2.1.2 函数的表示方法优秀教案案例

2-1函数的表示

1.函数与映射

两集合A、B 对应法则f：A→B 函数

设A，B是两个非空的数集

如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应

这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数

y＝f(x)(x∈A)

映射

设A，B是两个非空集合

如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应

称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射

f：A→B

名称

记法

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域. (2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域. (3)函数的表示法

表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法. 3.分段函数

在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【知识拓展】

求函数定义域常见结论

(1)分式的分母不为零；

(2)偶次根式的被开方数不小于零；

(3)对数函数的真数必须大于零；

(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；

π(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)；

2(6)零次幂的底数不能为零；

(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(

×

) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.(

×

) (3)映射是特殊的函数.(

×

) (4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射.(

×

) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.(

×

)

x，x∈－∞，a，1.设f(x)＝2若f(2)＝4，则a的取值范围为________. x，x∈[a，＋∞.

答案

(－∞，2] 解析

因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，则a的取值范围为(－∞，2].

2.(2016·江苏)函数y＝3－2x－x2的定义域是________. 答案

[－3，1]

解析

要使原函数有意义，需满足3－2x－x2≥0，

解得－3≤x≤1，故函数的定义域为[－3，1].

1，x>0，3.(教材改编)设f(x)＝0，x＝0，1，x<0，答案

0 解析

由题意得，g(π)＝0，

∴f(g(π))＝f(0)＝0. 1x4.(教材改编)如果f()＝，则当x≠0，1时，f(x)＝________. x1－x答案

1

x－1

1，x为有理数，g(x)＝

则f(g(π))的值为________. 0，x为无理数，

111x解析

令＝t，则x＝，代入f()＝，

xtx1－x11则有f(t)＝＝，∴f(x)＝. 1t－1x－11－t15.已知f(x)＝，则f(f(x))的定义域为________. x＋1答案

{x|x≠－2且x≠－1} 1t

1解析

因为f(x)＝，

x＋1所以f(x)的定义域为{x|x≠－1}，

则在f(f(x))中，f(x)≠－1，即解得x≠－2，

所以f(f(x))的定义域为{x|x≠－2且x≠－1}. 1≠－1，

x＋1

题型一

函数的概念

例1

有以下判断：

1

x≥0|x|①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；

x－1

x<0

②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；

③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；

1＝0. ④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff2其中正确判断的序号是________. 答案

②③

1x≥0，|x|解析

对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的x－1x<0

定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，1f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f211f1＝f(0)＝1. －1－＝＝0，所以f222综上可知，正确的判断是②③. 思维升华

函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同).

(1)(2016·南京模拟)下列所给图象中函数图象的个数为________.

(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是________. x2－1①y＝x－1和y＝；

x＋1②y＝x0和y＝1；

③f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；

x2x④f(x)＝和g(x)＝. xx2答案

(1)2

(2)④

解析

(1)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象. (2)①中两个函数的定义域不同；②中y＝x0的x不能取0；③中两函数的对应法则不同. 题型二

函数的定义域问题

命题点1

求函数的定义域

x－10例2

(1)(教材改编)函数f(x)＝的定义域用区间表示为____________. 4－2xf2x(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是________. x－1答案

(1)[0，1)∪(1，2)

(2)[0，1) x－1≠0，解析

(1)要使函数有意义，需满足x≥0，4－2x>0，x≠1，即x≥0，

x<2.∴函数f(x)的定义域为[0，1)∪(1，2). (2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，

又x－1≠0，即x≠1，

所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0，1). 引申探究

例2(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0，2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2]”，

f2x则函数g(x)＝的定义域为________________. x－113答案

[，1)∪(1，] 22解析

由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2]，

得函数y＝f(x)的定义域为[1，3]，

1≤2x≤3，13令得≤x≤且x≠1，

22x－1≠0，

13∴g(x)的定义域为[，1)∪(1，]. 22命题点2

已知函数的定义域求参数范围

例3

(1)若函数f(x)＝2x22axa1的定义域为R，则a的取值范围为________. ax＋1(2)若函数y＝2的定义域为R，则实数a的取值范围是________. ax＋2ax＋3答案

(1)[－1，0]

(2)[0，3) 解析

(1)因为函数f(x)的定义域为R，

所以2x即2x222axa－1≥0对x∈R恒成立，

2axa≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，

因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. ax＋1(2)因为函数y＝2的定义域为R，

ax＋2ax＋3所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，

即函数t＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点. 当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；

当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得0

(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍. (2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a

(1)已知函数f(x)的定义域为[3，6]，则函数y＝f(2x)的定义域为log1(2x)2

______________. mx－1(2)若函数y＝2的定义域为R，则实数m的取值范围是______________. mx＋4mx＋333答案

(1)[，2)

(2)[0，) 24解析

(1)要使函数y＝f(2x)有意义，

log1(2x)233≤2x≤6，2≤x≤3，3需满足log2－x>0⇒⇒≤x<2. 210<2－x<12(2)要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立. ①当m＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；

②当m≠0时，要使不等式恒成立，

m>0，需满足

2Δ＝4m－4×m×3<0，m>0，m<0，m<0，即或即

m4m－3<0Δ<0，m4m－3<0.

