2.2.1 函数的单调性优秀获奖教案

函数的单调性复习课一

目标：

1.理解函数的单调性.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求参数或参数范围．

一、知识梳理

函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

定义

当x1

当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象

描述

自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(

×

) x(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(

√

) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(

×

) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(

×

) (5)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．(

×

) 二、题型分类

题型一

函数单调性的判断

ax例1

(1)判断函数f(x)＝2(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．

x－1(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间．

解

(1)设－1

自左向右看图象是下降的

则f(x1)－f(x2)＝ax1ax2－2

2x1－1x2－12ax1x22－ax1－ax2x1＋ax2ax2－x1x1x2＋1＝＝. 22x1－1x2x1－1x22－12－1∵－1

2∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x1－1)(x22－1)>0. 又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，

∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数．

(2)令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．

由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2. ∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在[0，＋∞)上是增函数．

∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．

思维升华

(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．

(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．

a(1)判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．

x(2)求函数y＝log1(x2－4x＋3)的单调区间．

3解

(1)设x1，x2是任意两个正数，且0

aax1＋－x2＋

则f(x1)－f(x2)＝xx12＝x1－x2(xx－a)．

x1x212当0

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)在(0，a]上是减函数；

当a≤x1a，又x1－x2<0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

所以函数f(x)在[a，＋∞)上是增函数．

a综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上为增函数．

x

(2)令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝log1u与u＝x2－4x＋3的复合函数．

3令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3. ∴函数y＝log1

(x2－4x＋3)的定义域为

3(－∞，1)∪(3，＋∞)．

又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，

∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，

在(3，＋∞)上是增函数．

而函数y＝log1u在(0，＋∞)上是减函数，

3∴y＝log1

(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．

3题型二

利用单调性求参数范围

例2

(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________．

2－ax＋1，x<1，fx1－fx2(2)已知f(x)＝x满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取x－x12a，x≥1，

值范围是________．

13答案

(1)[－，0]

(2)[，2) 42解析

(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；

1当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，

a因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，

11所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0. a41综合上述得－≤a≤0. 4(2)由已知条件得f(x)为增函数，

2－a>0，∴a>1，2－a×1＋1≤a，

33解得≤a<2，∴a的取值范围是[，2)．

22思维升华

已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

a

(1)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围x＋1是________．

a

x>1，(2)已知f(x)＝a是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．

4－2x＋2

x≤1答案

(1)(0,1]

(2)[4,8) 解析

(1)由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a，＋∞)，∴a≤1. 1∵y＝在(－1，＋∞)上为减函数，

x＋1a∴由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a>0，

x＋1故0

x

4－a>0，所以可得2aa≥4－＋2，2方法与技巧

a>1，

解得4≤a<8. 1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤：

(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．

2．判断单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法．

失误与防范

1．区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．

2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函1数如函数f(x)＝. x