完全平方公式的应用教学教案设计

完全平方公式

一、教学目标

(一)知识目标

1.完全平方公式的推导及其应用.

2.完全平方公式的几何背景.

(二) 能力目标

1.经历探索完全平方公式的过程，进

一步发展符号感和推理能力.

2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.

(三)情感目标

1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.

2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.

二、教学重难点

（一）教学重难点

1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释. 2.完全平方公式的应用.

（二）教学难点

1.完全平方公式的推导及其几何解释. 2.完全平方公式结构特点及其应用.

三、教学方法：引导学生从面积入手发现并猜测完全平方公式，通

过合作探索讨论用所学的知识对公式进行验证。

四、教学过程

(一)复习

（1）叙述平方差公式的内容并用字母表示；

（2）用简便方法计算

①103×97

②103 × 103

（3）请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题，并算出结果．

学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果．

要想用好公式，关键在于辨认题目的结构特征，正确使用公式，这节课我们继续学习“乘法公式”．

（二）新课

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.

同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？

(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)

［生］我能帮这位爷爷.

［师］你能把你的结果展示给大家吗？

［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种四种不同的新品种

［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？

（学生思考面积的表示方法）

法一：改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b).

法二：也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a+2ab+b.

［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验222

田的总面积，进行比较，你发现了什么？

［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)=a+2ab+b222

［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.

Ⅱ.讲授新课

1.推导完全平方公式

［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)=a+2ab+b.其实，据有关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度利用多项式的乘法运算推导出这样的公式呢？

(1) (a+b)2222等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？

(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)

用多项式乘法法则可得

(a+b)=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a+ab+ab+b=a+2ab+b22222

所以(a+b)=a+2ab+b

［师］你能用语言描述这个公式吗？

(

引导学222生用语言描述公式，学生齐读

)

两个数的和的平方等于这两个数的平方和加上它们积的2倍

(2)

(a－b)等于什么？你是怎样想的.

2

（学生讨论，探索结论，学生自己回答解决方法）

（学生很容易模仿上面的方法用多项式乘法来解决，老师可以适当的引导学生利用刚才验证的公式来解决整个问题，寻求一个问题的多种解法）

法一：(a－b)=(a－b)(a－b)=a－ab－ba+b=a－2ab+b.

法二：因(a+b)=a+2ab+b中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b”代替公式中的“b”,利用上面的公式就可以得到(a－b)=［a+(－b)］

［师生共析］

(a－b)=［a+(－b)］=a+2·a·(－b)+(－b)

↓

↓

↓

↓

↓

↓

(a +b)

= a+2·a

·b

+

b

=a－2ab+b.

于是，我们得到又一个公式：

(a－b)=a－2ab+b

［师］你能用语言描述这个公式吗？

（学生模仿上面公式的描述试着自己描述，请学生回答）

两个数的差的平方等于这两个数的平方和减去它们积的2倍

2.应用、升华

［例1］利用完全平方公式计算：

(1)(2x－3);

(2) (4x+5y);

(3) (mn－a).

分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；222222222

22222222.22222222

第二步，明确谁是a，谁是b，准确代入公式；第三步化简.

（教师演板第一题，后面两题由学生完成）

解：(1) (2x－3)=(2x)-2·(2x)·3+

3

=4x-12x+9

↓

↓

↓

↓

↓

↓

( a- b)= a

-2·

a·

b +

b

(2x－3)

=［2x+(－3)］=(2x)+2·(2x)·(－3)+(－3)

=4x-12x+9

↓

↓

↓

↓

↓

↓

(a +

b)

= a

+2·

a·

b

+

b

(2) (4x+5y)

=(4x)+2·(4x)·(5y)+

(5y)=16x2+40xy+25y2

↓

↓

↓

↓

↓

↓

(a+

b)

= a

+2·

a

·

b

+

b

(3) (mn－a)=(mn)-2·(mn)·a+

a

=mn-2mna+a

↓

↓

↓

↓

↓

↓

(a- b) = a22

2

22

222222222

22222222222

2222 -2·

a ·

b

+

b

2

想一想，(a+b)2

与(-a-b)2

相等吗？为什么？

(a-b)2

与(b-a)2

相等吗？为什么？

Ⅲ、.随堂练习

课本P34，

1.计算：

Ⅳ

课后作业

.课本P41 .习题1.13的第1、题.