4.1 平方根教学设计第一课时

《平方根》教学设计

常州市武进区星辰实验学校

王丽琴

213161 [课题名称] 苏科版数学八年级上册第四章第一节《平方根》第一课时。

[教材简解] 本节教材是学生在七年级上册学习

“棋盘上的故事”认识了运算

“乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方。

在这节内容的学习中要认识学***方根，学***方根的概念及其运用。并对“乘方”和“开方”、“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导——探索——类比——发现”中发展学习数学的能力。

对平方根的性质，教材是考虑学生的年龄特征，先通过

“探究”中的具体问题，让学生根据平方根的意义，举例讨论分析类比得出结果，再分析结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论。因此学生必须了解平方根的性质产生的背景，经历性质的探索过程、理解、掌握基本技能；同时也力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。

[目标预设] 1、培养学生的逻辑分析能力。使学生理解经历数的平方根的概念形成过程，，能运用根号表示一个数的平方根；让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力，使学生能把本节课知识与先前已学经验、知识建立联系，更好地分析问题，使知识系统化。

2、培养学生的综合转化能力。掌握用平方运算求某些数的平方根的方法。通过学生利用利用观察、归纳、类比、概括、推理等多种综合分析手段，从而由特殊到一般地探究出平方根性质，提高处理实际问题的能力。

3、培育学生合作交流的能力。通过了解乘方与开方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的平方根，让学生利用已经具有的合作学习的经验，感受到创造性活动带来的愉快，体会真正的数学美，增强相互间的合作与交流，培养的数学情感。

[重点难点] 1、重点：平方根的概念，会用根号表示一个非负数的平方根。

2、难点：学会理解归纳平方根的性质，并能运用开平方运算求一个非负数的平方根。

[设计思路] 本小节安排两课时，第一课时：在具体的例子中抽象出数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根，发展学生的抽象概括能力。先通过对乘方的意义到总结出平方根的基本概念，然后解决单纯数或者式子的平方根的计算；第二课时，归纳类比得到算术平方根的概念和基本性质并解决一些简单的现实问题。

本节课是第一课时，主要通过归纳类比得到平方根的概念及性质并解决一些简单的现实问题，涉及：课前热身--温故而知新、自主探究—讨论得1

概念、性质运用--步骤和解析、练习提高--强化加拓展、课堂小结--收获与感想、布置作业--反馈并提升等六个教学环节。

[ 教学过程] 第一环节：课前热身 活动内容：温故而知新：

数与运算的发展： 数学的学习开始于数的学习，引出数的发展：

负数

无理数

算术数

有理数

？

从而引出本章学习的：实数

有了数就要研究它的运算。

一级：加法

减法

↓ ↓

二级：乘法

除法

↓ ↓

三级：乘方

？

（平方） ？

由这两个“？”引出本课课题：平方根

活动目的：这个数与运算的发展是帮助学生在生活实际的基础上复习回忆前面所学知识，为后面环节的进行做好基础工作。问题可以归纳为“已学习的知识来引出将要学习的知识”的问题。启发学生对问题的兴趣，促进其对问题进行思考。通过这一环节进一步深化学生对前面数和运算知识的复习和认识，并为本节新知识做准备。由加、减、乘、除之间的互逆关系从而推出乘方是不是有个运算与之对应，其中常用的平方是不是也有个运算与之对应。

设计意图：温故而知新，复习回顾有利于新知识的学习。让学生感受到所学知识竟然与我们将要学习的本章知识有着密切的联系，激发起学生的好奇心和学习兴趣，感受到学***方根的必要性。通过实际问题抽象为数学问题，为学***方根提供背景和素材，进而下一步可以自然而然的引入平方根的概念。也让学生明白生活即数学，数学即生活！

教学效果：学生各个问题回答得都很顺利，虽然没有多少困难，但还是要学生在掌握知识的灵活性方面注意努力。体验即有感悟，感悟即有体验！

第二环节：自主探究 活动内容：讨论得概念：

类比：我们一起来看几个平方运算问题：

计算：（-2）2

、（0.5）2

、

（

± 3）2

特殊：（-2）2＝4，（0.5）2＝0.25，（

± 3）2＝9 一般：a 2＝x

对于式子（

± 3）2＝9，其中± 3是底数，2是指数，9是乘方的结果是幂。这里是已知底数和指数2，求幂，这一种运算叫平方运算。那这三个量是不是也可以已知其它的两个量求第三个量呢？会有哪些情况呢？

