对顶角、余角和补角ppt配套的教学设计及说课稿

1

两条直线的位置关系

第1课时

对顶角、余角和补角

教学目标

一、基本目标

1．知道直线的两种位置关系．

2．能识别对顶角，知道它的性质．

3．理解补角和余角的概念和性质，并能进行简单的角度计算．

二、重难点目标

【教学重点】

理解同一平面内两条直线的位置关系以及对顶角、补角、余角的含义．

【教学难点】

对顶角、补角、余角的性质的探索与应用．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P38～P39的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

(一)相交线与平行线

1．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．

2．若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线. 3．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. (二)对顶角、余角、补角

1．(1)如图所示是一把剪刀的简易图，那么∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？能试着说明你的理由吗？

解：∠1和∠2是对顶角，∠1＝∠2.理由：因为∠AOB和∠COD都是平角，即∠1＋∠AOD＝180°，∠2＋∠AOD＝180°，等式两边同时都减去∠AOD，则∠1＝180°－∠AOD，∠2＝180°－∠AOD，即∠1＝∠2.

归纳总结：在上图中，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2的有一个公共点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫对顶角．对顶角相等．

(2)在图中，∠1和∠AOD有什么数量关系？

解：∠1＋∠AOD＝180°. 归纳总结：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角. 注意：互余和互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关．

2．下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是(

C

)

3．∠A与∠B互余，如果∠A＝36°，那么∠B的度数为54度．

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】(教材P39“做一做”)如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹的红球会直接入袋，此时∠1＝∠2.

图1 将图1简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON＝∠CON＝90°，∠1＝∠2.在图2中：

图2 (1)哪些角互为补角？哪些角互为余角？

(2)∠3与∠4有什么关系？为什么？

(3)∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？

【互动探索】(引发学生思考)根据对顶角、余角、补角的定义分析解题．

【解答】(1)互为补角的有：∠1与∠AOC，∠2与∠BOD，∠1与∠BOD，∠2与∠AOC，∠DON与∠CON.互为余角的有：∠1与∠3，∠2与∠4，∠1与∠4，∠2与∠3.

(2)∠3与∠4相等．理由：

因为∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠2，

且∠1＝∠2，

所以∠3＝∠4. (3)∠AOC＝∠BOD．理由：

因为∠AOC＝180°－∠1，∠BOD＝180°－∠2，且∠2＝∠1，

所以∠AOC＝∠BOD．

【互动总结】(学生总结，老师点评)同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．

【例2】如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度数．

【互动探索】(引发学生思考)根据对顶角的性质，可得∠AOC与∠BOD的关系，根据OA平分∠COE，可得∠COE与∠AOC的关系，根据邻补角的性质，可得答案．

【解答】由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝42°. 因为OA平分∠COE，

所以∠COE＝2∠AOC＝84°. 由邻补角的性质，得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找出已知角和未知角之间的数量关系．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．如图所示，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOD＝160°，则∠BOC的大小为(

D

)

A．20°

C．70°

B．60°

D．160°

2．如图所示，直线AB和CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是∠2和∠4.

3．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°. (1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；

(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数．

解：(1)∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝180°－36°－90°＝54°. (2)因为∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∠BOD＋∠BOC＝180°，所以∠BOD＝30°.因为∠BOD＝∠AOC，所以∠AOC＝30°，所以∠AOE＝∠COE＋∠AOC＝90°＋30°＝120°. 4．若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数．

解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°)，余角是(90°－x°)．根据题意，得180°－x°＝4(90°－x°)，解得x＝60.所以这个角的度数是60°. 活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】我们知道：两直线交于一点，对顶角有2对；三条直线交于一点，对顶角有6对；四条直线交于一点，对顶角有12对……

图3

图1

图2

(1)10条直线交于一点，对顶角有________对；

(2)n(n≥2)条直线交于一点，对顶角有________对．

4－2×4【互动探索】(1)如图1，两条直线交于一点，图中共有＝2(对)对顶角；如图2，46－2×6三条直线交于一点，图中共有＝6(对)对顶角；如图3，四条直线交于一点，图中共4有8－2×8＝12(对)对顶角……按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有420－2×202n2n－2＝90(对)；(2)由(1)得n(n≥2)条直线交于一点，对顶角的对数为＝n(n－441)．

