6.6 一次函数、一元一次方程组和一元一次不等式教学实录与评析

教学课题：6.6 一次函数、一元一次方程组和一元一次不等式

教学年级：八年级 数学

教学目标：

1．通过对生活中具体实际问题数量关系的分析，初步体会和理解一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间的内在联系．

2．在解决问题过程中感受不等式、方程、函数的作用和联系，渗透数形结合的数学思想，

通过观察、分析、推断与猜想等方法探索一次函数、一元一次不等式、一元一次方程间的联系，感受问题中数量关系的“变与不变”．

3．经历数学模型化的过程，学会运用比较、归纳、类比、概括等方法对信息进行整理加工，进一步培养学生分析、解决问题和自主探索的能力．

4．

通过解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣. 教学重点：在具体实例中应用一次函数、一元一次方程与一元一次不等式解决问题．

教学难点：理解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式在解决问题过程中的作用和联系. 教学准备：教学设计、课件、多媒体、网格纸、学案

教学过程：

一、知识铺垫

1.观察下列各式，说说你想到的数学知识. （1）2x＋4＝0；（2）2x＋4＞0；（3）2x＋4＜0；（4）y=2x＋4.

2．通过计算，完成下列填空。

一次函数y＝2x＋4的图像是一条经过点（ ，

），点（ ，

）的直线．

所以，我们经常取哪些点来确定一次函数的图像？

3．试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝0的解和不等式2x＋4＞0、2x＋4＜0的解．

理解函数自变量与函数因变量之间的变化联系.

【设计说明】通过对一元一次方程、一元一次不等式的巩固回忆为一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系的探讨作好铺垫．通过观察函数图像直接找出一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，在运用中凸显数形结合的数学思想. 让学生初步感受一次函数、一元一次方程和一元一次不等式三者的特点，体会它们之间的关系，初步形成对新知的整体性认识．

二、问题情境

一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm.写出y与x之间的函数表达式，画出函数图像，并求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量．

【自主探索】理解题意，解决以下问题.

1.挂物体后弹簧的长度是如何变化的？

2.设所挂物体的质量为x kg，写出长度y与x之间的函数表达式. 3.请画出函数y的图像，你能利用图像解决下列问题吗？试一试：

⑴不等式25+ x>25的解集，不等式25+

x≤35的解集呢？

⑵如果y的值在25≤y≤35的范围内，那么相应的x的值在什么范围内？

⑶你能用其他方法解决这个问题吗？

【设计说明】让学生自己动手，画出一次函数y＝25+ x的图像，

从画图的过程中感受从左至右，直线是呈“上升”趋势的．当自变量x大于0时所对应的函数值都是大于25的，在这种情形下可以利用图像找出应变量y≤35时对应的自变量x的取值范围，再由图像找出函数值在25~35之间的部分，对应地可以找出自变量x的取值范围．本题也可以利用解不等式的方法求出x的取值范围．通过本题的解决，让学生进一步感受不等式与方程、函数的内在联系．

通过函数图像的观察结合实际意义，我们可以确定当弹簧的长度为35 cm时，物体A的质量最大，从而利用方程解决问题. 同时，由于题目中的“不超过”其实暗含的是不等式的模型，所以很自然会考虑用不等式解决问题. 【归纳小结】方程刻画现实世界数量之间的相等关系，不等式刻画现实世界数量之间的不等关系，函数刻画现实世界数量之间的变化关系．当函数中的一个变量的值确定时，可以利用方程确定另一个变量的值；当已知函数中的某一个变量取值范围时，可以利用不等式（组）确定另一个变量的范围．

三、例题讲析

例1．一次函数y＝kx＋b与坐标轴两个交点分别为A（1，0）和

B（0，－2），如何确定不等式kx＋b>0的解集，kx＋b＋2≤0的解集．

问题：（1）说说你的解题思路. (2)观察函数图像，函数值在怎样的条件下都大于0？

（3）如何转化kx＋b＋2≤0？

【设计说明】先让学生试试然后交流。通常解决这类问题学生会根据点坐标求函数关系式再去解不等式，但对于此题老师可以引导学生利用点坐标确定函数图像来解决。学生操作先由两点画出一次函数的图像，观察图像求函数值大于0和小于或等于－2时对应的自变量x的取值范围．利用问题解决继续渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，继而学会运用数学知识的能力. 例2．利用函数图像求解方程 y1＝－x＋4 的解，

y2＝2x－2 y(1)当x取何值时，y1＜y2？ 4(2)当x取何值时，y1>y2>0？

O-214x

【设计说明】变式训练与前面的自主探索相呼应，培养学生的逻辑思维能力，进一步渗透数形结合的数学思想.学生根据题意可以解不等式－x＋4＜2x－2，但为了帮助学生理解三者的联系并学会借助图像法解决问题，让学生画出这两个一次函数的图像，利用图像求出当直线y1在直线y2下方时对应的自变量x的取值范围．对于第二个问题的解决更好理解图像与数对之间的联系，进一步感受不等式、方程与函数的内在联系．

四、练习巩固

1．x取什么值时，函数y＝－2(x＋1)＋4的值是正数？负数？非负数？

2.试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝2的解、不等式2x＋4＞2、2x＋4＜2的解．

3.已知直线y1=－x－2与y2=－3x＋4，当x

时，y1< y2．

4.已知一次函数y=－3x+2的函数值为－1≤y≤5，则x的取值范围为

．

5.已知函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像，观察图像并回答问题：

（1）x取何值时，2x－4＞0？

（2）x取何值时，－2x＋8＞0？

（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？

（4）求函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像与x轴所围成的三角形的面积？

【设计说明】通过巩固练习加强知识整合，掌握数形结合的思想方法，进一步理解一元一次不等式和方程、一次函数的内在联系，培养学生分析问题、解决问题的能力．在练习中感受一方面，函数求值和变量范围确定的问题可以通过方程、不等式解决；另一方面，与方程、不等式有关的数量相等与大小比较的问题，也可以通过函数图像加以解决．

五、作业小结

P165-166习题

小结：

函数--------数量之间的变化关系

不等式--------数量之间的不等关系

方程--------数量之间的相等关系

当函数中的一个变量的值确定时，可以利用方程确定另一个变量的值；当已知函数中的某一个变量取值范围时，可以利用不等式（组）确定另一个变量的范围．

【教学反思】本节课是学生学习过一元一次不等式、一元一次方

程、一次函数的相关知识点后紧接一次函数而学习的内容．各个知识点学生并不陌生，但如何将这三者联系起来并理解运用三者的联系与区别解决实际问题是本节课的设计要旨．这个课时也是我听了几位同课异构的内容后，结合教参提供的教学设计、各位老师的教学结构以及目前教学活动的目的构思形成，有许多不足和教学的功利性．但深层的目标就是通过本节课的学习，使学生能充分认识到：方程是用来刻画现实世界数量之间的相等关系，不等式是用来刻画现实世界数量之间的不等关系，函数则是刻画现实世界数量之间的变化关系．当函数中的一个变量的值确定时，可以利用方程确定另一个变量的值；当已知函数中的某一个变量取值范围时，可以利用不等式（组）确定另一个变量的范围．但从教学效果来说，仍有一部分学生对于三者的转化存在困难，还有对于运用数形结合的思想方法掌握不到位．为此在教学活动中需要教师对问题的设计与引导有深度有适度有梯度．