一种是已知幂和指数2，求底数；另一种是已知底数和幂，求指数。2

现在我们来研究第一种

特殊：x2＝9，x2＝16，x2＝2

一般：x2＝a 有了算式，就要来研究它的值的情况：

对于x2＝9来说：∵3²＝4，（－3）²＝9．∴x＝±3 对于x2＝16来说：∵4²＝16，（－4）²＝16．∴x＝±4 那x2＝2中的这个x能在有理数范围内找到它的值吗？这个x存在吗？用二边夹逼来推出x是个无理数，那这个x在生活中有存在的价值吗？接着做一个与之相关的拼图游戏。

拼图小游戏：

同学们，拼图游戏玩过吗？那有点挑战性的拼图游戏敢不敢玩？现在我们这来玩一个于这个x有关的拼图。

(1)现有两个相同的小正方形纸片，如果只允许剪二刀，你能拼成一个大正方形吗？同桌合作拼图。

让学生到黑板上拼好后问：

(2)如果小正方形的边长是1，那么大正方形的边长是多少呢？

(3)说说你是怎样列式来表示的。

如果设大正方形的边长是x,那么可以得到算式：x2=2

说明这个算式在生活中是有价值的。这时我们可以来研究它的值的情况了。

∵3²＝4，（－3）²＝9．∴x＝±3 ∵4²＝16，（－4）²＝16．∴x＝±4 对于x2＝2来说：∵（+ ）²＝2，（－

）²＝2．∴x＝±（ ） 对于x2＝a来说：∵（+ ）²＝a，（－

）²＝a．∴x＝±（ ）

从而引进引出平方根定义：

如果x2＝a （a≥0 ）那么

x 叫做a

的平方根（或二次方根）

问题1：你能叙述平方根的定义吗？从文字和符号两方面来表达平方根的定义。

由平方根的定义可以来求一个数的平方根。

∵（±3）²＝9，∴±3是9的平方根。

∵（±4）²＝16，∴±4是16的平方根。

那2的平方根如何来表示呢？

接着类比于小学分数线的引进来表示分数，这里引进了±

a来表示a

的平方根。

问题2：a

表示什么意思？它的值是怎样的数？这里的被开方数a是怎样的数？

学生活动：独立思考1、2答案，提出疑难问题。

通过让学生自己讨论比较，让学生观察情景中的各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示发现的规律.让学生通过观察，试着说一说得到的结论是什么？由此归纳总结得出平方根的概念：一般地：如果x2＝a，（a≥0）那么x叫做a的平方根。也称为二次方根。正数a的正的平方根记为“a，”负的平方根记作- a .正数a的两个平方根记作±

a

，

读3

作“正a、负根号a”，a叫做被开方数。

一号展厅：开心说说：

下列各数表示的意思： -7，0.81，±121

由（

± 3）2＝9知道，±3就是9的平方根，求这个±3，就是求9的平方根。我们把求一个数的平方根的运算叫开平方。

由开平方运算也可以来求一个数的平方根。

∴9的平方根是±9=±3．

∴16的平方根是±16=±4．

∴2的平方根是±2．

（其中当这个x表示所拼的正方形的边长时，x=2。实际问题中求一个数的平方根时就是求这个数的正的平方根）

∴a

的平方根是±

a。

强调：书写时根号一定要把被开方数盖住。

活动目的：让学生比一比拼图，让课堂气氛更活跃。使学生进一步体会符号表示的意义，发展符号感；经历“由特例进行归纳、建立猜想、用符号表示、并给出证明”这一重要的数学探索过程，进一步发展学生的推理能力，更能体会到平方根概念的必要性。同时在探索过程中时需要用到类比归纳，为本节主要知识点的得出做好铺垫。教师充分调动学生的积极性，引导学生说出每一个式子的结论，通过计算、讨论，总结得出相关概念找出各式的共同规律，归纳得出概念，培养学生抽象概括的能力，知道平方与开平方互为逆运算。

