阅读与思考 集合中元素的个数教案推荐

第一节

集

合

考纲解读

1.以新定义集合以及集合运算为背景考查元素与集合间的关系；2.判断集合间的关系及利用集合间的关系求参数；3.以基本函数的定义域、值域、不等式的解集为背景进行交、并、补的基本运算．

[基础梳理]

1．集合的相关概念

(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．

(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈，不属于，记为∉．

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．

(4)五个特定的集合：

集合

符号

自然数集

N

正整数集

N*或N＋

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

2.集合间的基本关系

表示

关系

相等

子集

真子集

文字语言

集合A与集合B中的所有元素相同

A中任意一个元素均为B中的元素

A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

符号语言

A⊆B且B⊆A⇔A＝B

A⊆B或B⊇A

AB或B∅⊆A ∅B(B≠∅) A

空集

3．集合的基本运算

图形

表示

并集

交集

补集

符号

表示

A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

考点一|集合的概念

(易错突破) 【例1】

(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(

) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)已知集合A＝{a，(a＋1)2，a2＋a－1}，B＝{－2，1}，A∩B＝{1}，则实数a＝________．

[解析]

(1)集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，当n＝0时，3n＋2＝2，当n＝1时，3n＋2＝5，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝3时，3n＋2＝11，当n＝4时，3n＋2＝14，∵B＝{6，8，10，12，14}，∴A∩B中元素的个数为2，选D.

(2)由A∩B＝{1}，得1∈A.若a＝1，则集合A中有重复元素，与集合中元素的互异性矛盾．若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.当a＝0时，A＝{0，1，－1}，符合题意；当a＝－2时，集合A中有重复元素，与集合中元素的互异性矛盾．若a2＋a－1＝1，则a＝1或a＝－2，由上述可知，a＝1或－2都不满足题意．所以实数a的值为0.

[答案]

(1)D

(2)0 易错提醒

与集合中的元素有关问题的求解策略

(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．

(2)看这些元素满足什么限制条件．

(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．

纠错训练

(1)(2016·高考四川卷)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(

) A．3 答案：C b(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，a，b，则b－a＝(

) B．4 C．5 D．6 A．1

答案：C B．－1 C．2 D．－2

考点二|集合间的关系

(思维突破) 【例2】

已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则(

) A．AB

B．BA C．A＝B

D．A∩B＝∅

[解析]

A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，所以BA.

[答案]

B 思维升华

根据集合的关系求参数的关键点及注意点

(1)关键点：将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．

(2)注意点：①注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论．②注意区间端点的取舍．

母题变式

(1)若把题目中的集合A改为A＝{x|x2－x－2≥0}，如何选答案．

解析：A＝{x|x≥2或x≤－1}，

∴A∩B＝∅，选D.

答案：D (2)若把集合B改为B＝{x|x＜a}且BA，求a的范围．

A，

解析：∵A＝{x|－1＜x＜2}，如图，要使B∴a≥2.

考点三|集合间的运算

(方法突破) 方法1

定义法求集合交、并、补的运算

【例3】

(1)(2016·高考全国Ⅲ卷)设集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{4，8}，则∁AB＝(

) A．{4，8}

B．{0，2，6} D．{0，2，4，6，8，10} C．{0，2，6，10}

(2)(2016·高考全国Ⅰ卷)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝(

) A．{1，3}

B．{3，5} C．{5，7}

D．{1，7} (3)(2016·高考全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝(

) A．{1}

C．{0，1，2，3}

B．{1，2}

D．{－1，0，1，2，3}

[解析]

(1)由补集的定义知∁AB＝{0，2，6，10}．

(2)因为A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，所以A∩B＝{3，5}．故选B.

(3)由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，∴A∪B＝{0，1，2，3}，故选C.

[答案]

(1)C

(2)B

(3)C 方法2

数轴、韦恩图(Venn)法求集合的运算

【例4】

(1)(2016·高考全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝(

) 3－3，－

A.231，

C.2

3－3，

B.23D.2，3

(2)(2015·高考天津卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁UB)＝(

) A．{2，5}

C．{2，5，6}

B．{3，6} D．{2，3，5，6，8} (3)设集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R(A∩B)＝(

) A．R

B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．∅

C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

33x＞，则A∩B＝，3.选D.

[解析]

(1)如图，由题意得，A＝{x|1＜x＜3}，B＝x22

(2)如图，∁UB＝{2，5，8}，A∩(∁UB)＝{2，5}．

(3)由|x|≤2，解得－2≤x≤2，则集合A＝{x|－2≤x≤2}＝[－2，2]．对于B，若－1≤x≤2，则－4≤－x2≤0，则有B＝{y|－4≤y≤0}＝[－4，0]，则A∩B＝[－2，0]，∁R(A∩B)＝(－∞，－2)∪(0，＋∞)．故选B.

[答案]

(1)D

(2)A

(3)B 技法感悟

1.离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解．

2．连续型数集的运算，常借助数轴求解．

3．集合交、并、补混合运算的求解方法：根据交、并、补的定义求解，有括号时，要先计算括号里面的，再按顺序求解．

跟踪训练

(1)(2016·高考山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝(

) A．(－1，1)

C．(－1，＋∞)

答案：C (2)(2016·高考天津卷)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(

) A．{1}

答案：D

1．集合

研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件(性质)，当集合用描述法表示时，要注意弄清其元素表示的意义是什么．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．

2．子集的个数

集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集(除集合本身)，有2n－1个非空子集，有2n－2个非空真子集(除集合本身和空集)．

3．集合的运算性质

A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B；A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A；

A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

4．注意易失误点

(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

(2)解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．

(3)Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．

B．{4} C．{1，3}

D．{1，4}

B．(0，1) D．(0，＋∞)