探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系第二课时教学实录

反函数

教学目标

1.

使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法. 2.

通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力. 3.

通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观. 教学重点,难点

重点是反函数概念的形成与认识. 难点是掌握求反函数的方法. 一、

揭示课题

今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数. 1.4.

反函数(板书) (一)反函数的概念(板书) 二、讲解新课

教师首先提出这样一个问题:在函数y2x1中,如果把x当作因变量,把y当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以根据函数的定义在y的允许取值范围内的任一值,按照法则f:yxy12都有唯一的x与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一y对唯一x”) 学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即y2x1有反函数,而且把这个函数称为y2x1的反函数.那么这个反函数的【解析】式是什么呢?

由学生回答出应为xy12.教师再提出xy12它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用x表示自变量,用y表示因变量,故它又可以改写成yxy12x12,改动之后带来一个新问题: 和yx12是同一函数吗? 由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把yy2x1的反函数.继而再提出: yx12叫做x122有反函数吗？是哪个函数? 的反函数,教师可再引申为学生很快会意识到yy2x12x1是yx1与yx12是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象yx2这样的函数,若将y当自变量,x当作因变量,在y允许取y1值范围内一个y可能对两个x(可画图辅助说明,当x1),不能构成函数,说明此函数没有反函数. 时,对应通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对y2x1的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容. 1.

反函数的定义:(板书) 为了帮助学生理解,还可以把定义中的y简单的函数如y后改写为yx33xf(x),xA换成某个具体解释每一步骤,如得xy3,再判断它是个函数,最.给出定义后,再对概念作点深入研究. 2.对概念得理解(板书) 教师先提出问题:反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而

言,指的是两者的关系

你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢?(仍可以yyx122x1与为例来说) 学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把x与y的位置换位了,教师再追问它们的互

换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论:yx12的定义域和值域分别由y2x1的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到一般,概括为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”. (1)“三定”(板书) 然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中x与y的位置互换.(用投影仪打出互换过程)如图

( yC) yf(x) (xA)

(

xA) xf1(y) (yC)

(xA) yf1(x) (yC) 最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”, “三反”中起决定作用的是x与y的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”.

(2)“三反”(板书) 此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函数,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数. 例1. 求y1x2(x2)的反函数.(板书) (由学生说求解过程,有错或不规范之处,暂时不追究,待例2解完之后再一起讲评) 解:由y1x2(x2)得x12yy,所求反函数为y12xx.(板书) 例2. 求f(x)解:由f(x)x2x21,(x1)的反函数.(板书) 21得xy1,又x1得x1y1, 故所求反函数为f(x)x1.(板书) 求完后教师请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发现,自行解决.最后找代表发表意见,指出例2中问题,结果应为f1(x)f1x1(x),(x2). 1教师可先明知故问x1,与f(x)x1,(x2)有什么不同?让学生明确指出两个函数定义域分别是x不同的函数.再追问x21和x2,所以它们是从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来.

在此基础上,教师最后明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自身

【解析】式出发寻求满足的条件,所以求反函数,就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调整刚才的求解过程. 解: 由y又yx221得x2y1,又x1得xy1, x1,x1的值域是y21, ,(x2) 故所求反函数为f(x)x1. (可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题,此时不妨让学生去具体算一算,会发现原来函数的值域域求出的函数【解析】式中所求定义域时一致的,所以使得最后结果没有出错.但教师必须指出结论得一致性只是偶然,而不是必然,因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域,并且在最后所求结果上注明反函数的定义域,同时让学生调整例的表述,将过程补充完整) 最后让学生一起概括求反函数的步骤. 3.求反函数的步骤(板书) (1)

(2)

(3)

反解: 互换

改写: 对以上环节教师可稍作解释,然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了. 三、巩固练习

练习:求下列函数的反函数.

(1)f(x)23x2,x,3 (2)yx2x1,x12.(由两名学生上黑板写) 解答过程略. 教师可针对学生解答中出现的问题,进行讲评.(如正负的选取,值域的计算,符号的使用) 四、小结

1.

对反函数概念的认识: 2.

求反函数的基本步骤: 五、板书设计

2.4反函数 例1. 练习. 一. 反函数的概念 (1) (2) 1.

定义

2.

对概念的理解 例2. (1)

三定(2)三反

3.

求反函数的步骤

(1)反解(2)互换(3)改写