习题2.2优秀课堂实录

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2.2对数与对数函数练习

A级——保分题目巧做快做

1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(

) A．log2x

C．log1x

21B.x

2D．2x2

－解析：选A

由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，

∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x. 2.若函数f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为(

) A．[1,2)

C．[1，＋∞)

B．[1,2] D．[2，＋∞) 解析：选A

令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使g1>0，2－a>0，函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．

a≥1，a≥1，

3.(2018·广东韶关南雄模拟)函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为(

)

解析：选C

∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，∴g(x)＝|log2(x＋1)|＝log2x＋1，x≥0，∴当x≥0时，函数g(x)单调递增，且g(0)＝0；当－1

函数g(x)单调递减．故选C. 4．已知a＝log23＋log23，b＝log227－log233，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(

) A．a＝b＜c

C．a＜b＜c

B．a＝b＞c

D．a＞b＞c

3解析：选B

因为a＝log23＋log23＝log233＝log23＞1，b＝log227－log233＝2log233＝a，c＝log32＜log33＝1，所以a＝b>c. 125.已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间2，3上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是(

) 1A.3，1

1B.3，1

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2C.3，1

解析：选A

当0

12函数f(x)在区间2，3上是减函数，

44－a>0，即0<－a<1，

所以loga33141解得

3332D.3，1

12当a>1时，函数f(x)在区间2，3上是增函数，

所以loga(1－a)>0，

即1－a>1，解得a<0，此时无解．

1综上所述，实数a的取值范围是3，1. 6．已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则logba＝________. 解析：f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．

则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0，且f(0)＝loga(0＋b)＝1，

b－1＝1，b＝2，所以即所以logba＝1. b＝a，a＝2.

答案：1 7.函数f(x)＝log2

x·log2(2x)的最小值为________．

1111log2x＋2－≥－，当且解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2424121仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－. 2241答案：－

4logx，x＞0，28．设函数f(x)＝log－x，x＜0，12________________．

解析：由f(a)＞f(－a)得

a＞0，a＜0，log2a＞log1a或log1－a＞log2－a，

22

若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是

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a＞0，a＜0，即或

log2a＞－log2a－log2－a＞log2－a.

解得a＞1或－1＜a＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞) 1＋ax9.已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数．

x－1(1)求a的值与函数f(x)的定义域；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围．

1＋ax解：(1)∵函数f(x)＝log2是奇函数，

x－1∴f(－x)＝－f(x)，

1－ax1＋ax∴log2＝－log2，

－x－1x－1ax－1x－1即log2＝log2，

x＋11＋ax1＋x∴a＝1，f(x)＝log2. x－11＋x>0，1＋x<0，1＋x令>0，得或

x－1x－1>0，x－1<0，

解得x<－1或x>1. ∴函数f(x)的定义域为{x|x<－1或x>1}．

(2)∵f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，

当x>1时，x＋1>2，∴log2(1＋x)>log22＝1. ∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，

∴m≤1. ∴m的取值范围是(－∞，1]．

110.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx. 2(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2. 1解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．

2因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．

所以函数f(x)的解析式为

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f(x)＝0，x＝0，log－x，x<0.212log1x，x>0，

1(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，

2所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－5

即不等式的解集为{x|－5

B级——拔高题目稳做准做

31x2＋x(a＞0，且a≠1)在区间，＋∞内恒有f(x)＞0，则f(x)1．若函数f(x)＝loga22的单调递增区间为(

) A．(0，＋∞)

C．(1，＋∞)

B．(2，＋∞) 1D.2，＋∞

133解析：选A

令M＝x2＋x，则M>0，所以x＞0或x＜－.当x∈2，＋∞时，M∈2233(1，＋∞)，f(x)＞0，所以a＞1，又M＝x2＋x图象的对称轴为x＝－，且开口向上，故由24复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

2.设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(

) A．x1x2＜0

C．x1x2＞1

B．x1x2＝0 D．0＜x1x2＜1 解析：选D

作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象如图所示．

显然x1＜0，x2＜0. 不妨设x1＜x2，

则x1＜－1，－1＜x2＜0，

所以10x1＝lg(－x1)，

10x2＝－lg(－x2)，

此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，

由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1. 113．设2a＝5b＝m，且a＋b＝2，则m＝________. 解析：因为2a＝5b＝m，

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所以a＝log2m，b＝log5m，

1111所以a＋b＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝10. log2mlog5m答案：10 4．(2018·沈阳质检)已知函数f(x)＝|log 3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，n若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则m＝________. －log3x，0＜x＜1，解析：f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)log3x，x≥1，

0＜m＜1，上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得n＞1，log3n＝－log3m，

0＜m＜1，则n＞1，mn＝1，

所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)n1＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝m39. 答案：9 5．已知函数f(x)＝loga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1. (1)当a＝2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；

(2)若存在实数m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]时，函数f(x)的值域也为[m，n]，求t的取值范围．

解：(1)∵log2(22x＋t)＜x＝log22x，∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，即t≥112x－2＋，

－22x＋2x＝g(x)恒成立，即t≥g(x)max，∵g(x)＝－22x＋2x＝－2411∴当2x＝，即x＝－1时，g(x)取得最大值，

2411∴t≥，故t的取值范围是4，＋∞. 4(2)由题意知f(x)＝loga(a2x＋t)在[m，n]上是单调增函数，

2mmfm＝m，a＋t＝a，∴即2n问题等价于关于k的方程a2k－ak＋t＝0有两个不相等nfn＝n，a＋t＝a，

的实根，令ak＝u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2－u＋t＝0在u∈(0，＋∞)上有两u1＋u2＞0，u2＞0，个不相等的实根，即u1·Δ＞0，10，. ∴t的取值范围为4

t＞0，1即1得0＜t＜. 4t＜4，

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6.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；

(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．

解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，

因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，

故函数h(x)的值域为[0,2]．

(2)由f(x2)·f(x)>k·g(x)，

得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，

令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，

所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，

①当t＝0时，k∈R；

3－4t3－t②当t∈(0,2]时，k<恒成立，

t9即k<4t＋t－15，

993因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，

tt29所以4t＋t－15的最小值为－3.所以k<－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．