设计意图：由学生感兴趣的图形入手，以平方根的意义为铺垫来归纳平方根的性质，设置情景问题，为学生提供参与活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发学生的好奇心和求知欲，同时非常自然地导出本课的主题。三个问题的设置加深对平方根的非负性的理解，进一步提高语言表达的准确性和书写的规范性。

教学效果：在教学中，教师鼓励学生在独立思考的基础上探索出规律，并且鼓励算法的多样化。之后，学生之间就该题的多种方法进行了充分的交流，学生在交流与比较中获得较大益处。同时学生通过比较不同的办法，将进一步体会平方根的必要性。

第三个环节：性质运用

活动内容：合作和探究

交流讨论：

二号展厅：快乐求值：

求下列各数的平方根:

16(1)100 (2)15 (3) (4)0 (5)-4 (6)-8 25思考探究：问：一个数的平方根的性质怎样？任意实数都有平方根吗？

简单步骤：让学生思考讨论从正数、零、负数的平方根上分别对它们进行区别归纳。从而得到平方根的性质：

4

一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；

0只有1个平方根，它是0本身；

负数没有平方根．

强调：±

a

表示正数a的平方根。且当a<0时，a无意义。

活动目的：第1个活动中的问题是引导学生通过对具体的数的平方根的讨论交流，使学生自己总结出正数、0、负数的平方根的情况，从而对平方根的性质进行完备，从而对平方根的性质形成全面的认知发展有条理的思考及语言表达能力。让学生经历探索规律的过程，加深对规律的理解。第2个活动是训练学生会按照平方根的性质规范地进行平方根的运算，并能说明其中的道理。学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据。在处理例题时要让学生充分参与分析，在运算时特别要注意一个正数的平方根有两个，对解题方式提醒应按要求。

设计意图：学生通过计算或根据二次根式的性质得出结论，学生在两个环节中利用平方根的性质时注意语言的准确性和书写的规范性。教师要提醒学生，最好的方法是思考，这样既考查对平方根性质的理解，还利用学生出题来调动学生的积极性，一举两得。明辨两者的区别和联系，也是为了更好地进行应用。自己出题自己做提高兴趣，活跃课堂气氛。同时通过自我出题评价来获得成功的快乐，提高学习的自信心。

教学效果：在第一个环节中加强了平方根性质的理解，在上面的探索规律中又经历了这一步骤，所有对于第1个活动，学生基本能想到正数有两个平方根知识联系，0也得以补充完整。因为本节课的题目所涉及的平方根都要注意正数有两个平方根，所以第2个活动应放手交给学生自己尝试。教师在课堂上深入到学生中进行观察，对于发现的问题可以通过让学生表达算理等方式鼓励他们自己改正。此时课堂气氛非常的活跃，学生都有自信，能体会到快乐的学习与学习的快乐。

强调：学生为主体。

第四环节：练习提高

活动内容：强化加拓展：

1、三号展厅：快速抢答：

判断正误：

-4的平方根是-2 （ ）

︱-4︱没有平方根 （ ）

-1是1 的平方要 （ ）

81的平方根是9 （ ）

（特别注意这里的81的平方根这里有双重意思）

2、求下列各式中的x：

求下列各式中的x：

(1)x2=0.36 (2)（x-1）2=16 (3)2x2=50 （一元二次方程有的特殊情况就形如x2＝a） 设计意图：在学生完成过程中，教师巡回检查，然后把出现问题的告知学生，让学生改正，教师展示学生的计算结果，并且对学生出现的错误5

进行点评。这样可使学生印象更深一些，学生练习本上完成后，让两名学生把完整的解题格式板演到黑板上，然后同桌互相交换打分。主要是运用所学知识解决实际问题，以提高学生将实际问题转化为数学问题的能力。展示学生对平方根的思考反应过程，全班互相监督，培养学生良好的学习习惯。对于一元二次方程的特殊情况我们也是可以通过求平方根来解决。

学生活动：教师不做任何提示，学生独立完成。

设计意图：提高拓展训练也是课堂上的一个重要环节，平方根性质的运用，在具体题目中不影响其结果，学生对性质的重要性就没有足够的认识，81的平方根这里有双重意思，要帮助学生弄清楚。。

