复习参考题含PPT的教学设计及点评

必修1第三章：方程的根与函数的零点

【复习目标】A层（在第一课时）

1.了解函数零点与方程根的联系．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．

2、能掌握求函数的零点、判断函数零点区间和零点个数

3，理解二分法的实质，会用二分法求函数的近似值．

【复习目标】B层（在第二课时，重点班用）

4、能掌握简单的二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件，并能解决有关含有参数的零点的综合题型

【学法指导】

通过函数零点概念的建立，感知函数与方程的密切联系，进一步加深对函数方程思想的理解，同时体验数学中的数形结合思想、转化思想的意义和价值. 【考点分布】近8年广州市学业水平测试在函数的零点与方程的根这部分的检测频率高，而且都集中在两个问题上：1、求函数零点及零点区间以及零点个数的判断；

2、含有参数的二次函数的零点分布或一元二次方程的根的分布的综合问题。

第一课时 函数零点及零点定理的简单应用

【教学的重难点】

判断函数零点区间和零点个数

一、知识梳理

1． 函数零点概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数的零点。

2．方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点。

3.零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a,b)内有零点。既存在c(a,b)，使得f(c)0，这

个c也就是方程的根。

4.二分法的理解：

对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 二、基础练习

1．y＝x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是(

)

1

A．2；2

B．(2,0)；2,

C．－2；－2

D．(－2,0)；－2 2、函数ylog2x2的零点是

；

3、函数yx22x3(x0)3x1(x0)

的零点是

4、已知函数f(x)的图像是连续的，且x与f(x)有如下的对应值表：

x

1 2 3 4 5 6 f(x)

－2.3 3.4 0 1.3

－3.4 3.4 则f(x)在区间[1,6]上的零点至少有_____个．

5、（10天津高考理）函数fx2x3x的零点所在的一个区间是（

）

A．2,1

B．1,0

C．0,1

D．1,2

三、题型剖析

考点一

函数零点区间以及零点个数的判断

例1：方程lgx+x=3的解所在区间为（

）

A．(0，1)

B．(1，2)

C．(2，3)

D．(3，+∞)

反馈练习：08年学测第6题：函数fx2xx的零点所在的区间为

A．2,1

B．1,0

C．0,1

D．1,2

变式训练：

已知函数f(x)2x5的零点所在区间为[m,m1](mZ)，则m=____2____．

例2：函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数是 1 . 【分析】该问题转化为求函数y=lnx与y=6-2x的图象的交点个数,因此只需画出图象,数形结合即可. 【解析】在同一坐标系

中画出y=lnx与y=6-2x的图

象如图所示, 由图已知两图

象只有一个交点,故函数y= lnx+2x-6只有一个零点. 评析：若采用基本作图法,画出函数y=lnx+2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=lnx与y=6-2x,用数形结合

2

法求交点,则简洁明快.小结：函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．因此，两个函数有几个交点，原函数就有几个零点。

反馈练习：

1.函数f(x)=x+lgx的零点个数是 1 . 12.方程()xx10

的根的个数是 1 。

2变式训练1：13年学测第14题. 已知x表示不超过实数x的最大整数，gxx，

x0是1函数fxlog2x的零点，则gx0的值等于 0 . x1x0,1,变式训练2：09年学测第18题改题:已知aR, 函数fxx

a1x1,x0.

求函数fx的零点

解:

(ⅰ)当x0时, 令fx0, 即110, 解得x10. x

∴x1是函数fx的一个零点.

（ⅱ）当x0时, 令fx0, 即a1x10.(※)

①当a1时, 由(※)得x ∴x10, 1a1是函数fx的一个零点;

1a ②当a1时, 方程(※)无解; 10,(不合题意,舍去).

③当a1时, 由(※)得x1a1 综上所述, 当a1时, 函数fx的零点是1和;

当a1时, 函数fx的零点是1.

1a小结：函数的零点相关问题常用的类型及解决方法有三种:

第一是求出函数零点的确定的值。方法是直接解方程（如基础训练的123）；第二是判断零点所在区间。方法是用零点定理或转化为两个函数的图像交点的横坐标范围;第三是判断零点个数。方法是直接求解，解不了的转化为两个函数的图像交点的个数即是零点个数。

考点二

零点定理的简单应用

:二分法求近似值

例1：用二分法计算f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：

f（1）=2 f（1.5）=0.625 f（1.25）=-0.984

3

f（1.375）=-0.260 f（1.4375）=0.162 f（1.40625）=-0.054 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为______．

小结：二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，直到能达到所要求的精确度要求时就是这个函数零点的近似值.

四、课后作业（A层是必做题，B层为选做题）

A层

1.

若函数f(x)axb(b0)有一个零点3，那么函数g(x)bx23ax的零点是

．

答案：0和1

2.

在用二分法求方程x2x10的一个近似解时，现在已经将一个根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为

。

答案：(,2)

3.

已知函数f(x)log2xa在区间(2,4)内有零点，则实数a的取值范围是

答案：2a1

4．方程log2(x4)3x的实数解的个数是_____ 2_____．

5．设f(x)3ax2a1，a为常数．若存在x0(0,1)，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是

3321(,1)(,)．

2x2bxc,x0,6．设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x解的个2,x0.数为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4 1x0,1,7、（09年学测第18题.

本小题满分14分) 已知aR, 函数fxx

a1x1,x0.(1) 求f1的值;

(2)证明: 函数fx在0,上单调递增;

(3)求函数fx的零点. 1(1)解: 当x0时, fx1, x1

∴f110.

……2分

1(2)证明:在0,上任取两个实数x1,x2,且x1x2,

……3分

4

111

……4分

x1x211



x2x1xx2

1.

……5分

x1x2

∵0x1x2,

则fx1fx21 ∴x1x20,x1x20. ∴x1x20,

即fx1fx20. x1x2

∴fx1fx2.

……7分

∴函数fx在0,上单调递增.

……8分

(3) (ⅰ)当x0时, 令fx0, 即110, 解得x10. x∴x1是函数fx的一个零点.

……9分

（ⅱ）当x0时, 令fx0, 即a1x10.(※) ①

∴x当a1时, 由(※)得x10, 1a1是函数fx的一个零点;

……11分

1a②

当a1时, 方程(※)无解; 10,(不合题意,舍去). ……13分

③

当a1时, 由(※)得x1a1综上所述, 当a1时, 函数fx的零点是1和;

当a1时, 函数fx的零点是1. ……14

1aB层（为下节课复习零点定理之应用—含有参数的二次函数的零点问题做铺垫）

1、06年学测底18题:对于函数f(x)=ax2bx(b-1)（a≠0）

（Ⅰ）当a=1时,b=-2时,求函数f(x)的零点

（Ⅱ）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围

2、08年学测第10题、关于x的方程x2(a1)xab10a0,a、bR的两实根为x1,x2，若b0x11x2，则的取值范围为（与线性规划结合）

a

A．1,

B．1,

C．2,

D．2,

22221111

5