垂直平分线吗？）

B A

作法：

例2、画出下列图形对称轴，找出对称点。

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四、检测反馈：

1、课本P64练习1、2

2、下图是两个关于某条直线成轴对称的图形，请你画出它们的对称轴。

3、下面是我们学过的一些几何图形，说出下面图形是不是轴对称图形，并完成下表。

长方形

正方形

三角形

等腰三角形

等边三角形

平行四边形

任意梯形

等腰梯形

圆

图形

长方

正方

三角

等腰

形

形

形

三角

形

等边

三角

形

平行 任意

四边

梯形

形

等腰

梯形

圆

对称轴的条数

4、下面的虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是?

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课题：13.2 画轴对称图形（1）

[教学目标]：1、能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形；

2、能设计简单的轴对称图案；

3、通过画轴对称图形，增强学生教学几何的趣味感，培养审美情操。

[教学重难点]：利用对称轴作轴对称图形。利用对称轴进行图案设计。

[教学过程]：

一、情景导入：

1、如图：你能做出它关于虚线的对称图形吗？

（1）找到点A的对称点A′ (2) A A′与对称轴有什么关系？

（3）在图中另找一对对称点，连接对称点的线段与对称轴还有上述关系吗？

二、问题导学：

阅读课本P67-68，完成下面的填空：

1、连接任意一对对称点的线段被对称轴____________。

2、几何图形都可以看作由 组成。对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的 ，连接这些 ，就可以得到原图形的轴对称图形。

三、互动点拨：

例1、

如图，已知点A和直线l，试画出点A关于直线l的对称点A′。请说说你的画法

l

A·

例2、如图，已知△ABC和直线l,画出与△ABC关于直线l对称的图形。

l

A

B

C

四、检测反馈

1、课本P68练习1

2、如图(1)，请画出三角形关于直线l对称的图形。

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l

图

(1) 3、已知△ABC，及点A的对称点A′，请作出对称轴直线l，并画出△ABC关于直线l的对称图形。

A .

A′

B

C

4、补全下列图案，其中虚线是对称轴。

注意对称点作法。

5、身高1.80米的人站在平面镜前2米处，它在镜子中的像高______米，人与像之间距离为_______米；如果他向前走0.2米，人与像之间距离为_________米．

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课题：13.2画轴对称图形（2）

[教学目标]：1、掌握在平面直角坐标系中，关于x轴和y轴对称点的坐标特点；

2、能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形；

3、能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。

[教学重难点]：在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。

[教学过程]：

一、情景导入：

1、如图，在平面直角坐标系中，

1）分别写出点A、B、C的坐标。

2)在坐标系中标出点A、B、C关于x轴的对称点

A1 、B1、C1，并分别写出A1 、

B1、C1、的坐标。

3）在坐标系中标出点A、B、C关于y轴的对称点

A2、B2、C2，并分别写出A2、B2、C2的坐标。

CA

4）观察每对对称点的坐标，你发现了什么规律？

B

二、问题导学：

阅读课本P68-70，完成下面的填空：

1、在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________，点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为 ；

2、在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________，点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为 。

3、完成下表. 已知点

关于x轴的对称点

关于y轴的对称点

(2,-3) (-1,2) (-6,-5) (

1，1) (4,0) 2

三、互动点拨：

1、点（－１，３）与点（－１，—3）关于_________对称；

点（2，—4）与点（－2，—4）关于_________对称；

2、教材P70例2

3、已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),C(-1，3)，作出△ABC关于y轴对称的图形。

四、检测反馈：

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1、课本P70-71练习1,2.

2、点M (a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称，则a=_____, b =_____。

3、已知A（－1，－2）和B（1，3），将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．

4、已知点（x，4-y）与点（1-y，2x）关于y轴对称，则xy= 。

5、平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，－1）. （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；

（2）求△ABC的面积. （3）若A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标.

