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函数性质知识点小结

函数的单调性

（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(a,b)内，若总有f(x)0，则f(x)为增函数；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则f(x)0，请注意两者的区别所在。如已知函数f(x)x3ax在区间[1,)上是增函数，则a的取值范围是____(答：(0,3]）)；

b②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意yax(a0

xbbb0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)，减区间为aabb[,0),(0,].如（1）若函数f(x)x22(a1)x2

在区间（－∞，4] 上是减函aaax1数，那么实数a的取值范围是______(答：a3）)；（2）已知函数f(x)在区x21间2,上为增函数，则实数a的取值范围_____（答：(,)）；（3）若函数2afxlogax4a0,且a1的值域为R，则实数a的取值范围是______(答：x0a4且a1）)；

③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数ylog1x22x的单2调递增区间是________(答：（1,2）)。

（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数f(x)loga(xax3)在区间(,]上为减函数，求a的取值范围（答：(1,23)）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．

（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数,若f(m1)f(2m1)0，求实数m的取值范围。（答：函数单调性的常用结论：

1、若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)g(x)在这个区间上也为增（减）函数

2、若f(x)为增（减）函数，则f(x)为减（增）函数

3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则yf[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则yf[g(x)]是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

2a212m）

23

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

函数的奇偶性

（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数f(x)2sin(3x)，

x[25,3]为奇函数，其中(0,2)，则的值是 （答：0）；

（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：

①定义法：如判断函数y|x4|49x2的奇偶性____（答：奇函数）。

②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)f(x)0或判断f(x)x(f(x)。如1（f(x)0）f(x)11)的奇偶性___.（答：偶函数）

2x12③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。

（3）函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|).如若定义在R上的偶函数f(x)在1(,0)上是减函数，且f()=2，则不等式f(log1x)2的解集为______.（答：38(0,0.5)(2,)）

④若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)0.故f(0)0是f(x)为奇函数的既a·2xa2不充分也不必要条件。如若f(x)为奇函数，则实数a＝____（答：1）. 2x1⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数f(x)f(x)的和（或差）”。如设f(x)是定义域为R的任一函数，

F(x)，2f(x)f(x)x。①判断F(x)与G(x)的奇偶性；

②若将函数f(x)lg(101)，2表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，则g(x)＝____（答：①F(x)为偶函数，1G(x)为奇函数；②g(x)＝x）

2G(x)⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 一、

复合函数奇偶性

f(g) 奇

奇

偶

g(x) 奇

偶

奇

f[g(x)] 奇

偶

偶

f(x)+g(x) 奇

非奇非偶

非奇非偶

f(x)*g(x) 偶

奇

奇

偶

偶

偶

偶

偶

⑦既奇又偶函数有无穷多个（f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在x0处有定义，则f(0)0，如果一个函数yf(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)0（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为11f(x)[f(x)f(x)][f(x)f(x)]，该式的特点是：右端为一个奇函数22和一个偶函数的和。

函数的对称性

ab对称。如已知二次函2数f(x)ax2bx(a0)满足条件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有等根，则f(x)12＝_____(答：xx)；

2②点(x,y)关于y轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于y轴的对称曲线方程为yfx；

③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于x轴的对称曲线方程为yfx；

④点(x,y)关于原点的对称点为(x,y)；函数yfx关于原点的对称曲线方程为yfx；

⑤点(x,y)关于直线yxa的对称点为((ya),xa)；曲线f(x,y)0关于直线yxa的对称曲线的方程为f((ya),xa)0。特别地，点(x,y)关于直线yx的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)0关于直线yx的对称曲线的方程为f(y,x)

0；点(x,y)关于直线yx的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)0关于直线yx的x33,(x),若yf(x1)的对称曲线的方程为f(y,x)0。如己知函数f(x)2x32图像是C1,它关于直线yx对称图像是C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函x2数解析式是___________（答：y）；

2x1⑥曲线f(x,y)0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2ax,2by)0。如若函数①满足条件fxafbx的函数的图象关于直线x

2（-2，3）对称，则g(x)＝______（答：x7x6）

yx2x与yg(x)的图象关于点⑦形如yaxb(c0,adbc)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线xd

cxdc(由分母为零确定)和直线ya(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(d,a)。ccc如已知函数图象C与C:y(xa1)axa21关于直线yx对称，且图象C关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）

