2.2.2 函数的奇偶性课堂实录【3】

第16课时

函数的奇偶性

【学习目标】

1．从形和数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概念,体会利用定义判断简单函数的奇偶性；

2．在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察、归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法. 【预学】

1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤．

2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？

轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合）；

中心对称：

两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转180，能够与另一图形重合）．

这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性（导入课题，板书课题）．

【展学、互学】

1.偶函数

2（1）观察函数y=x的图象（如右图）

①图象有怎样的对称性？关于y轴对称．

②从函数y=f(x)=x本身来说，其特点是什么？

2当自变量取一对相反数时，函数y取同一值．

例如：f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)=f(-2)；

f(-1)=1，f(1)=1，即f(-1)=f(1)；

……

由于（-x）=x ∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=x的图象上的任一点,那么,与它关于22y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x的图象上，这时，我们说函数y=x是偶函数．

（2）定义：（板书）

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（even function）．

2例如：函数f(x)x1,f(x)222111111f()，f()，即f()f()。 242422

2,f(x)x等都是偶2x11函数．

2.奇函数

3（1）观察函数y=x的图象（如图）

①当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？

也是一对相反数．

②这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对

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称．即如果点（x,y）是函数y=x的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）33也在函数y=x的图象上，这时，我们说函数y=x是奇函数．

（2）定义：（板书）

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=- f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)．

例如：函数f(x)x,f(x)3.奇偶性

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性．

注意：（１）

“任意”、“都有”等关键词；

（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立，即等式f(-x)=

f(x)或f(-x)=- f(x)是定义域上的恒等式．

提问：1．你是否发现具有奇偶性的函数的定义域有什么特点？若定义域不符合此特点呢？

答案：关于原点对称；否则函数就不具奇偶性．

2．具有奇偶性的函数其图像有何特点？

答案：奇函数的图像关于 原点 对称；

偶函数的图像关于 y 轴对称．

据此也可用来判断函数的奇偶性．

31都是奇函数．

x【领学】

例1

判断下列函数的奇偶性．

3422（1）f(x)=x+2x; (2) f(x)=2x+3x; (3) f(x)=x+2x+5; (4) f(x)=x,x0,; (5) f(x)=21; (6) f(x)=x211x2;

x【思路分析】①

这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断；②从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；其次看f(-x)= f(x)或f(-x)=-

f(x)是否必有一成立．

解：（1）奇函数

；（2）偶函数；（3）既不是奇函数也不是偶函数；

（4）既不是奇函数也不是偶函数；（5）奇函数

；（6）既是奇函数也是偶函数

．

【解后反思】1．判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性．（步骤：简记为

一看二算三论）．

2．函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（其定义域关于原点对称，如x∈R或x∈(-a,a).a>0）既是奇函数又是偶函数，可见，函数按奇偶性可分四类．

3．本题也可用图像法．

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例2 已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在0，是增函数．

求证：y=f(x)在，0上也是增函数．

证明：任取x1-x2>0.∵f(x)在（0，+∞）上是增函数．

∴f(-x1) >f(-x2),又f(x)在R上是奇函数．

∴-f(x1)> -f(x2),即f(x1)< f(x2). ∴函数y= f(x)在（0，+∞）上是增函数．

【变式】已知函数y=f(x)在R上是偶函数，而且在0，试探求并证明y=f(x)是减函数．在，0上的单调性．

【推广】（1）奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；

（2）偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的．

【固学】

1．已知函数f(x)对定义域内任意x．y,有f(x+y)=f(x)+f(y)⑴求f(0);⑵判断f(x)的奇偶性．

解：⑴f(x+0)=f(x)+f(0)

所以f(0)=0．

⑵f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),即f(0)=f(x)+f(-x),∴f(-x)=f(0)-f(x)=-f(x),f(x)为奇函数．

【解后反思】奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下关键是建立fx与fx的关系，必要时可利用其等价形式fxfx0，要注意思维的灵活性．

2．f(x)为奇函数，且在原点有定义，则f(0)=

0

．

答：f(-0)=-f(0)即f(0)=-f(0)

所以f(0)=0．

3．一个函数既是奇函数，又是偶函数，这样的函数有

有无数

个．

提示：f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)故-f(x)=f(x),f(x)=0但定义域可以有无数个．

4．已知定义域为R的奇函数f(x),在x>0时，f(x)=x2+x+1,求f(x)的解析式．

22解：f(0)=0,x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-x+1=x-x+1,因f(-x)=-f(x)故f(x)=-x+x-1．

x2x1(x0)0(x0)

．

综上，f(x)=x2x1(x0)

【悟学】

1．判断下列函数的奇偶性：

(1)

;

(2)

;

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(3)

;

; (5)

;

(6);f(x)=2x-1; （7）1x2f(x)

;

(8)

f(x)x1x1

x22【答案】（1）奇函数

；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）既不是奇函数也不是偶函数；（5）既不是奇函数也不是偶函数；（6）奇函数；（7）奇函数；（8）偶函数．

2．已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式．

解：设x<0，则－x>0且满足表达式f(x)=x|x－2|，

所以f(－x)=

－x|－x－2|=－x|x+2|；

又f(x)是奇函数，有f(－x)= －f(x)，

所以－f(x)= －x|x+2|，所以f(x)=x|x+2|．

故当x<0时，f(x)表达式为f(x)=x|x+2|.

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