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课题：13.3.1 等腰三角形（1）

[教学目标]：1、理解和掌握等腰三角形的定义，理解等腰三角形是轴对称图形；

2、掌握等边对等角的性质；

3、掌握“三线合一”的性质。

[教学重难点]：掌握等边对等角，“三线合一”的性质。等边对等角，三线合一的应用。

[教学过程]：

一、情景导入：

1、

如图，⊿ABC中，AB=AC 则⊿ABC是 三角形

2、

等腰三角形是轴对称图形吗？ 在右图中画出它的对称轴l

二、问题导学：

阅读课本P75-77，完成下面的填空：

1、等腰三角形的定义：有 的三角形是等腰三角形；

2、等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角 ；

3、等腰三角形的性质2：等腰三角形的 、 、 相互重合（简写成“三线合一”），三线所在的直线是等腰三角形的 。

三、互动点拨：

例1、如图，在⊿ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求⊿ABC各角的度数。

0ABCADBC例2、如图，⊿ABC是等腰三角形（AB=AC，∠BAC=90）AD是底边BC上的高，求∠B, ∠C, ∠BAD, ∠DAC。

四、检测反馈：

1、如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数

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ABDC

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70°120°40°

2、在⊿ABC中，AB=AC，若∠B=80度，求∠C的度数

3、在⊿ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°，判断⊿ABC是什么三角形？并说明理由。

4、在⊿ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=30°，求∠B和∠C的度数。

解：∵AB=AD ∴∠ =∠ 又∵∠BAD=30°

∴∠ = ∠BAD= ∴∠ADC=180°－∠ADB= 又∵AD=DC ∴∠ =∠ =

BDCAABC

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课题：13.3.1 等腰三角形（2）

[教学目标]：1、理解和掌握判定一个三角形为等腰三角形的常用方法；

2、掌握等边对等角的判定法则。

[教学重难点]：掌握等角对等边的性质。等角对等边性质的应用。

[教学过程]：

一、情景导入：

1、复习等腰三角形的性质；

2、如图，⊿ABC中，∠B=∠C，猜想：AB与AC的关系：

BC二、问题导学：

阅读课本P77-78，完成下面的填空：

1、等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么 也相等（简写成“等角对等边”）。

三、互动点拨：

例1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。

已知：∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC

求证：AB=AC 证明：

BCAE12DA

例2、已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形。

a h

四、检测反馈：

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1、

如图，AC和BD相交于点O，且AB//DC，AO=BO。

求证：OC=OD 证明：∵OA=OB ∴∠ =∠ （ ）

又AB//DC

∴∠ =∠ ∴∠ =∠ ∴OC=OD（ ）

2、

如图，∠A=∠B，CE//DA，CE交AB于E，

求证：⊿CEB是等腰三角形。

3、

已知，如图，点D、E在⊿ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE，

求证：AB=AC

4、已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，DB=AC，

求证：⊿ABC是等腰三角形。

BDEFCAAEBDCDOCABABDEC

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课题：13.3.2 等边三角形（1）

[教学目标]：1、理解等边三角形的定义；

2、掌握等边三角形的性质和判定方法。

[教学重难点]：掌握等边三角形的性质和判定方法。等边三角形的性质和判定方法的应用。

[教学过程]：

一、情景导入：

1、如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD等于（ ）

A、3cm B、4cm C、1.5cm D、2cm

2、如图,⊿ABC中，AB=AC，∠A=80°, BD平分ABC

求：∠ABC，∠BDC

二、问题导学：

阅读教材P79-80，完成下面的填空：

1、等边三角形是特殊的 ，它的三个内角 ，并且每一个角都等于 。

2、等边三角形的判定方法：三条边都_________的三角形叫等边三角形；

有一个角是 的 三角形是等边三角形。

三、互动点拨：

1、已知，如图在⊿ABC中，AB=BC=CA 则：∠A= ∠B= ∠C= ；

2、已知，如图在⊿ABC中，

∵∠ =∠ =∠ ∴⊿ABC是__________

3、已知，如图在⊿ABC中 AB=AC，∠A=60°

则：∠B= ；∠C＝ ，则⊿ABC是 三角形。

已知，如图在⊿ABC中 AB=AC，∠B＝60°，

BA60°BCAADOCBAC

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B60°C

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则：∠A= ；∠B＝ ，则⊿ABC是 三角形。

4、如图，⊿ABC是等边三角形，DE//BC交AB、AC于D、E 求证：⊿ADE是等边三角形。

四、检测反馈：

1、教材P80练习2；

2、已知，如图⊿ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，AB=1 则：∠BAD= ，∠ADB= ，

AC= ，BC= 。

ABCADEBCD3、如图，点C为线段AB上一点，⊿ACM, ⊿CBN是等边三角形

求证：AN=BM

AMN

CB

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课题：13.3.2 等边三角形（2）

[教学目标]：1、理解等边三角形的定义；

2、掌握等边三角形的性质和判定方法。

[教学重难点]：掌握等边三角形的性质和判定方法。等边三角形的性质和判定方法的应用。

[教学过程]：

一、

情景导入：

1、回顾等边三角形的性质和判定方法；

2、如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，根据你的

观察完成下列填空：

（1）∠A＝ ，∠B＝ ，∠D＝ ， （2）BC= BD

（3）AB与BD是否相等？_________；BC= AB (4) ∠BAC＝ °，AB是RtABC的______边，∠BAC所对的直角边是_____

二、

问题导学：

阅读教材P80-81，完成下面的填空：

1、在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的______边是 BCDA______边的一半

三、

互动点拨：

例1、如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8cm，∠A=30º，求：立柱BC、DE的长。

解：

例2、

教材P81练习1。

四、

检测反馈：

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ADBEC

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1、

已知，如图在Rt⊿ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

AB=8，则BC= 。

2、在直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B=30°，

AC=1，BD=2，则∠ACB= ，BC= ，若DE是CB的垂直平分线，则∠ACD= ，DC= 。

BAC3、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，AD=2 求：（1）∠ADC，∠1的度数；（2）求AB的长

4、在Rt△ABC中，∠C=90，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分线段AB，

①试找出图中相等的线段，并说明理由。

②若DE=1cm，BD=2cm，求AC的长。

0

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课题：13.4 课题教学 最短路径问题

[教学目标]：1、轴对称知识的运用；

2、利用“两点之间，线段最短”；“垂线段最短”，构建模型实现转化。

[教学重难点]：轴对称性质的运用。利用“两点之间，线段最短”；“垂线段最短”，构建“对称模型”实现转化。

[教学过程]：

一、情景导入

1、随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。

二、问题导学

阅读课本P85-87，思考问题1和问题2。

三、互动点拨

例1、如图，A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

B

A

例2、如图，张庄Ａ、李庄Ｂ位河的两侧，河宽５０米，现要在河上架一座与河岸垂直的桥，桥架在什么位置，从张庄过桥到李庄所经过的路线最近。

分析：通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为两定点之间的距离。

例3、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为 。

B

A

四、检测反馈

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1、如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别

为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

B

A

L

2、要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边

的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为 。

李庄

张村

3、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。

D

C

A B

4、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。

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