习题1.2教案和课堂实录

习题1.2

函数的概念及其表示

1．函数与映射的概念

两集合A，B 函数

设A，B是两个非空的数集

如果按照某种确定的对应关系f，使对应关系f：A→B 对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

名称

记法

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

1－x2[例1]

1．函数y＝2的定义域为(

) 2x－3x－2A．(－∞，1]

C．[1,2)∪(2，＋∞)

B．[－1,1] 11－1，－∪－，1

D.22称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

y＝f(x)，x∈A 映射

设A，B是两个非空的集合

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

对应f：A→B

21－x≥0，解析：选D

由题意得2

2x－3x－2≠0，

－1≤x≤1，1解得即－1≤x≤1且x≠－，

12x≠2且x≠－2，11－1，－∪－，1.故选D. 所以函数的定义域为22

2.

若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2x的定义域为________．

x－1

x－1≠0，[解析]

由题意得，解得0≤x＜1，即g(x)的定义域是[0,1)．

0≤2x≤2，

[答案]

[0,1)

3.若函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(

) A．[0,4)

C．[4，＋∞)

B．(0,4)

D．[0,4] [解析]

由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．

当m＝0时，1≥0恒成立；

m>0，当m≠0时，则解得0

综上可得：0≤m≤4. [答案]

D

3．函数的表示方法

函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．

4．应用三种方法表示函数的注意事项

(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．

5．函数的三种表示方法的优缺点

优点

缺点

(1)有些函数关系很难或不能用解析式表示；

解析法

简明扼要，规范准确

(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂

列表法

能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系

形象直观，能清晰地呈现函数图象法

的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质

6.求函数解析式的四种方法

只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌

作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差

[例2]

1．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．

解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，

又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，

即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，

2a＋b＝b＋1，111所以解得a＝b＝.

所以f(x)＝x2＋x，x∈R. 222a＋b＝1，

2．已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．

解：设t＝x＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有

f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.

故f(x)＝x2－1，x≥1. 3．函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)＝________. 2fx＋f－x＝2x，解析：由题意知

2f－x＋fx＝－2x，

解得f(x)＝2x. 答案：2x

1－x，x≥0，[例3]

(1)设f(x)＝x则f(f(－2))＝(

) 2，x<0，113A．－1

B.

C.

D.

422

[答案]

(1)A

2x＋1，x≥0，2.已知函数f(x)＝2且f(x0)＝3，则实数x0的值为________．

3x，x<0，

解析：由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝3x20＝3，所以x0＝－1.所以实数x0的值为－1或1.

答案：－1或1 12x＋1，x≤0，3.已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．

2－x－1，x＞0，x≤0，x＞0，解析：由题意知1或

2－x－1≥－1，x＋1≥－12

解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4,2]．

答案：[－4,2]

课堂小结：学生完成

课后作业：习题1.2全部做完