习题2.2教案及板书设计

必修1第二章

对数与对数函数习题课教学设计

一、复习要求：

1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简

化运算中的作用．

12．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图

2像．

3．体会对数函数是一类重要的函数模型．

4．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．

二、要点梳理

1.对数的概念

(1)对数的定义

如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中______叫做对数的底数，______叫做真数. (2)几种常见对数

2.对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝____________；②loga对数形式

一般对数

常用对数

自然对数

特点

底数为a(a>0且a≠1)

底数为______

底数为____

记法

M＝__________；

Nn③logaMn＝__________ (n∈R)；④logamM＝__________. (2)对数的性质

①alogaN＝______；

②logaaN＝______(a>0且a≠1). (3)对数的重要公式

①换底公式：____________ (a，b均大于零且不等于1)；

②logab1，推广logablogbclogcd＝________. logba

a>1

0

3.对数函数的图象与性质

图象

(1)定义域：________ (2)值域：______

性质

(3)过点__________，即x＝______时，y＝______ (4)当x>1时，________ 当0

(5)当x>1时，________ 当0

4.反函数

指数函数y＝ax与对数函数__________互为反函数，它们的图象关于直线________对称. 三、基础自测

1.写出下列各式的值：

(1)log26log23＝________；(2)lg 5＋lg 20＝________；

(3)log53log51＝______；(4)log35log315＝________. 32.函数f(x)＝log5(2x1)的单调增区间是__________. 3.已知函数f(x)＝loga(x＋b) (a>0且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则a＝________，b＝________. 4.函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上(其中mn>0)，

12则＋的最小值为________. mn5.若点(a，b)在y＝lg x图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是(

) 110，b

B.(10a,1－b)

C.，b＋1

A.aa四、互动探究

1、重点一

对数式的化简与求值

例1

计算下列各式. (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；

lg 32－lg 9＋1·lg27＋lg 8－lg1 000(2)；

lg 0.3·lg 1.2(3)(log32log92)(log43log83). 探究提高

(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧. 3练习1.(1)化简lg ＋lg 70－lg 3－lg23－lg 9＋1；

7(2)已知f(3x)＝4xlog23＋233，求f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值. 2、重点二

对数函数的图象与性质

例2

作出函数y＝log2x1的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数y＝log2x的图象经过怎样的变换而得到. 探究提高

作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象. |lg x|，

0

x>10，2围是

(

)

A.(1,10)

B.(5,6)

C.(10,12)

D.(20,24) 3、重点三

对数函数的综合应用

2

D.(a2,2b)

例3

已知函数f(x)＝loga(8－2x) (a>0且a≠1). (1)若f(2)＝2，求a的值；

(2)当a>1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值. 探究提高

本题的求解体现了方程思想和函数思想的应用，主要涉及对数式的求值，对数函数的图象和性质的综合运用以及与其他知识的结合(如不等式、指数函数等). 练习3. 已知函数f(x)＝loga(x＋1) (a>1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象. (1)写出函数g(x)的解析式；

(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围. 4.重点四

数形结合思想在对数函数中的应用

例4、已知函数f(x)＝loga(ax－1) (a>0且a≠1). 求证：(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧；

(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0. 审题视角

(1)要证明f(x)的图象总在y轴的一侧，说明f(x)的自变量只能在(0，＋∞)或(－∞，0)内取值.(2)y2－y1可以在f(x)上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明k＝>0即可. x2－x1规范解答

证明

(1)由ax－1>0，得ax>1，

∴当a>1时，x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，此时函数f(x)的图象在y轴的右侧；

当0

∴函数f(x)的图象总在y轴的一侧. y1－y2(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数f(x)图象上的任意两点，且x1

ax11

y1－y2＝loga(a－1)－loga(a－1)＝loga， x2a1x1x2

当a>1时，由(1)知0

ax11∴00.

当0ax2>1，

∴ax1－1>ax2－1>0.

ax11∴>1，∴y1－y2<0.又x1－x2<0，∴k>0. x2a1∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0. 五、课堂小结

（一）方法总结

1.指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键. 2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积. 3

n13.注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambn＝·logab，logab＝在解题中的灵活应用. mlogba（二）失误与防范

1.在运算性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数). 2.指数函数y＝ax

(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别. 3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象. 六、课后作业

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