同底数幂的除法优秀教学设计

第课时

1.经历探索同底数幂的除法运算性质的过程,进一步体会幂的意义.

2.了解同底数幂除法的运算性质,并能熟练应用.

3.理解零指数幂和负整数指数幂的意义,能进行零指数幂和负整数指数幂的乘除法运算.

进一步学习幂的有关运算的过程中,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,提高学生观察、归纳、类比、概括等能力.

通过对同底数幂的除法性质的探索过程,让学生获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.

【重点】

了解同底数幂除法的运算性质,并能熟练应用.

【难点】

理解零指数幂和负整数指数幂的意义.

【教师准备】

课堂中的提问问题设计.

【学生准备】

预习教材P9~11.

导入一:

【思考】

前面我们学习了哪些幂的运算?在探索法则的过程中我们用到了哪些方法? (1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加.am·an=am+n(m,n都是正整数).

(2)幂的乘方,底数不变,指数相乘.(am)n=amn(m,n都是正整数).

(3)积的乘方等于积中各因数乘方的积.(ab)n=anbn(n是正整数).

[处理方式]

教学时可以让学生自己写出三种幂的运算法则的叙述和字母表示,要注意引导学生回顾三种法则探索过程中用到的归纳思想和数学的推理方法,只要他们用自己的语言描述清楚即可,如学生可能会回答“由具体的例子的计算(特殊)得到法则的符号表示(一般)”“用幂的意义说明了法则的正确性”等.

[设计意图]

学习同底数幂的除法要借助前面三种幂的运算的活动经验和知识基础,因此这个环节的目的是回顾前面的知识和方法,为下面自主探索、归纳法则做好铺垫.

导入二:

一种液体每升含有1012个有害细菌,为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.

(1)要将1升这种液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少滴? (2)你是怎样计算的? (3)你能再举出几个类似的算式吗?

[处理方式]

解决问题(1),学生可根据题意列出算式1012÷109,也有可能列出形式的实质是一样的.

问题(2)用到的是有理数的运算,教学时应鼓励学生独立思考,在黑板上呈现不同的计算过程,并说明每一步的算理,学生可能出现不同的解决方法:可先将幂还原成大数再用分数的约分来计算,也可逆用同底数幂的乘法进行计算.

问题(3)应尽可能多地在黑板上呈现学生举的算式,在教学时可以通过追问“这些算式举的对不对?”帮助学生抓住特征:同底数幂、除法.还可以再追问“这些算式应该叫做什么运算呢?”引入这节课的研究对象:同底数幂的除法运算.

[设计意图]

由实际问题引入同底数幂的除法,让学生体会数学与现实生活的紧密联系,而这个问题学生运用有理数知识就能解决,为下面类比解决“式”的问题提供思路,第(3)问的目的是帮助学生抓住“同底数幂”“相除”这些本质特征.

导入三:

我们居住在一个美丽的星球,叫做地球,地球的体积大概是9.04×1011立方千米,太阳的体积大概是9.04×1017立方千米.同学们,你能告诉大家太阳的体积大约是地球体积的多少倍吗?请列出算式.

[处理方式]

学生得出算式(9.04×1017)÷(9.04×1011),其本质就是1017÷1011,怎样计算这个式子呢?本节课我们来研究同底数幂的除法.

[设计意图]

以生活实际问题为背景,引出数学问题,既尊重课本内容又符合加强数学与现实联系的要求,启发的语言调动起学生的兴趣.

[过渡语]

同底数幂相乘,底数不变,指数相加,同底数幂相除怎样运算呢?你能猜想出来吗? 探究活动1

同底数幂的除法法则

思路一

【活动内容1】

1.计算导入二中你列出的算式.

2.计算下列各式,并说明理由(m>n).

(1)10m÷10n; (2)(- 3)m÷(- 3)n; (3)

-

÷

-

.

3.你能用字母表示同底数幂的除法运算法则并说明理由吗? [处理方式]

这里的教学方式可以根据上一环节学生的举例情况灵活处理.如果学生列出的算式不够全面,就可以先将第2题补充进来,再让学生观察运算前后指数和底数发生了怎样的变化,有了前面探索法则的

个

,应让学生认识到两种

经验基础,类比有理数的计算过程学生不难得出am÷an=

- 个

个

=

=am- n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n).

教学时可以追问“a都可以取哪些值呢?”来引导学生类比有理数的除法中对除数不为0的要求来理解这里的a≠0,再借助上面的计算约分时出现m- n个a的过程得到m>n.而当m=n和m

[设计意图]

让学生从有理数的运算出发,由特殊逐渐过渡到一般,得到同底数幂的除法运算法都是正整数,且m>n),再运用幂的意义加以说明.在此过程中,发展学生类比、归纳、推理能力和有条理的表达能力.

【活动内容2】

则:am÷an=am- n(a≠0,m,n

(教材例1改编)计算.

(1)a7÷a4;

(2)(- x)6÷(- x)3; (3)- m8÷m2; (4)(xy)4÷(xy); (5)b2m+2÷b2; (6)(m+n)8÷(m+n)3.

[处理方式]

在教学时应重视对算理的理解,每一小题都应先让学生判断是不是同底数幂的除法运算,再说出每一步运算的道理,有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.学生可能在计算第(3)(4)小题时出现问题,第(3)题的“- ”号,学生在前几节课中解决过类似问题,教学时可以引导他们与第(2)题对比,加深理解;第(4)题在同底数幂除法计算中增加了积的乘方的运算,应关注学生对学过的几种幂的运算是否能正确理解和区别.如果学生出现漏算或混淆的情况,可以先让他们判断运算,再说明算理.

解:(1)a7÷a4=a7- 4=a3.

