2.1.1 函数的概念和图象全国优秀课堂实录

函数的概念

丁梦怡

一、教材分析

1.在教材中的地位和作用

函数是中学数学中的重要内容，初中阶段就已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数的概念，让学生在有一定的函数基础上，来加以更深层次的认识函数的概念。高中数学大部分章节都涉及函数或者函数思想方法，其理论和应用涉及数学的各个分支。所以说函数是中学数学的一条主线函数、指数函数、对数函数和幂函数．这四方面的内容都在高一的数学1中．还有三角函数在高二数学5中，这一内容也是函数的，在高二数学5所学的数列其实也可以算入函数这一块的．还有选修系列中的导数的内容．单从知识点在课本中的体现角度来看差不多整个高中所学的内容有一半的与函数知识紧紧的联系在一起．所以地位极其重要！

2.内容分析

第一、函数的覆盖面广

函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

第二、函数在高考中有重要的地位

再从高考的试题来分析高考大题（解答题）基本上是函数内容，没有学好、学透函数的性质可以说相当于没有读高中数学，也就是说在高考中不可能取得好成绩．在综合题型中最能体现函数这一块知识内容，解析几何的题例直线与曲线是经典一元二次函数的问题，算法中同样也有函数问题．

第三、函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一

函数是中学数学最重要的基本概念之一，其核心内涵为从非空数集到非空数集的映射；函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础；它不仅对前面学习的集合知识做了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具；函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切；函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用；函数概念及其反应的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础.

总之，函数知识贯穿整个高中数学内容，在每一块知识领域中都有函数的存在，函数无处不在．没有函数就不是数学，函数是数学的核心．

（1）结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

（2）根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

（3）利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

（4）收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

2.教材编排与课时安排

给出实例→分析归纳→给出函数的概念→区间探讨→强化运用（例题与练习）。

教师教学用书安排“函数的概念”这部分内容授课时间1课时，本节课重在交代函数的现代定义，教学

中注重归纳总结，并充分揭示函数的三要素、两函数相等的条件。

二、学情分析

1.学生的情感特点和认知特点：学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础

2.已具备的与本节课相联系的知识、生活经验：学生已较好地在处中学过正比例函数，一次函数，反比例函数，二次函数，并学习了函数的自变量、因变量，为本节课学习函数概念做好铺垫。

3.学习本课存在的困难：函数概念建立在集合基础之上，是学生以前没有学习过的新知，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度．

基于以上分析，我初步确定如下教学目标与教学重、难点：

三、重、难点分析

【教学重点】 理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；

【教学难点】

符号“y=f(x)”的含义. 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下：

四、教学目标

【知识与技能】函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．

【过程与方法】

（1）回顾初中阶段函数的定义，通过实例深化函数的定义. （2）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（3）了解构成函数的要素；

【情感、态度与价值观】

(1)通过学习函数概念，培养学生观察问题，提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；

(2) 启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识. (3)在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律；由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想. (4) 让学生体会现实世界充满变化，要用发展的眼光看待问题。使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。

基于上述教学目标与教学重难点，我初步设计如下教法与学法：

五、教法分析与学法指导

1.教法分析

教学方法：建构主义观点的教学方式，即通过大量实例，遵循“特殊到一般”的认识规律，提出问题，大胆猜想，确定方向，分组研究，尝试验证，归纳总结；教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观感知→观察分析→归纳类比→抽象概括，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、

提升能力.通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生心理上得到认同，建立新的认识结构。

2.学法指导

学法（尝试自学辅导法）：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标 . 五、教具准备

教科书（人教A版·必修1） 多媒体课件和操作系统 六、教学过程

设计环节

设计意图

（1）引出时间与振幅之间的关系；

（2）加强学生对函数重要性的认识；

（3）提高学生的道德情操和社会责任意识；

（4）树立学生“为中华之崛起而读书”伟大抱负. 师生活动

师：同学们，我们学习了集合的基本运算，认识到集合之间是可以用某种关系对应的，只一节课我们将重点讨论集合之间的一种对应关系——函数，在内容学习之前，请同学们先看以下图片（课件：内容为5.12地震有关图片）

师：地震是无情的，蜀地一震，日月失色，举国同悲……其实地震就像我们物理中的振动一样，也是有规律的：其同学们认真观察这幅图

以实际问题为背景，以学生熟悉的情境入手激活学生的原有知

一、

识，形成学生的“再创创设造”欲望，让学生在熟问题悉的环境中发现新知情境

识，使新知识和原知识，

形成联系，同时也体现引出了数学的应用价值。通课题

过问题2这两个用已有。

概念不太容易回答的问题，引发学生的认知冲突，有着承上启下的作师：同学们，请看这幅波形图，如果我们用集合的观点来看：横轴（即时间轴）的每一个点代表一个时间点——时刻，因此，横轴就是该时间段的所有时间所构成的