教学效果：当学生在化简时要对勾股定理的熟练运用又要涉及到图中隐含条件的化简求值，这题由能力拓展的思维训练练习转化到了挑战自我较综合有一定难度的题目了，需要学生既动脑子又要仔细注意图中的隐含条件。考察学生性质的应用于化简来解决实际问题等，要组织学生通过操作、讨论，最终得到统一的答案。

第五环节：课堂小结

活动内容：收获与感想：

鼓励学生就本课时的学习谈自己的收获与感想，学生畅所欲言，教师给予鼓励（包括从中学到了哪些知识、数学思想和方法等）：

你对你自己说，你有什么收获？

你对老师说，你有什么疑惑？

你对同学说，你有什么温馨提示？

教师再强调：运用平方根性质进行化简时需要注意正数有两个平方根。

活动目的：培养学生善于归纳、总结的习惯，发展有条理的思考及语言表达能力。

设计意图：归纳小结有时也不用教师包办代替，教师引导学生回顾本节内容，可以完成填空题的形式出现，可能比教师简单归纳效果要好。让学生尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识，

内化数学的方法和经验。

教学效果：学生畅所欲言自己的收获和感想：会用法则进行平方根的化简运算；知道了每一步的算理；计算时必须仔细，养成良好的习惯；必须要加强新旧知识的联系，这样才能灵活地解决新问题。师生互相交流，让学生在做化简题目时，注意格式要规范。对所学知识进行反思、归纳和总结。会对知识进行提炼，体会数学的思想和应用，将感性的认识升华为理性的认识。

第六环节：作业布置

活动内容：反馈并提升：

1.必做题：P.111习题1、 3 2.选做题：P.113探索研究第14题。

3.思考题1：如果已知底数和幂，要求指数，那是个什么新的运算呢？ 4.思考题2：

6

⑴（5）2

=

⑵

(5)2 =

2⑶

对于正数a , a等于多少? 2⑷

对于任意数a，a一定等于a吗？

活动目的：在作业练习中强化学生的自我评和提升平方根的化简能力。

设计意图：及时反馈学生学习的效果便于进行课堂教学的优化，学生通过独立思考，完成课后作业，便于发现问题，及时查漏补缺。思考题给学有余力的学生去思考，延续及深化课堂内容。

教学效果：学生通过独立思考，基本上都能完成课后作业，情况很顺利，说明学生在掌握知识的灵活性方面已经很不错了。

[教学反思]

1、要注意在枯燥的数学教学课堂教学营造氛围。虽然说数学与生活密切相关，但是并不是所有课都能用运用生活情境来讲授数学概念、数学知识和运算过程。在枯燥的数字和繁琐的运算中如何不断提高学生的注意力是教师一个严峻的课题，尤其是在本节课的教授中一个难点。在教学过程中，要利用数学的逻辑推进优势，加以学生的自己动手和交流合作等方式，让学生经历了整个学习过程，来营造课题氛围。

2、要给学生展示自己提供更多的机会。“教必有法，而教无定法”，只有方法恰当，教学才会有效。课堂上给学生独立的思考时间，然后通过学生讲解、合作学习、学生板书与学生互相点评等多种形式，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更有利于教师发现学生分析问题、解决问题的独特见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学、课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放到教学首位。通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。

3、要引导学生进行经常性反思。在枯燥的数学运算过程中，如果每次都是要求学生简单地做一做，学生很快就会有厌烦情绪。要大力表扬那些认真思考的同学，鼓励学生进行经常性反思，尤其是对于一些难题，不管是自己解决还是和别人共同解决出来的，都要引导学生理清一下思路，思考这类题的解法；如果是通过老师讲解后明白的，要及时引导他们反思一下原因，为什么当时不会解，是什么原因造成的？学生只有对自己进行反思总结，就会收到意想不到的学习效果，使学生领悟生活和学习思想、方法，优化自己的知识结构，发展思维能力，培养创新意识。

4、要重视已学知识的纵向联系渗透。到八年级，学生对数的认识已经从有理数范围扩大到实数范围，而且平方根的学习与整式、勾股定理密切联系。因此，要注意重视学生已经掌握知识的纵向联系，让学生体会数律在数的扩充过程中的一致性；要通过题型的概括、方法的归纳，让学生能理解平方根性质，并熟练运用法则进行运算，达到教学的效果。

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