小结全国优秀课堂实录

函数的重要性质

东莞实验中学

贺怀春

对于章节复习，不仅要复习旧知识，还要提升学生的认知水平和能力。本节课重在引导学生对知识自主归纳、总结和探究，提升学生数学思维能力和对数学本质的理解

【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数函数的重要性质，初步掌握利用函数图象和奇偶性、周期性和对称性、单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数的重要性质探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数的重要性质的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】函数奇偶性、周期性和对称性、单调性

【教学难点】

归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．

【教学方法】

教师启发讲授，学生探究学习．

【教学手段】

计算机、投影仪．

【教学过程】

一、创设情境，引入课题。

复习

1.(1)单调函数的定义

设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，

①若_________________，则f(x)在__________上是增函数；

②若_______________，则f(x)在_________上是减函数．

(2)单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是___________或__________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，__________叫做f(x)的单调区间．

2．奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_____________，那么函数f(x)就叫做奇函数．

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．

3．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝_________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_____________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

二、学情分析

学生对函数对称性有了基本了解，但缺乏深入的研究，抽象思维能力弱，对问题隐含的“对称性”不能正确理解、区分、运用，原因是不能将符号化的语言向描述性语言或图形语言转化。基于以上分析制订了本节课的重点和难点。

重点：函数对称性等性质综合应用和符号化语言的转化。

难点：掌握描述性的语言和符号语言之间的转化。

三、教学过程

（一）、.师生共同探究

例

1．已知函数fxlog2xa；

（1）当a1时，若0f12xfx1，求x的取值范围；

2（2）若定义在R上奇函数gx满足gx2gx，且当0x1时，

gxfx，

求gx在3,1上的反函数hx；

t2x（3）对于（2）中的gx，若关于x的不等式g1log23在R上恒成立，求x382实

数t的取值范围；

分析：（1）根据题意0log2式，求解即可；

（2）根据条件gx2gx得到其周期为4，当x3,2时，

x20,1再根据上述性质及奇函数，

gxgx2gx2log2x1，求其反函数22x1,根据对数函数的增减性及真数大于零，列出不等1xx2gx1，同理当x2,1时，

x20,1，也可求出函数gx的反函数；

t2xt2x15ggg（3）不等式g恒成立转化为1log3恒成2x3x3822822立，

t2xt1115,，分类讨论后，综合讨论结果，可得实数t的取即ux3x82822812值范围. 解：（1）原不等式可化为0log222xlog2x1∴11，

222xx12,22x0,x10，得322x1；

3（2）∵gx是奇函数，∴

g00，

a1

当x3,2时，

x20,1，

gxgx2gx2log2x1，此时gx0,1，

x2gx1，所以hx2x1，

x0,1

当x2,1时，

x20,1，

gxgx2gx2log2x3，此时gx1,0，

x2综上，

hx{gx3，所以hx2x3，

x1,0，

2x1,x0,12x3,x1,0

（3）由题意知，

gx在1,1上是增函数，可证明在1,3上是减函数，由gx知t2xt1115gg1log23，设u82x3812x822t1,t1,t1解得t4,20.

例2．已知函数（1）求函数（2）判断（3）若的定义域；

的奇偶性，并说明理由；

，求使成立的x的集合．

，，其中且，设，分别讨论．

分析：（1）根据对数函数的定义得出不等式组义域；（2）先判断定义域关于原点对称，

因为数的定义即可判断；（3）由得，求解不等式可得出定，根据奇函，根据对数的运算性质可得，代入解不等式即可得结果（注意对数函数的定义域）.

解：（1）要使函数有意义，则故h(x)的定义域为（2）故h(x)为奇函数．

（3）若f(3)=2，

此时

，得；

，计算得出，

，得a=2，

，若，

，则，

所以不等式的解集为

（二）、设计意图 ．

从学生熟悉的函数引导其关注自变量，掌握符号化语言和描述性语言之间的转化，正确理解，从“关注函数自变量具有什么关系时函数值才能相等”的代数角度分析对称。

教师搭建问题台阶，引导学生数形结合.