————？

生：集合

师：曲线上的每一个点都与纵轴的震动强弱所对应，即曲线上的每一个点都是该时间震动强弱所构成的————？

生：集合

师：由此，给定一个横轴上的时刻，就对应了纵轴上的一个确定的震动强弱，这样，我们就由这一个对应把时间的集合和振幅的集合联系起来了，而在我们生活中无处不在这样的对应，如课本中：发射出的炮弹与地面的高度和时间的关系等都是考集合之间的某种确定对应联系起来的。同学们，如果我们能找到上图中时间与振幅的准确关系的话，我们就掌握了地震某次地震后余震的情况，这对于生命和财产

用。既是对初中已学的函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合语言来刻画函数的本质做好伏笔。

从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验。这种引出概念的方式自然而又易于学生接受和形成概念。

注重双语，规范数学概念的理解。在涉及的每一个数学概念其后注明英语，有利于教师实施双语教学，也有利于教师和学生阅读外文数学材料，这也是体现新课标实验教材的创新之处。

二、

函数y=f(x)是学生从特学习的难点，这是一个殊到抽象的数学符号。教学一般

时首先要强调符号，

引出“y=f(x)”为“y是x的函数函数”这句话的数学表概念

示，它仅仅是数学符号，。

而不是表示“y等于f与x的乘积”。在有些问题中，对应关系f可用一个解析式表示，但在不少问题中，对应关系f不便用或不可能用解析式表示，而用其他方式（如图象、列表）来表示。所以教师应向学生明确指出，y=f(x)不一定就是解析式，函数的表示方式除了解析式外，还有其它表示方法，如实例2的图象法，实例3的列表法。

三、

作业

的保障无疑是不可置疑的.那么，像这样的集合与集合之间的关系究竟是什么呢？——这就是我们要学的函数，函者，关系，数者，集合也.

问题：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？（在学生回答的基础上教师归纳总结）

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在数集B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）.记作y=f(x)．x∈A．自变量x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）．

在函数概念得出后，教师强调指出“y=f(x)”仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号y=f(x)的含义，教师提出下一个问题：

问题5：y=f(x)一定就是函数的解析式吗？

师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。

补充练习：下列图象中不能作为函数yf(x)的图象的是（

）

y2y2y2y22ox2ox2ox2ox（A）

（B）

（C）

（D）

启发并引导学生思考、讨论、交流，教师归纳总结出函数的要点：

1．函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应；

2．函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域A的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在B中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合B中并非所有的元素在定义域A中都有元素和它对应；值域CB；

3．函数符号y=f(x)的说明：

（1）“y=f(x)”即为“y是x的函数”的符号表示；

（2）y=f(x)不一定能用解析式表示；

（3）f(x)与f(a)是不同的，通常，f(a)表示函数f(x)当x=a时的函数；

（4）在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)、φ(x)等符号来表示。

4．定义域是函数的重要组成部分，如f(x)=x(x∈R)与g(x)=x(x≥0)是不同的两个函数。

1.

阅读P26《函数概念的发展历程》，查阅相关数学家其人其事

2.

一函数概念的发展为背景，谈谈你从初中到高中学习函数概念的

体会。

七、板书设计

1—1.2.1函数的概念

一、函数的含义

投 影

仪

屏

幕

八、教学设计说明

问题情境故事化。采用故事来创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲，让学生感受数学的应用价值，通过问题的解决，在特殊方法之中蕴涵一般规律，使学生自己去体会其中的思想方法，为进一步学习奠定基石。

问题情境与公式推导探究活动化。教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。通过教师的积极引导和启发，借助于变式教学的模式，培养学生思维的发散性、深度与广度，加深学生对知识的理解。

巩固练习结构、层次化。在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练练习，强化对公式的理解和运用。通过例题的板书和分析，进一步强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系，加强对数学思想方法的感悟。

板书设计人性化。必要的推理和演算过程板书在黑板上，有助于学生的阅读和理解，即时在黑板上整理总结归纳知识，作到知识和思想方法的一目了然，方便学生作笔记。

通过探讨、归纳、总结，使学生从不同的思维角度掌握了函数概念．学生从中深刻地领会到归纳过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性。同时通过精讲例题，发散一点变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能．在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。