3.4.2 函数模型及其应用课时教学实录

浅析“定义型阅读理解题”

蔡金明

摘要：数学教学中要注重和加强数学中的定义教学，它不仅是高考命题所青睐考察的内容，更重要的是可以培养孩子具有可持续学习的能力。

1关键词：定义型

阅读理解题

教学改革的基本理念：“倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式”.这些方式有助于发挥学生学习的主动性，培养他们的创新意识，培养可持续发展到终身的学习新知识的能力.“定义型阅读理解题”正是顺应了新教改的理念，才被高考命题人所青睐.在高考中，学生对此类命题感到困惑和害怕，而且失分率很高.为了解决这个问题，我在教学实践中，采用如下的一些做法，感觉效果较好.

1.弄清什么是“定义型阅读理解题”

“定义型阅读理解题”一般是指：条件背景要么大家都熟知，要么全新的情况下，赋予一个在高中没有学过的新定义，然后根据新的定义，作进一步演算或推理.

2.“定义型阅读理解题”的重要性与合理性

（1）数学教学中要学大量的定义，它是进一步研究某类问题的必要条件（其实所有学科都有），因此它的重要性无需置疑.这类题型，即能了解考生是否掌握了学习和理解定义方法，也能了解该考生是否具有可持续发展到终身学习新知的能力，这也正是新教材改革理念. （2）这类命题背景公平，正是高考所追求的理想题型.

3.破解策略

（1）强调定义内容的教学，并要逐步渗透

平时教学中，只要有定义的教学内容，我就强调定义的重要性，并传授如何学习定义、如何运用定义的方法.特别要重视起始定义教学，它能为学生后续的定义自学打下基础，正所谓授人以鱼，不如授人以渔.

（2）如何讲解定义

定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延所作的简要说明.除了弄清它的内涵和外延,还要特别强调定义的二重性：具有判定功能，又具有性质功能.在此基础上，再作进一步演算或推理.另外，假设把定义看作命题的话，定义中的条件就是结论的充要条件. 例如，高中起始的函数定义教学，我就用了较多的时间，对定义如何学、如何运用做了 1蔡金明

（1962- ）男，山东省栖霞人，江苏扬州市扬州大学附属中学，本科学历，职称：数学高级教师

。

深刻讲解. 函数定义：如果A,B都是非空的数集，如果按照某种对应法则f：对于集合A中每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应

叫做A到B的一个函数，记作y=f(x),其中xA, 1它具有判定功能：○某个对应是不是函数，只需看其条件是否符合函数定义中的所有条件（要一个一个条件去检验或证明），如果都符合，那么这个对应就是函数；只要有条件中有一条不满足（可通过举反例，如A,B不是数集或对应不满足单射等），那么这个对应就不是函数。

2它具有性质功能：○若已知某个对应是函数，等价于这个对应一定满足函数定义中的所有条件（建立在两个非空数集上的单射），而且这些条件可以作为结论用. 3假设把函数定义看作命题的话，那么定义中条件是定义中结论的充要条件. ○4，根据定义，可作进一步演算或推理.例如，先证明某个具体对应是函数，再求函数○值或证明此函数具有某种性质. （3）经常选一些有针对性“定义型阅读理解题”进行训练.

4.经典“定义型阅读理解题”赏析

(1)（四川高考试题）非空集合G关于运算满足：⑴对任意a、bG，都有abG；⑵存在cG，使得对一切aG，都有accaa，则称G关于运算为“融恰集”．现给出下列集合和运算：

①G{非负整数}，为整数的加法．

②G{偶数}，为整数的乘法．

③G{平面向量}，为平面向量的加法．④G{二次三项式}，为多项式的加法．

⑤G{虚数}，为复数的乘法．

其中G关于运算为“融恰集”的是________．（写出所有“融恰集”的序号）

分析：此题是以近世代数中群的定义为背景的一道考查学生阅读理解，背景公平,主要考察定义的判定功能. 由定义知“融洽集”满足两个条件：(1) G中任意两个元素经过运算后结果还在G中，即非空集合G对运算“封闭”；(2)集合G中存在一个“单位元c”，条件(2)实质上是一个方程组，任意给出a看是否能解出c．下面分别判断这两个条件是否都成立．