⑧|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如（1）作出函数y|log2(x1)|及ylog2|x1|的图象；（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于____对称

（答：y轴）

提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像C1与C2的对称性，需证两方面：①证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上；②证明C2上任意点关于对称中心（对x1a(aR)。求证：函数f(x)的ax图像关于点M(a,1)成中心对称图形；（2）设曲线C的方程是yx3x,将C沿x轴, y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1。①写出曲线C1的方程（答：称轴）的对称点仍在C1上。如（1）已知函数f(x)ts；②证明曲线C与C1关于点A,对称。

y(xt)3(xt)s）22函数的周期性

（1）类比“三角函数图像”得：

①若yf(x)图像有两条对称轴xa,xb(ab)，则yf(x)必是周期函数，且一周期为T2|ab|；

②若yf(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab)，则yf(x)是周期函数，且一周期为T2|ab|；

③如果函数yf(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴xb(ab)，则函数yf(x)必是周期函数，且一周期为T4|ab|；

如已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)0在[2,2]上至少有__________个实数根（答：5）

（2）由周期函数的定义“函数f(x)满足fxfax(a0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：

①函数f(x)满足fxfax，则f(x)是周期为2a的周期函数；

1(a0)恒成立，则T2a；

f(x)1(a0)恒成立，则T2a. ③若f(xa)f(x)如(1)

设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(47.5)等于_____(答：0.5)；(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在[3,2]上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则f(sin),f(cos)的大小关系为_________(答：f(sin)f(cos))；（3）已知f(x)是偶函数，且f(1)=993，g(x)②若f(xa)

=f(x1)是奇函数，求f(2005)的值(答：993)；（4）设fx是定义域为R的函数，且fx21fx1fx，又f222，则f2006=

(答：22) 218. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期

函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：f(x)f(xt)0f(x)f(x2t)，

f(xt)f(x2t)0同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，

对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。

又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)f(x)f(2ax)f(2ax)f(2bx)f(x)f(2bx)令t2ax,则2bxt2b2a,f(t)f(t2b2a)即f(x)f(x2b2a)为保守起见,我加了一个绝对值

如：

所以,函数f(x)以2|ba|为周期(因不知道a,b的大小关系

例7．①f(x)a21是R上奇函数，解关于的不等式f(x)1

xx21②函数f(x)的定义域为R，对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，

且x0时，f(x)0，f(1)2。求f(x)在x[3,3]上的最值。

解：①f(x)是奇函数，对任意xR，f(x)f(x)即a22a，

xx2121故2a22x1221x22x222x2(2x1)(21)x2(2x2x1)(2x1)(21)x2

a1

f(x)1设x1x2，则2

x21f(x1)f(x2)[1222211][1]2[]

2x112x212x212x112x212x112x112x212x12x2x1x2220

由于，xx2x2212x1x1x1(21)(21)(21)(21)f(x1)f(x2)

故f(x)在R上是单调增函数，其值域为(1,1)

又由y121x1f(x)log(1x1)

2x1x211x01x11xlog22

xR|1x

由f1(x)1即log21x31x21x故f11(x)1的解集是xR|1x

31说明：本题在求a值也可由f(0)0直接求出a1，更加便捷。另外在解f时，也可如下处理：f(x)节R上单调增，由f1(x)1(x)1则f(f1(x))f(1)即xf(1)121

331又x(1,1)

f1(x)的解集是(1,)

3②由于对任意x、yR，都有f(xy)f(x)f(y)f(0)f(0)f(00)f(0)

f(0)

又f(xx)f(x)f(x)

f(x)f(x)0

f(x)f(x)

f(x)是奇函数。

又设x1x2

x1x20

f(x1x2)0即f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)

f(x)是R上单调减函数

fma(xx)f(3)，fmin(x)f(3)

而f(3)f(21)f(2)f(1)f(1)f(1)f(1)6

f(3)f(3)6

fmax(x)6，fmin(x)6

例8．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D，再回到A，设x表示点P的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数式。

解：如图，当点P在AB边上运动点，PAx；

当点P在BC边上运动时，

PA1(x1)2；

P

当点P在CD边上运动时，PA1(3x)；

当点P在DA边上运动时，PA4x

故所求函数式为

D

P

C 2x(0x1)2x2x2(1x2)

y2x6x10(2x3)4x(3x4)P A

B 例9．已知f(x)是定义在[2,2]上偶函数，当x[0,2]时f(x)是减函数，如果不等式f(1m)f(m)恒成立，求实数m的取值范围。

解：f(x)是偶函数

f(x)f(x)

