阅读与思考 集合中元素的个数名师教学设计

第一节

集合的概念及运算

1.(2015·新课标全国Ⅰ，1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(

) A.5

C.3

B.4

D.2 解析

A＝{…，5，8，11，14，17，…}，B＝{6，8，10，12，14}，集合A∩B中有两个元素. 答案

D

2.(2012·大纲全国，1)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则(

) A.A⊆B

C.D⊆C

B.C⊆B

D.A⊆D

解析

因为由正方形是特殊的菱形，矩形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的矩形，可知C是最小的集合，A是最大的集合，依次是B、D集合，因此选B. 答案

B 3.(2012·新课标全国，1)已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则(

) A.AB

C.A＝B

解析

A＝{x|－1＜x＜2}，所以B答案

B B.BA

D.A∩B＝∅

A，故选B.

4.(2016·新课标全国Ⅰ，1)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝(

) A.{1，3}

C.{5，7}

B.{3，5}

D.{1，7} 解析

由A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，得A∩B＝{3，5}，故选B. 答案

B 5.(2016·新课标全国Ⅱ，1)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝(

) A.{－2，－1，0，1，2，3}

C.{1，2，3}

B.{－2，－1，0，1，2} D.{1，2} 解析

由x2<9解得－3

D 6.(2016·新课标全国Ⅲ，1)设集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{4，8}，则∁AB＝(

)

A.{4，8}

C.{0，2，6，10}

B.{0，2, 6} D.{0，2，4，6，8，10} 解析

A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{4，8}，∴∁AB＝{0，2，6，10}. 答案

C 7.(2015·新课标全国Ⅱ，1)已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝(

) A.(－1，3)

C.(0，2)

B.(－1，0) D.(2，3) 解析

由A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，得A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|0＜x＜3}＝{x|－1＜x＜3}.故选A. 答案

A 8.(2014·新课标全国Ⅰ，1)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{x|－2＜x＜1}，则M∩N＝(

) A.(－2，1)

C.(1，3)

B.(－1，1) D.(－2，3) 解析

借助数轴可得M∩N＝(－1，1)，选B. 答案

B

1.(2015·陕西，1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝

(

) A.[0，1]

C.[0，1)