33解得0

求函数解析式

2例4

(1)已知f(＋1)＝lg x，则f(x)＝________. x(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________. 1(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()x－1，则f(x)＝________. x答案

(1)lg221(x>1)

(2)2x＋7

(3)x＋

33x－122解析

(1)(换元法)令t＝＋1(t>1)，则x＝，

xt－1∴f(t)＝lg22，即f(x)＝lg(x>1). t－1x－1(2)(待定系数法) 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，

即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，

a＝2，a＝2，∴解得

b＋5a＝17，b＝7，

∴f(x)＝2x＋7. (3)(消去法) 11在f(x)＝2f()x－1中，用代替x，

xx11得f()＝2f(x)－1，

xx12fx1将f()＝－1代入f(x)＝2f()x－1中，

xxx21可求得f(x)＝x＋. 33思维升华

函数解析式的求法

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；

1(4)消去法：已知f(x)与fx或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 11

(1)已知f(x－)＝x2＋2，求f(x)；

xx(2)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；

(3)已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，求f(x). 111解

(1)设x－＝t，则x2＋2＝(x－)2＋2，

xxx∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2. (2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k2x＋kb＋b，

即k2x＋kb＋b＝4x－1，

k2＝4，∴∴1b＝－kb＋b＝－1，

k＝2，3

k＝－2，或

b＝1.

1故f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. 3(3)以－x代替x得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，

1∴f(－x)＝－3f(x)－2x＋1，代入f(x)＋3f(－x)＝2x＋1可得f(x)＝－x＋. 4

2.分类讨论思想在函数中的应用

2x＋a，x<1，典例

(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝

－x－2a，x≥1，

若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为______________. 3x－1，x＜1，(2)(2015·山东改编)设函数f(x)＝x则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是2，x≥1，

____________. 思想方法指导

(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；

(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围. 解析

(1)当a>0时，1－a<1，1＋a>1，

3由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－，不合题意. 2当a<0时，1－a>1，1＋a<1，

由f(1－a)＝f(1＋a)，可得

3－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合题意. 4(2)由f(f(a))＝2f(a)，得f(a)≥1. 22当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1. 33当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1. 2综上，a≥. 323，＋∞

答案

(1)－

(2)34

1.下列各组函数中，表示同一函数的是________. x2－9①y＝与y＝x＋3；

x－3②y＝x2－1与y＝x－1；

③y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)；

④y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z. 答案

③

解析

①中两函数的定义域不同；②，④中两函数的对应法则不同.

ln2x－x22.(2016·江苏苏锡常镇调研)函数f(x)＝的定义域为__________. x－1答案

(0，1)∪(1，2) 2x－x2>0，解析

由题意可得

x－1≠0，

解得0

故所求函数的定义域为(0，1)∪(1，2). 3.给出下列函数：

①f(x)＝|x|；②f(x)＝x－|x|；③f(x)＝x＋1；④f(x)＝－x.其中满足f(2x)＝2f(x)的是________.(填序号) 答案

①②④

解析

将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等. 对于①，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；

对于②，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；

对于③，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)；

对于④，f(2x)＝－2x＝2f(x). 故只有③不满足f(2x)＝2f(x). 2sinπx，－1

e，x≥0

满足f(1)＋f(a)＝2，则a所有可能的值为________. 答案

1或－2

2－解析

∵f(1)＝e11＝1且f(1)＋f(a)＝2，

∴f(a)＝1，当－1

∵0

π2∴πa2＝⇒a＝－；

22当a≥0时，f(a)＝ea1＝1⇒a＝1. －2＋xx25.设f(x)＝lg，则f()＋f()的定义域为____________. 2x2－x答案

(－4，－1)∪(1，4) 2＋xx2解析

∵＞0，∴－2＜x＜2，∴－2＜＜2且－2＜＜2，解得－4＜x＜－1或1＜x＜4，

2x2－x∴所求的定义域为(－4，－1)∪(1，4). 6.(2016·江苏淮阴中学期中)从集合A到集合B的映射f：x→x2＋1，若A＝{－2，－1，0，1，2}，则B中至少有________个元素.

答案

3 解析

根据映射的定义可得x＝±2→y＝5，x＝±1→y＝2，x＝0→y＝1，所以集合B为{1，2，5}，故集合B中至少有3个元素. 2x＋2x＋2，

x≤0，7.设函数f(x)＝2若f(f(a))＝2，则a＝________. －x，

x＞0.

答案

2 解析

当a＞0时，f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，解得a＝2(a＝0与a＝－2舍去)；当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解. 3x－m，x≤2，8.(2016·苏州暑假测试)已知实数m≠0，函数f(x)＝若f(2－m)＝f(2＋m)，－x－2m，x>2，

则m的值为____________. 8答案

8或－

3解析

当m>0时，2－m<2，2＋m>2，所以3(2－m)－m＝－(2＋m)－2m，所以m＝8；当m<08时，2－m>2，2＋m<2，所以3(2＋m)－m＝－(2－m)－2m，所以m＝－. 32x＋x－3，x≥1，9.(2015·浙江)已知函数f(x)＝

lgx2＋1，x＜1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________. 答案

0

22－3 解析

∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，

∴f(f(－3))＝f(1)＝0，

2当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥22－3，当且仅当x＝2时，取等号，此时f(x)min＝22－3<0；

x当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为22－3. 1*10.具有性质：fx＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

x，01.其中满足“倒负”变换的函数是________. 答案

①③

111解析

对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；

xxx

11对于②，fx＝x＋x＝f(x)，不满足；

11对于③，fx＝0，x＝1，1－x，x>1，，x>1，x1即fx＝0，x＝1，－x，0

综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. fx＋1，－2

2(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值. 331解

(1)由题意，得f(－)＝f(－＋1)＝f(－) 222111＝f(－＋1)＝f()＝2×＋1＝2. 2223(2)当0

2当a≥2时，由f(a)＝a2－1＝4，得a＝5或a＝－5(舍去)，

3综上所述，a＝或a＝5. 2