3.4.1 函数与方程教学设计模板

函数与方程教案设计

无锡市玉祁高级中学韦佳春

教案背景

（1）、课题：函数的零点问题

（2）、教材版本：2003苏教版

教材分析

高考试题的命制往往着眼于在知识的交汇处，因此，在二轮复习中，教师不能仅仅将单独的知识进行纵向的挖深，同时也要将知识横向的联系起来，在学生原有的认知基础上，将知识有步骤，有目的进行联系，深入，扩展，使得学生的知识体系逐步网络化，达到波浪似的前进和螺旋式的上升状态。函数的零点问题是联系着不等式，方程的根，和函数的交点问题。这是二轮复习的难点和重点

教学目标：

1.让学生熟悉函数的零点的相关基础知识内容。

2.让学生能够灵活地将函数的零点，方程的根与函数的交点的横坐标之间的转换。

3.调动学生的思维，让学生通过问题转换的过程中，提高学生发现问题联系和解决问题的能力。

教学重点：函数的零点，方程的根与函数的交点的横坐标之间的转换与联系

教学难点：函数的零点，方程的根与函数的交点的横坐标之间的转换。

教学方法：以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，运用学生自主学习、合作交流的教学方式。

教学环节

在复习“函数与方程”这一章节时，学生对函数的零点，方程的根，函数的交点，以及不等式的内容概念不够清晰，理解不够到位，他们之间的联系与区别不能分析清楚，针对这样一系列问题，结合函数这一章知识本身的固有特点，我进行了如下操作：设计如下五个小题：

1.函数f(x)2log2x2的零点是

知识点回顾：

一般地，对于函数y= f (x) (x∈R)，我们把方程f (x)=0的实数根x叫作函数y=f (x)(x∈R)的零点。即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值。函数的零点不是一个点，而是一个实数。

2.已知函数

f(x)6log2x

，若

f(x)的零点所在的区间是(k,k+1)(k∈z)，则

k =

.

x知识点回顾：

零点存在性定理——如果函数y = f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f(a) · f(b）＜0

，那么，函数y =f(x)在区间（a,b)内有零点

。

33.已知方程

x



6

x

2



9

x



10



a



0

有且只有一个实数解，则实数a的取值范围是

知识点回顾：

函数y=f(x)有零点x0与方程f(x)=0有实根

x=x0与函数y=f(x)的图像与x轴有交点(x0，f(x0))

1.参分；

2.两个熟悉的函数；

3.直接求与x轴交点

思想方法

等价转化

24.已知函数f(x)x3x,xR. 若方程f(x)ax10，恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是

25.已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x[0,3)时，f(x)x2x1，若函数yf(x)a在区间[3,4]2上有10个零点(互不相同)，则实数

a 的取值范围是

. 选题意图：这五个小题让学生在课前完成。这五小题在难度上属于简单到偏中的难度，意在让学生重新回顾函数的零点的概念，方程的根以及函数的零点存在定理，同时让学生对函数y=f(x)有零点x0，方程f(x)=0有实根

x=x0，函数

y=f(x)的图像与x轴有交点(x0，f(x0))这三者之间的等价性有一个全面的理解。在讲解五个问题时，笔者让学生上讲台讲解，说出思考的过程和题目涉及的知识点，让学生充分参与到课堂中。

2例1.已知函数f(x)x4x3，则：①函数g(x)[f(x)]23f(x)2的所有零点构成的集合

是

②若方程[f(x)]2bf(x)10(bR)恰有6个不相同的实根，则实数b的取值范围是

. 选题意图：本例题的选择是建立在学生已达到预习阶段的知识要求，对函数转变为复合函数，将普通方程改为复合方程，将题目的难度进一步加大，但是知识点仍然紧紧围绕让程的根和函数的零点的互换进讨论。

例1.②中：

变式：⑴若方程[f(x)]2bf(x)c0(b,cR)恰有7个不相同的实根，则实数b的取值范围是

(2)若方程[f(x)]2bf(x)c0(b,cR)恰有8个不相同的实根,则实数bc的取值范围是

选题意图：穷则变，变则通。建立在原有例题之上的题目变形在高三的复习中十分有必要。变式（1）中，是将例题中具体的常数换成了字母c，加大了解题的难度，同时在解题的思路方面，借助数形结合的方法，将方程问题转化为函数问题进行求解。变式（2）将进一步与其他知识（此处为线性规划问题）联系，让学生的知识网络化。

例2.已知函数f(x)exmx，其中

m为常数.(1)若对任意xR有

f(x)0成立，求m的取值范围；

(2)试判断函数f(x)的零点的个数，并说明理由. 选题意图：本体是一道综合性的大题，此题目结合函数的恒成立问题，函数的零点存在定理进行了考察，此题进一步巩固了该微专题的知识，函数的零点问题，同时对高考的考点进行了重点回顾。此题含有一个难点便是零点存在定理中函数自变量的选取，为进一步规范的答题提供了有力的保障。

上述微专题复习从预习题目到例题的选取，比较好的体现了难度上逐步深入，知识点由单一逐步到联系过度，在设计问题的过程中，教师应该结合自己班级的实际情况，围绕基本初等函数，进行有机的组合构成一定难度的函数，这符合学生的认知规律，由易到难，通过不同阶段的零点问题的讲练，达到构建知识网络体系的目的，总结出函数的哦零点问题的常考类型（1）利用解方程的方法，求零点（2）利用连续函数的端点值的互异性，结合函数零点的存在性定理，确定函数的零点的取值范围（3）利用函数图像的交点的个数，确定零点的个数（4）借助函数解决方程的根，不等式的问题。