B.(0，1] D.(－∞，1] 解析

由题意得M＝{0，1}，N＝(0，1]，故M∪N＝[0，1]，故选A. 答案

A 2.(2013·江西，2)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝(

) A.4

C.0

B.2

D.0或4

解析

当a＝0时，方程无实根；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4，综上可得a＝4. 答案

A

3.(2013·福建，3)若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集的个数为(

) A.2

C.4

B.3

D.16 解析

A∩B＝{1，3}，其子集为22＝4个，故选C. 答案

C

4.(2016·北京，1)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝(

) A.{x|2＜x＜5}

C.{x|2＜x＜3}

B.{x|x＜4或x＞5} D.{x|x＜2或x＞5} 解析

A∩B＝{x|2＜x＜4}∩{x|x＜3或x＞5}＝{x|2＜x＜3}. 答案

C 5.(2016·四川，2)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(

) A.6

C.4

B.5

D.3 解析

∵A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则A∩Z＝{1，2，3，4，5}. 答案

B 6.(2016·山东，1)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝(

) A.{2，6}

C.{1，3，4，5}

B.{3，6}

D.{1，2，4，6} 解析

∵A∪B＝{1，3，4，5}，∴∁U(A∪B)＝{2，6}，故选A. 答案

A

7.(2016·浙江，1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q＝(

) A.{1}

C.{1，2，4，6}

B.{3，5} D.{1，2，3，4，5} 解析

∵∁UP＝{2，4，6}，∴(∁UP)∪Q＝{2，4，6}∪{1，2，4}＝{1，2，4，6}. 答案

C 8.(2015·北京，1)若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B＝(

) A.{x|－3＜x＜2}

C.{x|－3＜x＜3}

B.{x|－5＜x＜2} D.{x|－5＜x＜3} 解析

由题意，得A∩B＝{x|－5

A 9.(2015·天津，1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩∁UB＝(

) A.{3}

C.{1，4，6}

B.{2，5}

D.{2，3，5} 解析

由题意知，∁UB＝{2，5}，则A∩∁UB＝{2，3，5}∩{2，5}＝{2，5}.选B. 答案

B 10.(2015·重庆，1)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3}，则A∩B＝(

) A.{2}

C.{1，3}

B.{1，2}

D.{1，2，3} 解析

A∩B＝{1，2，3}∩{1，3}＝{1，3}. 答案

C 11.(2015·山东，1)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B＝(

) A.(1，3)

C.(2，3)

B.(1，4)

D.(2，4) 解析

∵A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2，3). 答案

C

12.(2015·广东，1)若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝(

) A.{0，－1}

C.{0}

B.{1}

D.{－1，1} 解析

M∩N＝{－1，1}∩{－2，1，0}＝{1}. 答案

B 13.(2015·福建，2)若集合M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0，1，2}，则M∩N等于(

) A.{0}

C.{0，1，2}

B.{1}

D.{0，1} 解析

M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0，1，2}，则M∩N＝{0，1}，故选D. 答案

D 14.(2015·安徽，2)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)＝(

) A.{1，2，5，6}

C.{2}

B.{1} D.{1，2，3，4} 解析

∵∁UB＝{1，5，6}，∴A∩(∁UB)＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}，故选B. 答案

B 15.(2015·浙江，1)已知集合P＝{x|x2－2x≥3}，Q＝{x|2＜x＜4}，则P∩Q＝(

) A.[3，4)

C.(－1，2)

B.(2，3]

D.(－1，3] 解析

P＝{x|x≥3或x≤－1}，Q＝{x|2＜x＜4}.

∴P∩Q＝{x|3≤x＜4}.故选A. 答案

A 16.(2014·湖南，2)已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝(

) A.{x|x＞2}

C.{x|2＜x＜3}

B.{x|x＞1} D.{x|1＜x＜3} 解析

由已知直接得，A∩B＝{x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}＝{x|2＜x＜3}，选C. 答案

C 17.(2014·浙江，1)设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝(

) A.(－∞，5]

C.(2，5)

B.[2，＋∞)

D.[2，5]

解析

S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，∴S∩T＝[2，5]. 答案

D 18.(2013·北京，1)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝(

) A.{0}

C.{0，1}

B.{－1，0}

D.{－1，0，1} 解析

A中的元素－1，0在B中，1不在B中，

所以A∩B＝{－1，0}.故选B. 答案

B 19.(2013·安徽，2)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1，0，1}，则(∁RA)∩B＝(

) A.{－2，－1}

C.{－1，0，1}

B.{－2} D.{0，1} 解析

因为A＝{x|x＞－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，故(∁RA)∩B＝{－2，－1}. 答案

A 20.(2012·辽宁，2)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2，4，5，6，8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝(

) A.{5，8}

C.{0，1，3}

B.{7，9}

D.{2，4，6} 解析

因为∁UA＝{2，4，6，7，9}，∁UB＝{0，1，3，7，9}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝{7，9}.故选B. 答案

B 21.(2015·湖南，11)已知集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{1，3，4}，则

A∪(∁UB)＝________. 解析

∁UB＝{2}，∴A∪(∁UB)＝{1，3}∪{2}＝{1，2，3}. 答案

{1，2，3} 22.(2014·重庆，11)已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B＝________. 解析

A∩B＝{3，5，13}. 答案

{3，5，13}

23.(2015·湖北，10)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(

) A.77

C.45

B.49

D.30 解析

如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有“”圆点＋所有圆点“”，共45个.故A⊕B中元素的个数为45.故选C. 答案

C 24.(2013·福建，16)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：

(ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；

(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2). 那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合：

①A＝N，B＝N*；

②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}；

③A＝{x|0＜x＜1}，B＝R. 其中，“保序同构”的集合对的序号是________(写出所有“保序同构”的集合对的序号). 解析

①若y＝x＋1是从A到B的一个函数，且x∈A，则满足(ⅰ)B＝{f(x)|x∈A}.又f(x)＝x＋1是单调递增的，所以也满足(ⅱ).

