3.3 幂函数名师课堂实录

“二次函数的综合问题”实录及反思

1

基本情况分析

本节课是2015年12月30日在江苏省徐舍中学举行的无锡市高中数学名师共同体I组教学研讨活动中笔者执教的关于“二次函数的综合问题”一节课的教学实录. 1.1 授课对象

江苏省四星级高中一年级学生，基础较好，有一定的自学能力、运算能力和综合运用知识解决问题的能力，但思维的深度、广度和严密度较薄弱．

1.2

目标分析

二次函数是重要的函数模型之一，其研究方法极具典型性与示范性，对其他函数模型的学习、研究有较大的借鉴意义。二次函数的最值问题既是二次函数中的热点问题又是函数最值问题中的典型问题。本课前，学生已学习了二次函数的图象与性质，掌握了二次函数的解析式、图象与性质、二次函数在定区间上的值域，这为本节课的顺利开展提供了必要的认知基础。

教学目标

（1）掌握二次函数在闭区间上的最值问题；（2）通过实例探究，掌握二次函数在闭区间上的最值问题的研究方法；（3）体会数形结合、分类讨论、化归与转化等思想在二次函数最值问题中的运用．

教学重点

结合图象，探求二次函数的最值．

教学难点

含绝对值的二次函数最值探求．

2

教学过程

2.1

问题情境

问题：已知函数f(x)x22x1，x0,4，则函数f(x)的最小值为_______最大值为_______. 生1：最小值2，最大值7。

师：何时取得最小值，何时取得最大值？

生1：当x1时取得最小值，当x4时取得最大值。

师：你是怎么得到的？

生1：将区间端点及顶点代入比较就能得到。

师：还有其他方法么？

生众：观察图象考察单调性。

师：通过上述问题的求解, 对于二次函数在闭区间上的最值问题,你有什么心得？

生2：通过比较顶点及区间端点的函数值来得到最值。

生3：结合图象根据单调性来得到最值。

师生共同归纳，形成方法：二次函数在闭区间上的最值问题，可以通过对顶点及闭区间端点函数值的比较来找出最值；但通常是结合图象根据单调性来确定最值。

设计意图

学生在本课前已学习了二次函数，掌握了二次函数的解析式、图象与性质、定区间上的值域等。通过课本习题的变式小题，在学生的“最近发展区”设置问题情境，充当“先行组织者”，开始新知的建构，有利于学生开展数学活动。通过追问“你是怎么得（想）到的？”充分揭示学生的

思维过程，通过设问“你有什么心得？”，帮助学生回顾二次函数最值问题的常见处理方法，融知识梳理于小题训练．

2.2

学生活动

师：上述问题是二次函数在定区间上的最值问题。今天，我们就来研究二次函数的一类综合问题——二次函数在闭区间上的最值问题。请大家根据上述问题在不改变二次函数的背景下改编一道最值问题。

设计意图

提出问题，是人的创造性思维的开始。发展学生的能力包含发现问题、提出问题、分析问题、解决问题等诸方面能力。教学中应适时让学生发现并提出问题，以培养学生提出问题的能力。选用学生提出的问题开展数学活动使学生倍感亲切，有利于调动学生的积极性，发挥学生的主体性；有利于培养学生的问题意识和实践能力。

2.3

例题分析

给学生3-4分钟改编问题，老师巡察学生的出题情况，选用典型问题作为例题开展数学活动。

例1已知函数f(x)x2ax1，x0,4，求函数f(x)的最小值。

解：函数f(x)x2ax1的对称轴为x

当当a，

2a0即a0时，函数f(x)在区间0,4上递增，所以f(x)minf(0)1；

2a4即a8时，函数f(x)在区间0,4上递减，所以f(x)minf(4)154a；

2aaa当04即0a8时，函数f(x)在区间0,上递减，在区间,4上递增，所以222f(x)minaa2f()1。

24a0,1,2a1,0a8,

4154aa8.综上f(x)min师：通过本题，你有何收获？

生4：处理二次函数在闭区间上的最值问题的关键是确定在什么位置函数值最小，再代入求值就可以了。本题由于一次项系数含有参数，需要考察二次函数的对称轴与区间的相对位置，结合图象根据单调性来“锁定”最值。

