探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系教案评析

课题：互为反函数的两个函数图像之间的关系

必修一

第二章

探究与发现

四川省广元中学

许利娟

设计思想：

本节课以新课标基本理念为依据进行设计，针对学生的学习背景，本节教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

教学目标：

【知识目标】

1.结合指数对数函数的图象，掌握互为反函数的两个函数图像间的对称关系，并会应用。

2.理解互为反函数的两个函数定义域，值域，单调性间的关系

【能力目标】

培养学生自主发现探究实践的能力，渗透数形结合思想和化归的思想

【情感目标】

体会团队合作自主解决问题的成就感

教学重点：结合指数对数函数的图象，掌握互为反函数的两个函数图像间的对称关系，并会应用。

教学难点：理解互为反函数的两个函数定义域，值域，单调性间的关系

1

指导思想和教学方法

利用多媒体辅助教学，通过讨论启发学生归纳对数函数的概念图像及性质，同时在教学中渗透“类比联想”、“数形结合”及“分类讨论”的数学思想方法。

教学用具：几何画板

教学过程：

一、对称性

问题1：在同一平面直角坐标系（横，纵轴长度单位一致）中，画出指数函数y=2x及其反函数ylog2x的图像，你能发现这两个函数的图像有什么对称关系吗？

师生活动：学生在演草纸上画出两函数的大致图像，通过观察图像直观得出两函数图像是关于直线yx对称的。最后老师通过几何画板展示两函数准确图像帮助确认两函数图像的对称关系。

设计意图:

数形结合直观得出结论

3.5= f(x)

x= 2xf(x)

32.52f(x)=log2x1.510.554321123450.511.5

1问题2:取y2x图像上的几个点，如P(1,),P2(0,1)P3(1,2),P11,P2,P3

2关于直线yx的对称点的坐标是什么？它们在y=log2x的图像上吗？为什么？师生活动：组织学生计算，得出结论，让学生上台讲解

P,1(11'1)yxP,1)1(22log211

2'P,0)2(0,1)yxP2(1'P,2)yxP3(13(2,1)log210

log221

2

它们关于yx对称的点均满足函数ylog2x则它们都在ylog2x图xy2像上即图像上点P1，P2，P3关于yx对称的点都满足函数ylog2x的解析式，则都在ylog2x图像上。

设计意图:

通过具体点的对称性来肯定由观察图像得到的结论

问题3:如果点P0(a,b)在函数y2x的图像上，那么点P0关于直线yx的对称点在函数y=log2x的图像上吗？为什么？

师生活动：组织学生讨论探究，得出结论，并请学生代表上台讲解

x'yxy2对称点为P0(b,a)，P图像上则P0(a,b)关于0(a,b)在a'ab2a，P则P00(b,a)(2,a)有log22a满足函数ylog2x解析式，关于yx对称的点在ylog2x图像上

xy2设计意图:抽象出指数函数与对数函数ylog2x对称的一般结论，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展学生的抽象思维能力。

xy2问题4：由上述探究过程对函数和ylog2x可以得到什么结论？

xy2师生活动：学生结合以上问题和与ylog2x的图像特征讨论总结归纳得出结论，并请小组代表作答

y2x与ylog2x图像关于yx对称

y2x图像上任意点(a,b)关于yx对称点(b,a)在ylog2x图像上

设计意图:图像是研究、验证性质的工具之一，也是函数的表示方法之一。深化数形结合思想。

问题5：上述结论对于指数函数yax(a0,a1)及其反函数ylogax(a0,a1)也成立吗？

为什么？

师生活动：学生探究讨论尝试得出结论并由小组代表归纳总结，教师通过几何画板给出大量同底的指数和对数函数图像，方便学生观察夯实结论，老师要留给学生足够的时间去观察图像，小组讨论，交流合作，由特殊到一般，充分发表意见，并与周围的同学交流思维的过程和结果。通过观察、分析、类比、交流讨论，使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识得以明朗、一致

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结论：

底数相同的指数函数和对数函数互为反函数图像关于yx对称

指数函数yax(a0,a1)图像上点(a,b)关于yx的对称点(b,a)在对数函数ylogax(a0,a1)图像上

设计意图:

多给几组指数和对数函数，利用几何画板在同一直角坐标系下画出函数的图像，以此作比较，再次观察函数图像的特点，推广到一般情形，由此归纳出同底的指数函数和对数函数图像的对称性质。

通过学生交流讨论解决问题的过程，训练学生交流合作，自主解决问题的能力，培养团队合作精神。

通过对函数图象的观察，分析总结出图像的对称性质，有利于加深学生对性质的理解和掌握，是学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生，形成过程，逐步培养学生的抽象概括能力。