9797②若f(x)＝x－时，满足(ⅰ)B＝{f(x)|x∈A}，又f(x)＝x－是单调递增的，所以2222也满足(ⅱ).

π③若y＝tanπx－(0＜x＜1)时，满足(ⅰ)B＝{f(x)|x∈A}.

2π又f(x)＝tanπx－在(0，1)上是单调递增的，所以也满足(ⅱ).

2故填①②③. 答案

①②③

1.集合与元素

(1)元素的性质：确定性、无序性、互异性；

(2)元素与集合的关系：①属于与不属于；②符号表示：∈，∉. 2.集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图示法. 3.集合的分类

(1)有限集：元素的个数是有限个；

(2)无限集：元素的个数是无限个；

(3)空集：不含有任何元素. 4.常用数集及表示符号

名称

符号

非负整数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

N N*

►集合表示的两误区：描述法；图示法. (1)[利用描述法表示集合时，要注意集合中的代表元素是什么]已知集合A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝x2}，则A∩B＝________. 解析

y＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞)，即A＝[0，＋∞)，B＝R，∴A∩B＝[0，＋∞). 答案

[0，＋∞) Z Q R

(2)[用图示法表示集合时，一要作图准备，二要注意多个集合形成的待求集合与已知集合的关系]设全集U＝R，A＝{x|0

解析

由题图知阴影部分表示的为A∩∁UB.

即{x|0＜x＜2}∩{x|x≥1}＝{x|1≤x＜2}. 答案

{x|1≤x＜2}

1.集合间的关系

自然语言

如果A的任意一个元素都是集子集

合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A叫做集合B的子集

真子集

如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集

对于两个集合A、B，如果A⊆B，同时B⊆A，那么就称集合A和集合B相等

A＝B

记为A或BB A

A⊆B或B⊇A

符号语言

Venn图

集合

相等

2.集合间的基本运算

自然语言

一般地，由所有的属于集合A且属交集

于集合B的元素构成的集合，称为A∩B＝{x|x∈A，且集合A与集合B的交集，记作A∩B，读作“A交B”

一般地，由所有的属于集合A或属并集

于集合B的元素构成的集合，称为A∪B＝{x|x∈A，或集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”

设A⊆U，由U中不属于A的所有补集

元素组成的集合称为集合A相对于∁UA＝{x|x∈U，且全集U的补集，记作：∁UA(读作“A在U中的补集”)

►解决集合问题的两个方法：列举法；图示法. (3)若集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N的子集的个数为________. 解析

M∩N＝{2，3}，子集个数为22＝4个. 答案

4 (4)已知集合M＝{x|－1

M∩N＝{x|－1＜x＜3}∩{x|－2＜x＜1}

＝{x|－1＜x＜1}. 答案

{x|－1＜x＜1} ►集合中常用的结论：集合间的基本关系；集合的基本运算. (5)A⊆B，B⊆C⇒________；A⊆B⇔A∩B＝________⇔A∪B＝________；A________A. 答案

A⊆C

A

B

(6)A∩∅＝__________，(∁UA)∩(∁UB)＝__________，(∁UA)∪(∁UB)＝________. 答案

∅

∁U(A∪B)

∁U(A∩B) x∉A}

x∈B}

x∈B}

符号语言

图形语言

突破集合的概念及集合间基本关系的方法

与集合元素有关问题的解题方略

(1)确定集合的代表元素

(2)看代表元素满足的条件

(3)根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意，检验集合中的元素是否满足互异性. 判断集合间关系的方法

集合间基本关系的两种判定方法和一个关键

由集合关系求参数问题的策略

首先，把集合关系转化为元素关系.其次，把元素关系转化为参数满足的关系，常借助数轴，Venn图帮助分析.