不等式f(1m)f(m)等价于

f(1m)f(m)

1m221m21

即2m2

解之得：1m

m22(1m)2m21mm说明：本题充分利用偶函数的性质：f(x)f(x)，简化分解过程中繁琐的讨论。

例10．已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(x5)f(x3)，f(2)0，且方程f(x)x有等根。

①求a、b、c；

②是否存在实数m、n(mn)，使得函数f(x)在定义域内[m,n]值域为[3m,3n]。如果存在，求出m、n的值，如果不存在，请说明理由。

解：①f(x5)f(x5)

f(x)的图象关于直线x1对称，即①

b1…2af(2)0

4a2bc0…②

f(x)x即ax2(b1)xc0有等根，

1(b1)24ac0③

由①②③三个式得a，b1，c0

212111112②由①得f(x)xx(x1)

3n，n

22222611mn

f(x)在[m,n]上是单调增函数

6212mm3mf(m)3m122即

m、n是方程xx3x的两个不等根。

21f(n)3nn2n3n2解得m0或m41

mn

m4，n0

6n0或n4答：存在m4，n0满足条件

21. 如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。

（先令xy0f(0)0再令yx，……）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。

（先令xytf(t)(t)f(t·t)

∴f(t)f(t)f(t)f(t)

∴f(t)f(t)……）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2……

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了

1、

代y=x，

2、

令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、

求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数

1.

正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）

2.

幂函数型的抽象函数

f（x）＝xa----------------f（xy）＝

f（x）f（y）；f（3.

指数函数型的抽象函数

f（x）＝ax-------------------

f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝4.

对数函数型的抽象函数

xf(x)）＝

yf(y)f(x)

f(y)f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（x）＝

f（x）－fy（y）

5.

三角函数型的抽象函数

f(x)f(y)f（x）＝tgx--------------------------

f（x＋y）＝

1f(x)f(y)f（x）＝cotx------------------------

f（x＋y）＝f(x)f(y)1

f(x)f(y)

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝

－2求f(x)在区间[－2,1]上的值域. 分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝

5，求不等式

f（a2－2a－2）<3的解. 分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1]. （1）

判断f（x）的奇偶性；

（2）

判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；

（3）

若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围. 分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f（x1）＝f（x1x·x2）＝f（1）f（x2）；

x2x2（3）0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：

（1）

f（0）；

（2）

对任意值x，判断f（x）值的符号. 分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝

f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由. 分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：

（1）

f（1）；

（2）

若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围. 分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝

f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由. 分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，

进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝

f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①

x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝f(x1)f(x2)1；

f(x2)f(x1)

②

f（a）＝

－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③

当0＜x＜2a时，f（x）＜0. 试问：

（1）

f（x）的奇偶性如何？说明理由；

（2）

在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝

－f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；

（3）

先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），

（1）

求证：f（1）＝f（－1）＝0；

（2）

求证：f（x）为偶函数；

（3）

若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－1）2≤0. 分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）

（1）

先令x＝y＝1，再令x＝y＝

－1；

（2）

令y＝

－1；

（3）

由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：

（1）

当x＞0时，0＜f（x）＜1；

（2）

f（x）在x∈R上是减函数. 分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；

（3）

受指数函数单调性的启发：

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝f(x)，

f(y)进而由x1＜x2，有f(x1)＝f（x1－x2）＞1. f(x2)练习题：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（

）

（A）f（0）＝0

（B）f（0）＝1 （C）f（0）＝0或1

（D）以上都不对

2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（

）

（A）f（1）＝0

（B）f（1）＝

f（x）

x（C）f（x）＝

f（x）－f（y）

（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）

y

3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（

）

（A）（1，＋∞）

（B）（－∞，1）

（C）（0，1）

（D）（－1，＋∞）

4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有

f（xf(x1－x2）＝f(x1)2)1f(x，则f（x）为（

）

1)f(x2)（A）奇函数非偶函数

（B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数

（D）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（

）

（A）奇函数非偶函数

（B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数

（D）非奇非偶函数

参考答案：

1．A

2．B

3 ．C

4．A

5．B

R 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径

1弧度

为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

O

R （l·R，S11扇2l·R2·R2）

(和三角形的面积公