习题3.1精品学案

高考二轮复习学案

第三章

函数与方程

2018-6-2 课题 函数与方程

——方程的根与函数的零点

〖教学内容分析〗

函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中有非常重要的地位。

就本章而言，它通过对二次函数的图像的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断，建立一元二次方程的根与相应的二次函数零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应函数的情形。之后将函数零点与方程根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系，渗透“方程与函数”思想。

总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合思想”，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。

〖学生学习情况分析〗

学生基础相对较差，从基础知识复习讲授接受情况来看，学生对零点知识掌握相对较差，转化能力也不理想。数形结合可以让学生直观理解函数零点的存在性，但学生对基本初等函数的图像与性质掌握不扎实，更难以分析一些变换后的函数与基本初等函数的联系。在教学过程中应加强师生互动，让学生发现并会将问题等价转化，体验函数与方程的联系。

〖考纲说明〗

结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系

〖教学目标〗

1．

通过习题演练，深度理解函数零点与方程根的关系，及零点存在性定理.

2．

培养学生转化化归思想和数形结合思想. 〖教学重点与难点〗

重点：函数零点与方程根的关系，连续函数在某区间上存在零点的判定方法. 难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法. 第

1 页

共

5 页

高考二轮复习学案

第三章

函数与方程

2018-6-2 〖教学程序设计〗

一、基础知识回顾

设计意图：让学生回顾上节课基础知识，为这节课巩固训练打好基础。同时也让学生能更好的的理顺知识点，找到自己的漏洞。

活动方式：老师适度引导提问，由学生集体或个人回答。老师发现问题，要给予知识的补充与点播。在方程的根与函数零点的关系上，老师要对知识进行详细解读，借助一些具体函数零点问题，让学生深刻理解转化的重要性。

1．函数零点的概念

对于函数yf(x)，我们把使

的实数x叫做函数yf(x)的零点．

注意：函数的零点不是函数yf(x)与x轴的交点，而是yf(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数。

2．方程的根与函数零点的关系

函数yf(x)的零点

（代数法）

（几何法）

方程f(x)0的实数根

函数yf(x)图象与x轴交点的横坐标

转化与化归

数形结合

3．函数零点存在性定理

函数yf(x)在区间a,b上是连续函数，且f(a).f(b)0，则函数yf(x)在区间a,b内有零点．

注意：在函数连续的前提下，f(a).f(b)0是函数yf(x)在区间a,b内有零点的_____________条件．

二、考点突破

（一）函数零点所在区间

设计意图：通过这组较简单的题目，让学生初步会应用函数零点存在性定理或数形结合转化为图象交点来求解，注重一题多解。

活动方式：由学生分析问题，展示自己的做法，同学相互交流。

第

2 页

共

5 页

高考二轮复习学案

第三章

函数与方程

2018-6-2 1．函数f(x)exx2的零点所在区间是（

）

A．2,1

B．1,0

C．0,1

D．1,2

学生展示：

法一：通过研究函数的单调性，再利用函数零点存在性定理来解决。可直接验证f(a).f(b)0，在函数连续的前提下，f(a).f(b)0是函数yf(x)在区间a,b内有零点的充分不必要条件

法二：转化为两个基本初等函数ye与y2x的图像交点自变量所在区间的问题。

易错点：图像转化过程中函数y2x易弄错符号。

x12．函数f(x)|log2x|的零点的个数为（

）

2

A．0

B．1

C．2

D．3 设计意图：上一小题为同学以提供解决问题的基本思路与方法，让学生结合本题特点，快速找到解决本题的最佳策略。

x1学生展示：将本题转化为两个基本初等函数y|log2x|与y图象交点个数问题。

2拓展提升：让同学确定零点所在区间。

x（二）方程的根或函数零点的个数问题

11a2xaxa(a0)，若函数f(x)在R上有三个不同的零1．已知函数f(x)x332点，求实数a的取值范围．

设计意图：借助三次函数来理解归纳一些高次方程根的问题探究方法。对于这种较为复杂的函数，如果我们借助基本初等函数的性质，或是求导能将函数的单调性与图像大致走势研究清楚，我们就可以将函数零点的问题转化为函数与x轴交点的问题。我们抓住关键的点，极值点，区间端点，来控制整个图像与x轴交点。