= f(x)

3.5= f(x)

131= 2xf(x)

10x= f(x)

x3x2.521.51f(x)=log3xf(x)=log10x0.554321123f(x)=logx415100.51f(x)=log1x2f(x)=log1x3问题6：指数函数ya(a0,a1)与其反函数ylogax(a0,a1)间定义域，值域，单调性有什么关系？x

师生活动：学生结合之间几何画板显示的大量指数函数和对数函数图像观察讨论作答。学生得出结论后教师给出指数函数，对数函数的图像和性质的对比表格深化认识。

结论：定义域，值域互换，对应法则互逆，

在各自定义域内具有相同的单调性

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图象指数函数y=ax(a>0,a≠1)yy=axy=ax(01)1xo(1)定义域：R对数函数y=loga x (a>0, a≠1)yy=logax(a>1)1xoy=logax(01时, a越大图像越靠近y轴(4)a>1时, a越大图像越靠近x轴质01时, 在R上是增函数；01时,在(0,+∞)是增函数；0

成立。当一个函数是一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量可以称这两个函数互为反函数yf(x)的反函数常用f-1(x)表示

互为反函数的两个函数（1）图像关于yx对称

(a,b)在原函数图像上，则(b,a)在其反函数图像上

(2)定义域，值域互换，对应法则互逆，在各自定义域内具有相同的单调性

动手试牛刀

例1：写出下列函数的反函数(1)ylgx(2)ylog1x3(3)y5x2

(4)y()x3师生活动：老师抽学生直接回答结果

设计意图:通过例1要让学生明确，求指数函数或对数函数的反函数的关键是要抓住“底数相同”。

例2：作出yx2(x0)反函数的图像

师生活动：学生自主在演草本上作图，然后老师给出图像让学生参考

5

例3：函数f(x)loga(x1)(a0,a1)的反函数的图像经过点(1,4)求a

师生活动：先给学生自主思考并作答的时间，老师课堂巡视，个别辅导，对学生完成情况进行点评。然后请同学上台板演并讲解，最后老师总结

设计意图:函数图象对称性质得到进一步巩固和提高。

例4：f(x)x21(x2)求f-1(4)

师生活动：先给学生自主思考并作答的时间，老师课堂巡视，个别辅导，对学生完成情况进行点评。然后请同学上台板演并讲解，最后老师总结

设计意图:函数图象对称性质得到进一步巩固和提高。

自主小结

师生活动：小组自主小结，教师补充

设计意图:学生在教学反思中，整理知识，进一步巩固和提高对互为反函数的两个函数图像对称性质的理解。

课后作业

教材P106 练习题，A组习题

课后思考：已知函数f(x)=log2(12x)(1)求函数f(x)的定义域和值域(2)求证函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称

设计意图：设置这样的一个课后思考题，使得课堂教学得以很好的延续与深入。

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板书设计：

对数函数及其性质（1）

1、同底对数函数与指数函数互为反函数

2、互为反函数的两个函数图像的对称性质

3、例题分析

例1 例3

例2 例4

互为反函数的两个函数图像之间的关系（学案）

问题1：在同一平面直角坐标系（横，纵轴长度单位一致）中，画出指数函数y=2x及其反函数ylog2x的图像，你能发现这两个函数的图像有什么对称关系吗？

1问题2:取y2x图像上的几个点，如P(1,),P2(0,1)P3(1,2),P11,P2,P3

2关于直线yx的对称点的坐标是什么？它们在y=log2x的图像上吗？为什么？

问题3:如果点P0(a,b)在函数y2x的图像上，那么点P0关于直线yx的对称点在函数y=log2x的图像上吗？为什么？

问题4：由上述探究过程可以得到什么结论？

问题5：上述结论对于指数函数yax(a0,a1)及其反函数ylogax(a0,a1)也成立吗？为什么？

问题6：指数函数yax(a0,a1)与其反函数ylogax(a0,a1)间定义域，值域，单调性有什么关系？

问题7：上述结论对所有互为反函数的两个函数都成立吗？

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例1：写出下列函数的反函数2

(1)ylgx(2)ylog1x(3)y5x(4)y(x33)

例2：作出yx2(x0)反函数的图像

例3：函数f(x)loga(x1)(a0,a1)的反函数的图像经过点(1,4)求a

例4：f(x)x21(x2)求f-1(4)

自主小结

课后作业

教材P106

练习题，A组习题

课后思考：已知函数f(x)=log2(12x)(1)求函数f(x)的定义域和值域

(2)求证函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称

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