(2)(- x)6÷(- x)3=(- x)6- 3=(- x)3=- x3.

(3)- m8÷m2=- m8- 2=- m6.

(4)(xy)4÷(xy)=(xy)4- 1=(xy)3=x3y3.

(5)b2m+2÷b2=b2m+2- 2=b2m.

(6)(m+n)8÷(m+n)3=(m+n)8- 3=(m+n)5.

[设计意图]

这里为了更加全面地巩固同底数幂除法运算,在教材的基础上增加了(3)和(6)两个小题,这些题目由易到难,目的在于逐渐加深学生对同底数幂的除法的理解,帮助学生体会am÷an=am- n中的a可以代表数,也可以代表单项式、多项式等.

思路二

1.怎样计算1012÷109? [处理方式]

教师点拨指导,展示解题过程: 个 1012÷109=

个 =

=103.

个 2.试一试,用你熟悉的方法计算.

(1)25÷23; (2)107÷103; (3)a7÷a3.

[处理方式]

学生尝试计算后,教师展示解题过程: (1)25÷23= 2=2=4.

=10000=104.

(2)107÷103=(3)a7÷a3= 4=a.

小结:我们利用幂的意义,得到: (1)25÷23=22=25- 3.

(2)107÷103=104=107- 3.

(3)a7÷a3=a4=a7- 3.

3.观察它们的底数及指数有什么样的规律,尝试用字母表示同底数幂的除法运算法则.

[处理方式]

我们发现它们的底数没有改变,指数改变了.

板书推理过程:

- 个

am÷an=

=

=am- n.

个

个

学生可能会忽视“a≠0,m,n都是正整数,且m>n”的要求,教学时可以追问“a都可以取哪些值呢?”来引导学生类比有理数的除法中对除数不为0的要求来理解这里的a≠0,再借助上面的计算约分时出现m- n个a的过程得到m>n.

归纳:

同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减.

即am÷an=am- n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n).

教师强调需要注意的是:①同底数幂除法运算中,相同底数可以是不为0的数字、字母、单项式或多项式.②同底数幂除法运算中,也可以是两个以上的同底数幂相除,幂的底数必须相同,相除时指数才能相减.

[设计意图]

利用类比结合探究的形式引导学生逐步深入思考同底数幂如何相除,从学生已有的知识和经验出发,引导学生探索发现同底数幂的除法的运算性质,遵循循序渐进的认知规律,由幂的意义和同底数幂的乘法得出同底数幂的除法法则,知识生成自然,学生很容易接受.从而得到同底数幂的除法法则.

探究活动2

探索零指数幂与负整数指数幂

【活动内容】

1.做一做: 104=10000,

24=16, 10(

)=1000, 2(

)=8, 10(

)=100, 2(

)=4, 10(

)=10, 2(

)=2.

2.猜一猜: 下面的括号内该填入什么数?你是怎么想的?与同伴交流.

10(

)=1,

2(

)=1, 10(

10(

10(

)=0.1, 2(

2(

2(

)=

,

)=0.01,

)=

,

)=0.001,

)=

.

3.你有什么发现?能用符号表示你的发现吗? 4.你的发现合理吗?为什么? [处理方式]

活动1对学生而言并不困难,教学时学生可能会找到规律:底数为10时,指数每减小1,幂的值就会缩小为原来的;底数为2时,指数每减小1,幂的值就会缩小为原来的.学生也可能进一步归纳出“底数为a时,指数每减小1,幂的值就会缩小为原来的”可以追问“这里的a能取哪些值?”从而让学生体会a≠0.

活动2对学生来说是有些难度的,可以引导学生按照上面的规律进行猜想,教学时应给学生充分的独立思考和小组交流的时间.

活动3从数的变化规律中进行分析、归纳与概括,再将猜想用符号一般性地表示出来,得到:a0=1,a- p=

,这样的过程可以发展学生的合情推理能力.

活动4通过解释结论的合理性来发展学生演绎推理能力,教学时应鼓励学生从不同的角度进行思考和解释,帮助他们更好地理解零指数幂、负整数指数幂的意义.学生可能出现的解释方法有如下两种: 方法一:从同底数幂的除法和约分的角度来进行说明.

我们前面这样推导了同底数幂的除法法则:

个

- 个

==

=am- n(a≠0,m,n

个

都是正整数,且m>n).

当m=n时,我们可以类似地得到:

个

a0=am÷am=

=1(a≠0,m,n

个

都是正整数); 当m

个

a- p=

= ==

- =

(a≠0,p

个

- 个

为正整数).

方法二:从乘除法的逆运算关系来说明.

因为am·a0=am+0=am,所以a0=am÷am=1(a≠0,m为正整数).

在这一结论的基础上再进一步得到: 因为ap·a- p=ap+(- p)=a0=1,所以a- p=1÷ap=

(a≠0,p为正整数).

[设计意图]

学习了有理数的乘方和前面几种幂的运算后,学生对正整数指数范围内幂的意义理解得很好,而理解零指数幂和负整数指数幂的意义对学生而言是个难点.教科书设计了“做一做”和“猜一猜”,通过简单的有理数幂的探索,让学生猜想得到零指数幂和负整数指数幂的意义.这里在教科书原有的基础上又补充了后面两个问题,目的就是让学生完整地经历观察、猜想、归纳、解释的过程,从而可以帮助学生更好地理解零指数幂、负整数指数幂的意义.

[知识拓展]

当指数拓广到零和负整数范围后,我们前面学过的同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算法则仍然成立.

1.am÷an=am- n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n).

同底数幂相除,底数不变,指数相减.

2.a0=1(a≠0);a- p=

(a≠0,p是正整数).