阅读与思考 集合中元素的个数优质课教案推荐

3.3.2 两点间的距离

（一）教学目标

1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。

2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；

3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

（二）教学重点、难点

重点：两点间距离公式的推导；

难点：应用两点间距离公式证明几何问题。

（三）教学方法 启发引导式教学环节

一.复习引入

设置情境导入新课

我们上节课学习了两条直线的位置关系以及两条直线的交点坐标，初步了解了用解析法解决平面几何问题的思想，今天我们继续学***面几何中的应用，请大家看下面思考：

思考

已知△ABC的三个顶点坐标是

A(1,-1)，B(-1,3)，C(3,0).

证明：

△ABC

为直角三角形. 学生回答：勾股定理

师：勾股定理得需要三条边的长度

与学生分析引出本节课《两点间的距离》

我们先从位置比较特殊的两个点研究：

二.概念引入

设问一：

同学们能否用以前所学知识解决以下问题：已知两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)求|P1P2|

（这两点连线平行于X轴，在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，学生回答）

设问二：选取平行于Y轴的两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)求|P1P2| 设问三：在X轴和Y轴上各取一点P1 (x，0），P2 (0，y)求|P1P2|让学生体验勾股定理

通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距离公式形成的过程.

概念形成

过P1、P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为N1 (0，y)，M2 (x2，0)直线P1N1与P2M2相交于点M

在直角△ABC中，|P1P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2，为了计算其长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为M1 (x1，0)过点P2向y轴作垂线，垂足为N2 (0，y2)，于是有|P1Q|2 = |M2M1|2 = |x2

–

x1|2，|QP2|2 = |N1N2|2 = |y2 –

y1|2.

由此得到两点间的距离公式

22|PP|(xx)(yy)122121

练习1.求下列两点间的距离

(1)A(6,0),B(-2,0).(3)P(6,0),Q(0,-2).练习2.解决思考题

(2)C(0,-4),D(0,-1).(4)M(2,1),N(5,-1).

学生回答完后再次回到课堂思考题让学生计算并回答，问题解决。熟悉公式的应用

三.

应用举例

B(2,例1 已知点A (–1，2)，7)在x轴上求一点，使|PA| = |PB|，并求|PA|的值.

解：设所求点P (x，0)，于是有(x1)2(02)2(x2)2(07)2

∴x2 + 2x + 5 = x2

– 4x + 11

解得x = 1

∴所求点P (1，0)且

|PA|(11)2(02)222

同步练习，书本112页第1、2题

教师讲解思路，学生上台板书.

教师提问：还有其它的解法，由学生思考，再讨论提出

（通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用）

例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为

ｘ轴，建立直角坐标系. 则A(0，0).设B(ａ，0)，

D(ｂ，ｃ)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(ａ+ｂ，ｃ).

此题让学生讨论解决，再由学生归纳出解决上述问题的基本步骤：

第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量. 第二步：进行有关代数运算. 第三步：把代数结果“翻译”成几何关系. 思考：同学们是否还有其它的解决办法？

还可用综合几何的方法证明这道题.

y

D

(ｂ,ｃ)

(a+

C

ｂ,ｃ)

A

(0,0)

B(a,0)

x

四.归纳总结

主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性. 五.布置作业

1. 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点

P的坐标

2

在直线l：3x

–

y

– 1 = 0上求一点P，使得：

（1）P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；

（2）P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.