探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系名师教学设计

互为反函数的函数图像之间的关系及应用

一、复习提问：

1.叙述反函数的定义：

一般地，函数y=f(x)(xA )中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系, 用y把x表示出来得到x =  (y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x =  (y)在A中都有唯一的值和它对应，那么, x =  (y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数，这样的函数x = 

(y),(yC)叫做函数y=f(x) ,(xA)的反函数，记作

x = f 1(y) 字母x、y互换，得

y=f-1(x)

2、求反函数有哪些基本步骤？

求反函数的基本步骤：

⑴.由y=f(x)出发，用y表示x,解出x = f1(y);

⑵.将x，y互换得到y = f1(x); ⑶.指出反函数的定义域（即原函数的值域).

3、点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P′的

坐标为(b, a）（即横坐标与纵坐标对换位置）

4、函数y=2x2-3(x∈R)有没有反函数？为什么？如何改写定义域才能使其有反函数？

解：函数y=2x2-3(x∈R)没有反函数；

因为它不是由一一映射构成的函数；

当把定义域改写为[0,+∞)或(-∞,0]时它才有反函数.

二、讲授新课

首先我们来研究互为反函数的函数图像间的关系

例1 、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画出原来的函数和它的反函数的图象。

解：

∵y=3x-2

∴x=

y23

x23函数y=3x-2(x∈R)的反函数为y=

问题：

互为反函数的两个函数的图象之间是否

具有某种对称关系? 回答：

它们的两个函数图象是以直线y=x为对

称轴的对称图形。

给出定理：

－

函数

y = f ( x ) 的图象与它的反函数

y = f 1 ( x ) 的图象关于直线

y = x 对称。

注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。

2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x轴）与纵轴（y轴）长度单位一致的情况下得出的。

－3）函数y=f(x)与函数y=f1(x)互为

反函数，图像关于直线y = x对称；

－

函数y=f(x)与函数x=f1(y)互为反函数，图像相同。

函数y=f-1(x)与函数x=f-1(y)是

同一函数，图像关于直线y=x对称

4）如果两个函数的图象

关于y = x 对称，那么

这两个函数互为反函数；

例2 、求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象.

解：由函数

y



x

3

(x R)，得

x



3

y

33所以函数

y



x

(x R)的反函数是：

yx(xR)

注：当已知函数y=f（x）的图象时，利用所学定理，

作出它关于直线y=x对称的

－图象，就是反函数y=f1（x）的图象。

ax例3、若点P（1，2）在函数

y





b

的图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。

解：由题意知，P（1，2）在函数

y



ax



b

的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数

y



ax



b

的图象上。因此，得

2ab

12ab



解得，a=－3，b=7

三、课堂小结

－1、函数

y = f ( x ) 的图象与它的反函数

y = f 1 ( x ) 的图象关于直线

y = x 对称。

2、函数y=f(x)与函数y=f -1(x)互为反函数，图像关于直线y = x对称；函数y=f(x)与函数x=f -1(y)为互为反函数，图像相同。函数y=f -1(x)与函数x=f -1(y)是同一函数，图像关于直线y=x对称

3、利用对称性画出已知图象的函数的反函数的图象

4、如果两个函数的图象关于y = x 对称，那么这两个函数互为反函数；

5、如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的图象关于y = x 对称；反之，如果一个函数的图象关于y = x 对称，那么这个函数的反函数就是它本身。

四、布置作业：课本：习题2.4

3,4,5