学生展示：要研究三次函数的单调性，我们要利用求导来解决。求导确定函数是先增后减再增，两端无限延伸，然后借助图像，让极大值点在x轴上方，让极小值点在x轴下方。

教师点拨：我们其实是利用了函数的零点存在性定理来解决此题，过程中关键是弄清函数的走势，以及关键点的函数值的分布。

拓展提升：函数f(x)在2,0内恰有两个零点，求实数a的取值范围．

第

3 页

共

5 页

高考二轮复习学案

第三章

函数与方程

2018-6-2 设计意图：让学生将思维进行提升，理解解决这类问题的通解通法，弄清函数

的走势，以及关键点的函数值的分布。

2．已知函数f(x)x2ax4在区间0,1内只有一个零点，求实数a的取值范围．

设计意图：让学生借助简单的一元二次函数在区间上根的分布，通过一题多解，让学生灵活掌握转化与化归思想，强化数形结合思想。

学生展示：

法一：（函数零点存在性定理）结合二次函数的走势，开口向上，以及关键点f(0)4，（,0)两端无限延伸，函数值趋于这一特点，根据零点存在性定理，二次函数必在（0,1)内，因为f(0)0，故只需f(1)0即可。有一个根，所以结合题意，另一个根必在

法二：（转化为两个函数图像交点）

转化一：函数yx4与yax的交点问题，结合图像转化为二次函数与过原点的直线相交的问题，a对应动直线的斜率，由图像观察动直线的临界位置的斜率与，进而确定a的取值范围。学生易错点是不能结合图像与临界位置来写出斜率的取值范围，老师要适时点播。

244x与ya的交点问题，函数yx是由基本初等xx44函数y与yx复合而成，很容易弄清函数yx的单调性，进而确定函数xx4yx在区间0,1的图像走势，以及关键的点。最后将ya这条水平直线引入，观x察图像的交点。

转化二：（分离参数）函数ylnx,0x23．已知函数f(x)，若函数g(x)f(x)mxm在1,3内有且仅有x2,2x3两个不同的零点，求实数m的取值范围．

设计意图：借助上一题的多种方法的分析，让学生准确的为此题确定解决策略，更好的掌握转化与化归思想，强化数形结合思想。关键点是分段函数图像的画法。

学生展示：转化为两个基本初等函数yf(x)与ymxm的图象交点问题，ymxm是过定点（1,0）的直线，转动动直线，确定斜率的取值范围。

拓展提升：我们今天课上遇到的都是一些简单基本初等函数图像，对于较为复杂的图像变换问题，同学也应掌握。如果仅是解决函数零点的问题我们的思路是能确定的。往往题目第

4 页

共

5 页

高考二轮复习学案

第三章

函数与方程

2018-6-2 难以解决的关键点恰恰是图像的画法。所以请同学课下复习图像的变换问题。

三、课堂小结

1．判断函数零点个数问题有哪些方法？

（1）解方程法：令f(x)0，看方程根的个数；

（2）零点存在性定理：不仅要求函数在区间a,b上是连续函数，且f(a).f(b)0，

还必须结合函数的图像与性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）；

（3）数形结合法：转化为两个函数图像交点个数问题．

2．转化与化归思想

形如F(x)g(x)f(x)的零点问题

方程g(x)f(x)0的根问题

函数yg(x)与yf(x)的图象交点问题

教师小结：本节课本节的我们学会的是如何处理函数零点的问题，但最重要的是起到灵魂作用的却是数学的三大数学思想，即化归与转化的数学思想，数形结合的数学思想，函数与方程的思想。数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学魅力所在。对我们解决问题起着绝对的指导作用。愿每位同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华。

四、作业

设计意图：通过习题演练，巩固本节课所学知识，合理的分析零点问题，掌握转化与化归的思想，以及数形结合的思想，延伸课堂思维，增强应用意识。

x2x1,x0,11．已知函数f(x)93，则方程ff(x)1的根的个数是（

）

22x,x1,5A．2

B．3

C．4

D．5

2．已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y象交点为x1,y1，x2,y2，…，xm,ym，则mx1与yf(x)图

xxy（

）

iii1A．0

B．m

C．2m

D．4m

第

5 页

共

5 页