（三）、问题启发

例

1主要考查的知识点是对数函数的图像和性质，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的单调性，反函数的求法，对数的运算性质，存在型问题，函数最值，是函数图象和性质较为综合的应用，属于难题，解题时要善于运用学过的数学思想和方法进行转化，通过分类讨论把复杂问题分解，通过换元法突出问题本质，简化计算过程.

例

2主要考查函数的奇偶性及函数的单调性及定义域，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，奇函数） .

（四）、反思 （

为偶函数，

为

1.

学生一般先画图，教师可追问上面的问题，帮助学生转化符号语言

2.小组合作，自主探究

2. 教师搭建问题台阶，引导学生数形结合，发现周期性和对称性的关系。

3.高考常考查分段函数的周期性和对称性，学生利用周期性和奇函数易得结果，但画图得知函数有周期且为奇函数，故得知又有对称性。

4.归纳小结

师生共同总结，追问“我们为什么要学习奇函数和偶函数？”目的是研究函数对称性的本质，关注函数自变量间的关系，注意符号化语言的理解和转化，提升学生对函数本质的理解。

1（五）、思考题．已知函数f(x)＝a－. |x|(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

1解：(1)证明：当x>0时，f(x)＝a－x，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，1111x1－x2a－－a－＝－＝x2－x1>0，f(x1)－f(x2)＝x1x2x2x1x1x2<0，

∴f(x1)

1(2)由题意得a－x<2x在(1，＋∞)上恒成立，

21112x－1即a<＋2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋，∵h′(x)＝2－2＝2，当x>1xxxx时，h′(x)>0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴a≤h(1)，∴a≤3，∴a的取值范围是(－∞，3]．

2．已知函数y＝f(x)对任意x、y∈R，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)2＝－. 3(1)判断f(x)在R上的单调性；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最值．

解：(1)解法一：令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∴f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)，又x＞0时，f(x)＜0，又x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．

∴f(x)在R上单调递减．

解法二：设x2＝x1＋Δx，其中Δx＞0，则f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)，∴f(x2)－f(x1)＝f(Δx)，又x＞0时，f(x)＜0，∵Δx＞0，∴f(Δx)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在R上单调递减．

(2)由(1)知f(x)在R上单调递减，

∴f(x)在[－3,3]上单调递减．

2∴f(－3)最大，f(3)最小，又f(1)＝－，

3∴f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－2.又f(－3)＝－f(3)＝2，

∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 3．已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值．

(1)求实数a的取值范围；

(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．

a＋2x－4，x≥2，解：(1)f(x)＝a－2x＋4，x＜2，

a＋2≥0，要使函数f(x)有最小值，需a－2≤0，

∴－2≤a≤2，即当a∈[－2,2]时，f(x)有最小值．

(2)∵g(x)为定义在R上的奇函数，∴g(0)＝0，设x＞0，则－x＜0，

∴g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4，

a－2x－4，x＞0，∴g(x)＝0，x＝0，a－2x＋4，x＜0.－

4．已知函数f(x)＝ex－ex(x∈R且e为自然对数的底数)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；

1x2－≥0对一切x∈R恒成立，求满足条件实数t的取值范围．(2)若不等式f(x－t)＋f

2解：(1)∵f(x)的定义域为R，关于坐标原点对称，

又f(－x)＝ex－ex＝－(ex－ex)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，

－－任取x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1

则f(x2)－f(x1)＝ex2－e－x2－ex1＋e－x1＝(ex2－ex1)＋1ex1)1＋ex＋x，

12又y＝ex在R上为增函数且ex>0，

∴ex2>ex1，

1∴(ex2－ex1)1＋ex＋x>0，

12∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．

11x2－≥0得fx2－≥f(t－(2)由(1)知f(x)在R上为奇函数且单调递增，由f(x－t)＋f22x)．

11133由题意得x2－≥t－x，即t≤x2＋x－恒成立，又x2＋x－≥－，∴t≤－. 222443－∞，－.1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(

) 综上得t的取值范围是4总之，本节课学生通过师生共同探究、自主探究、总结函数的性质，对函数的对称性达到更深层次的理解，进一步掌握符号化的数学语言和描述性的数学语言之间的转化，并能用函数的思维解决函数的问题。

2018.6.1 ex2－ex1＝(ex2－ex1＋x2