师：此题中一次项系数为参数，还可以有其他情况么？

生众：还可以将二次项系数或者常数项变为参数。

练习1:已知函数f(x)ax22x1，x0,4，则函数f(x)的最小值为_________。

学生练习后，投影展示，交流点评。

设计意图

实物投影学生的练习，让学生共同诊断练习中暴露出的一些典型的错误，提醒大家在以后的学习中要防止这种问题的重现；同时展示好的解答，让其他同学向他们看齐，以此为榜样，让学生感受到成功的乐趣．

师：例1通过引入参数将静态的二次函数问题变为动态的二次函数问题，非常好，还有同学引入了绝对值运算。

例2 （1）已知函数f(x)x22x1，x0,4，则函数f(x)的最小值为_______ 生5：-2

师：你怎么得到的？

x22x2,x1,生5：去绝对值得到f(x)2函数yf(x)可看作是由g(x)x22x2(x1)与x2x2,x1,h(x)x22x2(x1)在x1处拼接而成，其在区间0,4上单调递增，所以f(x)minf(0)2。

师：对于含绝对值的问题，大家有何想法？

生6：去绝对值转化为分段函数来处理，即由几个部分“拼接”而成。

例2 （2）已知函数f(x)x22xa，求函数f(x)的最小值。

x22x2a,xa,生7：去绝对值得到f(x)2函数yf(x)可看作是由g(x)x22x2a(xa)x2x2a,xa,与h(x)x22x2a(xa)在xa处拼接而成。

师：具体在何处拼接？如何拼接？请同学们在两张草稿纸上分别作出yx22x与yx22x的草图，移动草稿纸观察“拼接”图象，归纳“拼接”类型。

师生共同操作，通过观察“拼接”图象，叙述解题过程、解决问题。

通过上述的问题的处理，你有什么收获？

生8：含绝对值问题问题，通过去绝对值转化为几个局部函数“拼接”而成的函数整体，借助图象，根据单调性“锁定”最值。

师：解题中我们要善于借助图象，学会“看图说话”。例1及例2，同学们通过引入参数或添加绝对值来改编题目，在变题中都属于变式范畴，很好。我发现还有一些同学改编的问题视角独特，匠心独运，非常漂亮。

例3已知函数f(x)x2ax1在区间0,4上的最大值为7，则实数a的值为________. 生9：2 师：你怎么得到的？

生9：我发现该二次函数图象开口向上，最大值在区间端点处取得，直接将区间端点值代入函数表达式，值为7，进而解出a.根据f(0)7发现无解；根据f(4)7解出a2，再回代检验符合。

师：有其他做法么？

生10：先将函数在区间0,4上的最大值表示出来，再根据其值为7建立方程解出即可．

师：解决此类问题的关键是什么？

生11：“锁定”函数取得最值的位置，建立方程，通过方程（组）得出答案。

练习2.已知函数fxx2x1在区间[0,n]上有最大值1，最小值2，则n的取值范围是2______。

思考：已知函数fxx2x1，是否存在实数

m、n（m < n），使

f (x) 的定义域和值域分2别为

[m,n] 和

[2m,2n]，如果存在，求出

m、n

的值，如果不存在，说明理由．

学生练习，投影展示，交流点评。

师：例3给出最值求参数考察逆向思维能力，在变题中属于变换问题角度．还有同学变换问题的表征，也很精彩。

例4 已知函数f(x)xax1，若x0,4时，有f(x)2恒成立，则a的取值范围为______．

2生12：要使f(x)2恒成立，只要函数在区间0,4上的最小值不小于2就可以了。先表示出函数在区间0,4上的最小值，再建立不等式解出就行了。

师：很好。不等式恒成立或有解问题通常可以转化为函数最值问题来处理。

2.4

回顾小结

师生合作，主要围绕以下几方面进行总结．

（1）研究了一类什么问题? （2）这些问题怎么来的？

（3）这些问题中什么是变化的？什么是不变的。

（4）我们要善于透过这些变化的（表怔，角度，式子），抓住不变的（研究问题的方法、思想）

2.5

课后作业

1．

整理笔记；

2．

思考：还有其他改编方式么？(如改变自变量的取值范围，改变问题的背景等)；

3．

排查、归纳必修1、4中能经换元转化为二次函数最值问题的题型。