回顾与思考教案范文

第五章

生活中的轴对称总复习——最短路径问题

教材分析：最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时候还要借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。

本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题的”课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。

学情分析：最短路径问题从本质上说就是最值问题，作为七年级学生，在此前很少在几何背景中涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。教学时，教师要适当的进行点拨，在学生探索的过程中，逐步掌握重点，攻克难点。

教学目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

教学设计：

一、

新课导入：

前面我们已经研究过了一些关于“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。现实生活中经常涉及选择最短路径的问题。本节课我们将利用所学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。

二、

新课探究：

活动一：

将实际问题抽象为数学问题

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦，有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图1中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称性质的知识回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马问题”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？

（1）这是一个实际问题，你打算首先做什么？

师生活动：学生回答，将A、B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。

（2）你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成一致：（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的点有无穷多处，把这些地点与A、B连接起来的两条线段的长度之和，就是从

A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和最短得直线上的点。设C为直线l上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。

设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。

活动二：尝试解决数学问题

如图：点A、B在直线l的同侧，点C是直线了上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？

师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充。

如果学生解决问题有困难，可作如下提示：

（1）如果点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点分别到点A、与点B的距离和最短？

（2）对于问题中，如何将点B“移”到l的另一侧B’处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB’的长度相等吗？

（3）你能利用抽对称的有关知识，找到符合条件的点B’吗？

对于问题（1），学生利用已经学习过的知识，很容易解决这个问题，即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，

可知这个交点即为所求。对于（2）（3）问题，学生独立思考，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充。得出：只要作出点B关于l的对称点B’，就可以满足CB’=CB。再利用（1）的方法，连接AB’,则AB’与直线l的交点即为所求。

学生叙述，教师画图，学生在联系本上联系画图。

做法：（1）作点B关于直线l的对称点B’；

（2）连接AB’，与直线l相交于点C。

则点C即为所求。

设计意图：通过搭建问题串，为学生探究问题提供方法，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透了转化思想。

活动三：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？

师生活动：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书。

证明：如图，在直线l上任取一点C’（与点C不重合），连接AC’，BC’,B’C’。

由轴对称的性质知，BC=B’C, BC’=B’C’

∴AC+BC=AC+B’C=AB’

,

AC’+BC’=AC’+B’C’

在△AB’C’中，AB’＜AC’+B’C’

∴AC+BC＜AC’+BC’

即AC+BC最短。

补充提问1

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C’（与点C不重合），证明AC+BC＜AC’+BC’？这里的C’的作用是什么？

补充提问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？

设计意图：让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，体会数学活动经验。

三、

巩固练习：

如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接待游客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径。

师生活动：学生分析解题思路，并相互补充，然后独立完成画图。基本思路为：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经之路。将河岸抽象成一条线段BC，这样问题就转化为点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC找到一点R，使PR与QR的和最小。

设计意图：让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。

四、

课堂小结：

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，请学生回答以下问题：

（1）

本节课研究问题的基本过程是什么？

（2）

轴对称在所研究问题中起什么作用？

设计意图：引导学生把握研究问题的基本策略，基本思路和基本方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值。

五、

布置作业

：

（1）

教科书奶站问题。

（2）

设计意图：考察学生对于“最短路径问题”的掌握。

六、板书设计：

复习课——最短路径问题

问题导入：

证明AC+BC最短

巩固练习

七、

教学反思：

本节课以将军饮马问题为突破口，利用轴对称的性质，解决生活中的实际问题，最短路线的选择。这也是学生首次遇到动点问题，根据问题的研究过程我设置了四个环节，层层递进，层层深入，学生基本上达到了设置的教学目标，解决了生活中的实际问题。本节课不足时对于有些问题的描述还不太准确，导致了学生不知道如何回答，在以后的备课中应注意。