【答案】(1)90

(2)n(n－1) 【互动总结】(学生总结，老师点评)解决探索规律的问题，应全面分析所给的数据，发现数据的变化特征．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 1．对顶角相等．

2．如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角；如果两个角的和是90°，那么称

这两个角互为余角．

3．同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时

垂

线

教学目标

一、基本目标

1．在具体情境中进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，并会用符号表示两条直线互相垂直．

2．会画垂线，并在操作活动中探索、掌握垂线的性质．从实际中感知“垂线段最短”，并能运用到生活中解决实际问题．

二、重难点目标

【教学重点】

会使用工具按要求画垂线，掌握垂线(段)的性质．

【教学难点】

从生活实际中感知“垂线段最短”．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P41～P42的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

(一)垂线

1．观察下列图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？

略

2．垂直的概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是90°，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 3．垂直的表示：如图1，如果用AB、CD表示两条互相垂直的直线，可以记作AB⊥CD；如图2，如果用l、m表示两条互相垂直的直线，可以记作l⊥m，其中点O是垂足．

图1

图2 (二)垂线段最短

1．(1)如图1，点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？如果点A在直线l外呢？

图1

(2)如图2，点P是直线l外一点，PO⊥l，O是垂足，A、B、C在直线上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？

图2 解：(1)无论点A在直线l上，还是直线l外，过点A均只能画1条l的垂线．

(2)PO最短．

归纳总结：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②直线外一点与直线上各个点连结的所有线段中，垂线段最短．

2．如图，过点A作l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) (一)垂线

【例1】(1)如图1，过点P画AB的垂线；

(2)如图2，过点P分别画OA、OB的垂线；

(3)如图3，过点A画BC的垂线．

图1

图2

图3 【互动探索】(引发学生思考)理解画垂线的步骤，根据画垂线的步骤求解．

【解答】如图所示．

图1

图2

图3 【互动总结】(学生总结，老师点评)垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．

(二)垂线段

【例2】如图是一条河，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)根据垂线的性质可解，即过点C作CE⊥AB，根据“垂线段最短”可得CE最短．

【解答】如图所示，过点C作AB的垂线段，垂足为E.沿CE铺设水管能让路线最短，因为垂线段最短．

【互动总结】(学生总结，老师点评)在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问

题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．如图，直线a、b相交于点A，点B在直线a上，过点B作直线b的垂线，垂足为C，若∠1＝50°，则∠2的度数为(

A

)

A．40°

C．60°

B．50°

D．140°

2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是(

C

) A．平行线间的距离相等

C．垂线段最短

B．两点之间，线段最短

D．两点确定一条直线

3．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为C，AC＝3，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是(

A

)

A．2

C．4

B．3

D．5 4．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，能表示点到直线的距离的线段有5条．

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】根据要求画图，并回答问题．

如图，直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB．

(1)过点O画直线MN⊥CD；

(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．

【互动探索】(1)根据题意画出直线MN即可；

(2)当点F在射线OM上时，根据垂直定义及同角的余角相等求出∠EOF＝∠BOD，根据

对顶角求出∠EOF＝∠AOC，即可求出答案；当点F在射线ON上时，求出∠AOM的度数，根据对顶角求出∠BON的度数，求出∠EOB＋∠BON即可．

【解答】(1)如图所示．

(2)①当F在射线OM上时．

因为EO⊥AB，MN⊥CD，

所以∠EOB＝∠MOD＝90°，

所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，

所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°. ②当F在射线ON上时，如图点F′. 因为MN⊥CD，

所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，

所以∠AOM＝90°－∠AOC＝55°，

所以∠BON＝∠AOM＝55°，

所以∠EOF′＝∠EOB＋∠BON＝90°＋55°＝145°，

即∠EOF的度数是35°或145°. 【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了垂线的作法，角的计算，对顶角，垂线等知识点的应用，关键是根据这些性质求出∠AOM和∠EOM的度数，题目较好，难度不大，注意分类讨论思想的运用．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 垂线

垂线的定义一落垂线的作法二移三画

求最短距离垂线的性质：垂线段最短

练习设计

请完成本课时对应练习！