【例1】

(1)已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，则a＝________. (2)(2016·豫南九校模拟)设集合M＝{x∈Z||x－1|＜2}，N＝{y∈N|y＝－x2＋2x＋1，x∈R}，则(

) A.N∈M

C.NM

B.MN

D.M＝N

解析

(1)∵－3∈A，∴－3＝a－2或－3＝2a2＋5a.

3∴a＝－1或a＝－2.

①当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，

与元素互异性矛盾，应舍去.

37②当a＝－2时，a－2＝－2，2a2＋5a＝－3.

3∴a＝－2满足条件.

(2)由|x－1|＜2得－1＜x＜3，即M＝{0，1，2}，

又y＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，

所以N＝{0，1，2}，有M＝N，故选D.

3答案

(1)－2

(2)D [点评]

对于某一元素属于某一集合，应分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性.(2)中容易忽略代表元素满足条件致误.

集合的基本运算的解题方略

集合运算解题策略

解集合运算问题4个注意点

【例2】

(2016·山东枣庄月考)已知集合A＝{x|y＝A∩∁RB＝(

) A.{x|0

C.{x|x≥1}

B.{x|x≤0} D.∅

x1－log2x}；B＝y|y＝，则2

解析

由y＝－log2x得－log2x≥0，∴log2x≤0.

解得0

1x由y＝2得y>0，即B＝{y|y>0}.

所以∁RB＝{y|y≤0}，

所以A∩∁RB＝∅，故选D.

答案

D [点评]

利用不等式表示的集合运算，要借助数轴正确分析，在含有对数问题中注意真数大于0这一隐含条件.

集合中创新问题的突破方法

解决创新问题关键的策略方法要点

(1)正确理解题意，分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础. (2)合理利用集合性质.运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.

【例3】

(2016·广西南宁调研)对于集合A，B，我们将{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A⊗B.例如：A＝{1，2}，B＝{3，4}，则A⊗B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}. (1)已知A⊗B＝{(1，2)，(2，2)}，则集合A＝________，B＝________；

(2)若A中有3个元素，B中有4个元素，则A⊗B共含有________个元素.

解析

(1)由A⊗B＝{(a，b)|a∈A，b∈B}的定义可知A＝{1，2}，B＝{2}.

(2)设A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2，b3，b4}，则在B中与ai(i＝1，2，3)组合的元素均有4个，故共有3×4＝12(个)元素.

答案

(1){1，2}

{2}

(2)12 [点评]

正确理解新定义是解题关键，(1)问易出现B＝{1，2}，A＝{2}的错误.

突破集合中元素的互异性易错易误问题

【示例】

设集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2－x＋1}，求A∪B.

解

由集合A中元素的互异性知x≠1且x≠3，由集合B中元素的互异性知x≠0且x≠1，则：若x2－x＋1＝3，即x＝－1或x＝2，

则A∪B＝{1，3，x}；若x2－x＋1＝x，

即x＝1，与集合中元素的互异性矛盾. 综上，当x＝－1时，A∪B＝{1，3，－1}；

当x＝2时，A∪B＝{1，3，2}；

当x≠－1且x≠2且x≠1且x≠3且x≠0时，

A∪B＝{1，3，x，x2－x＋1}. [易错防范]

本题不能简单地认为A∪B＝{1，3，x，x2－x＋1}，当集合中元素含有参数时，应根据集合中元素的互异性，对参数的取值范围进行讨论. [指点迷津]

集合中元素的互异性对解题的影响

集合中元素的三个特征中互异性对解题的影响最大，特别是类似示例这种带有参数的集合，实际上就隐含着对参数的一些要求.第一，要学会利用集合中元素的互异性提取已知条件所隐含的参数取值范围或集合元素特征，第二要注意利用集合中元素的互异性进行分类讨论并检验.

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