解：①

因任意两个非负整数相加仍是非负整数，所以集合G对运算“封闭”；又因存在单位元c0，使得对—切aG，都有accaa，故G关于运算为“融洽集”．

②

因集合G中不存在单位元，所以G关于运算不是“融洽集”．

③

因集合G对运算“封闭”，且存在一个单位元c0满足条件，故G关于运算为“融洽集”．

④

因集合G对运算“封闭”，但G中不存在单位元，所以G关于运算不是“融洽集”．

⑤

因两个虚数相乘可能为实数，故集合G对运算不“封闭”，所以G关于运算不是“融洽集”．

综上可知，G关于运算为“融洽集”的是①，③

（2）（北京市高考试题） 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数

列an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为

，这个数列的前n项和sn的计算公式为

. 解析

：这是借用

“等差”的定义，类比得一个新“等和”新定义，用定义的性质功能，做进一步的运算和推理. 已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，必有：anan15递推公式，由

a12，不难的出a23,a32,a43

易得数列的通项公式：

5n1 n为奇数2 n为奇数2

an a183 得数列的前n项和：Sn

3 n为偶数5n n为偶数2（3）（上海高考题）若实数x、y、m满足|xm|﹥|ym|，则称x比y远离m．

(1) 若x21比1远离0，求x的取值范围；

(2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3b3比a2bab2远离2abab；

(3) 已知函数f(x)的定义域D{x|xk,kZ,xR}．任取xD，f(x)等于sinx和24cosx中远离0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）

分析：这是最经典的“定义型阅读理解题”，不仅考察了定义的判定、性质，也考查了由

定义，作进一步演算或推理.

(1)（

它考察了定义的性质功能）

可得

x(,2)

x21比1远离0



|x210||10|

(2.；

)(2) （它考察了定义判断功能）

对任意两个不相等的正数a、b，有a3b32abab，a2bab22abab，

因为|a3b32abab||a2bab22abab|(ab)(ab)20，

所以|a3b32abab||a2bab22abab|，即a3b3比a2bab2远离2abab；

(3) （它考察了由新的定义出发，作进一步演算或推理）

3sinx,x(k,k)44f(x)，

cosx,x(k,k)44性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期T3函数f(x)在区间(2，

kkkk,]单调递增，在区间[,)单调递减，kZ，

242224

4函数f(x)的值域为(2,1]．

2

“定义型阅读理解题”的题目新颖，是考察学生的阅读理解能力、知识迁移能力、归纳概括能力的典型题目.必将成为以后高考考核的重点（上海近年压轴题都是这种题型），应引起广大教师的关注.

补充练习

1,xM1．已知函数fM(x)的定义域为R，满足fM(x)（M是R的非空真子集），若0,xM在R上有两个非空真子集A,B，且AB，则F(x)fAUB(x)1的值域fA(x)fB(x)1为

．

1

【解析】当x(AUB)时，fAUB(x)1，而由于A所以函数F(x)的值域为1. 2.对于在区间[a,b]上有意义的两个函数B，所以fA(x)fB(x)1，此时F(x)1；当x(AUB)时，fAUB(x)0，fA(x)fB(x)0，此时F(x)1，f(x)与g(x)，如果对任意x[a,b]，均有2那么就称f(x)与g(x)在[a,b]上是接近的，若函数f(x)x3x2|f(x)g(x)|1，与g(x)2x3在[a,b]上是接近的，则该区间可以是 ；

（答案不唯一）；

[1,2]或[3,4]；或取这两个闭区间的子集（但必须是闭区间）。3.江苏2016高考

（本小题满分16分）

100.对数列annN*和U的子集T，若T,定义ST0;若记U1,2,…，Tt1,t2,…，tk，定义STat1at2…+atk.例如：T=1,3,66时，STaa+13ST=30. （1）求数列an的通项公式；

anN*是公比为3的等比数列，且当T=2,4时，a.6现设nk，求证：STak1；

（2）对任意正整数k1k100，若T1,2,…，

（3）设CU,DU,SCSD,求证：SCSC【答案】（1）an3n1（2）详见解析（3）详见解析

【解析】

D2SD. （2）因为T{1,2,所以Sra1a2因此，Srak1.

,k}，an3n10,nN*，

ak133k11k(31)3k. 2

考点：等比数列的通项公式、求和

【名师点睛】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.