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关键词：探究与发现互为�…教案1

正文

互为反函数的函数图象间的关系

一、

教学目标

1.知识与技能：

（1）了解互为反函数的函数图象间的关系，并能利用这一关系由这一关系由已知函数的图象作出反函数的图象。

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

2.过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图象间的关系，使学生探索知识的形成过程，引导发现，同时渗透数形结合思想。

3.情感态度价值观：通过图象的对称变换使学生发现数学的对称美、和谐美，激发学生的学习兴趣。

二、

教学重难点

教学重点：互为反函数的函数图象间的关系。

教学难点：发现数学规律。

三、教学过程

1．复习回顾

反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。

求出函数yx3的反函数。

2．新课讲授

师：用几何画板画出y3x的图象（图1），学生观察图象. 图1

观察y3x函数图象与yx3函数图象相比有什么样的特点？猜测图象之间的关系。由yx3的函数图象如何能够做出y3x的函数图象？

生：学生尝试作点Ｂ前，选择xA和xA3为Ｂ的坐标时，他先选择xA3，后选择xA，作出来的点的坐标为（xA3，xA），而不是（xA，xA3）。

师生尝试在几何画板上画出图象进行观察。

生：将y＝x3上的点Ｂ（x，y）的横坐标x与纵坐标y交换，而y＝x3的反函数也正好是将x与y交换。

师：下面我们进一步研究y＝x3的图象及其反函数y3x的图象的关系，同学们能不能看出这两个函数的图象有什么样的关系？怎么由y＝x3的图象得到y3x的图象？

生：将y＝x3的图象上点的横坐标与纵坐标交换，可得到y3x的图象。

师：这两个函数的图象有没有对称关系，是什么样的对称关系？

生：这两个图象应是关于某条直线对称。

师：能说说是关于哪条直线对称吗？教师引导学生利用几何画板找出两函数图象的对称轴，画出如下图形，

如图2所示：

图2

通过移动点A（点B、C随之移动）后发现，BC的中点M在同一条直线上，

这条直线就是两函数图象的对称轴，在追踪M点后，发现中点的轨迹是直线y＝x。

生：y＝x3的图象及其反函数y3x的图象关于直线y＝x对称。

师：这个结论有一般性吗？其他函数及其反函数的图象，也有这种对称关系吗？

请同学们用其他函数来试一试。

学生尝试画出其他函数与其反函数的图象进行验证，最后大家一致得出结论：

函数及其反函数的图象关于直线y＝x对称。

在验证过程中还出现了以下情况（图3）：

图3

图中函数y＝x2（x∈R）没有反函数，②也不是函数的图象。

思考：对于自变量加上怎样的条件才能有反函数？

对于原函数中的两个不等的自变量x1,x2与同一函数值y相对应，当用y表示x，对一个y有两个x与之对应，因此应加上自变量的范围，使得原函数是从定义域到值域的一一映射。

总结：

1.点x,y在原函数图象上，那么点y,x在反函数图象上；

2.点（x，y）与点（y，x）关于直线y＝x对称；

3.函数及其反函数的图象关于直线y＝x对称。

四、板书设计

定理：函数yfx的图象与其反函数yf1x图象关于直线yx对称。

推论：点x,y关于直线yx的对称点为y,x。

资料摘要

探究与发现互为反函数的两个函数图象之间的关系教案1