阅读与思考 集合中元素的个数板书设计

中小学个性化辅导专家

个

性

化

教

案

授课时间：2016.07.16 年级：

初一

课时：3

课题：

集合

教学目标

备课时间：2016.07.15 学员姓名：赵高婵

授课老师：张少春

难点重点：

重点

难点：

集合的基本概念：

⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

集合的组成和名称：集合包括元素，以及使元素组成集合的规定的性质，通常我们用小写拉丁字母a,b,c…表示元素；而通常用大括号{

}或大写的拉丁字母A,B,C…表示集合，这里{

}表示符合规定性质的一切元素都被这个集合所包含了；而大写字母A,B,C表示集合的名称，读作集合A，集合B,集合C，当然，你也可以用NB这样的来表示，或者也可以使用能描述集合性质的文字来命名，例如“1,2,3,4,5……”就可以用“自然数集”或“N”来命名。

常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R；

.

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作业

复

习

预

习

家长或学生阅读签字

学习管理师

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关于集合的元素的特征

1.确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. 2.互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2

3.无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

4.

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。例如{1,1,1}和{1,1,1}就是两个相等的集合。

练习：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

⑴大于3小于11的偶数；

⑵我国的小河流；

⑶非负奇数；

⑷方程x2+1=0的解；

⑸某校2011级新生；

⑹血压很高的人；

⑺著名的数学家；

⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点

元素同集合的关系：元素同集合的关系有有“属于”及“不属于两种) 1若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；

2若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。

例如我们开头的例子当中，前面三个图形就属于{正方形} 例．用“∈”或“”符号填空：

（1）8

N；

（2）0

N；

（3）-3

Z；

（4）2

Q；

（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国

A，美国

A，印度

A，英国

A。

集合的表示方法

⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；

⑵一般不必考虑元素之间的顺序；

⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；

⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。

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⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,......

例1．用列举法表示下列集合：

(1)

小于5的正奇数组成的集合；

(2)

能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；

(3)

从51到100的所有整数的集合；

(4)

小于10的所有自然数组成的集合；

(5)

方程x2x的所有实数根组成的集合；

⒉描述法（课本P4的思考题）得出描述法的定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：xAp(x)

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；

说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与

{y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{

}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。

用符号描述法表示集合时应注意：

１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？

２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

例2．用描述法表示下列集合：

(1)由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合;

(2)

到定点距离等于定长的点的集合;

(3)

方程x220的所有实数根组成的集合

(4)由大于10小于20的所有整数组成的集合。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，

一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

三、文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即

画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：

A

3,9,27 爱，赋予学习的灵感！ 第 4 页

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集合的分类

观察下列三个集合的元素个数

1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {xR∣0

由此可以得到

有限集:含有有限个元素的集合集合的分类

无限集:含有无限个元素的集合空集:不含有任何元素的集合(emptyset)

2.用描述法表示

(1) 被5除余数是1的整数的集合

(2)

奇数集

(3)

大于4小于1000的全体整数构成的集合

(4)

x轴上的点构成的集合

1.1.2

集合间的基本关系

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：

（1）A{1,2,3}，B{1,2,3,4,5}；

（2）C{北京一中高一一班全体女生}，D{北京一中高一一班全体学生}；

（3）E{x|x是两条边相等的三角形}，F{xx是等腰三角形}

观察可得：

⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这

两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。

记作：AB(或BA)

读作：A包含于B，或B包含A

当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B(或B⊉A)

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

B

A 表示：AB

⒉集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B

中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若AB且BA，则AB。

如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。

⒊真子集定义：若集合AB，但存在元素xB,且xA，则称集合A是集合B的真子集。

记作：A

B（或B

A）

读作：A真包含于B（或B真包含A）

4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：

用适当的符号填空：



0；

0



；



{}；

0

{} 5.几个重要的结论：

（1）

空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。

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（2）

空集是任何非空集合的真子集；

（3）任何一个集合是它本身的子集；

（4）对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC。

说明：

⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；

⑴

在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

例题：写出{1,2,3}，

，{}所有的子集和真子集

结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，子集包括该集合本身，而真子集不包括。

特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

这里还要注意的是{}不是空集，因为它里面有元素。

1.1.3

集合间的基本运算

考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：

（1）A{1,3,5}，B{2,4,6},C1,2,3,4,5,6；

（2）A{xx是有理数}，B{xx是无理数},Cxx是实数；

1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B

的并集，即A与B的所有部分，

记作A∪B，

读作：A并B

即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

Venn图表示：

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？

A∪A＝

,

A∪Ф＝

,

A∪B

B∪A A∪B＝A

,

A∪B＝B

. 巩固练习（口答）：

①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝

; ②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝

;

③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝

。

2.交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），

记作：A∩B

读作：A交B

即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

Venn图表示：

（阴影部分即为A与B的交集）

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常见的五种交集的情况：

B

B A

B A B

A A A(B)

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个

集合没有交集

讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？

A∩A＝

A∩＝

A∩B

B∩A

A∩B＝A 

A∩B＝B

巩固练习（口答）：

①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝

;

②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝

;

③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝

。

3.一些特殊结论

⑴

若AB,则A∩B=A；

⑵若BA,则AB=A；

（3）

若A，B两集合中，B=，,则A∩=, A=A。

【题型一】

并集与交集的运算

【例1】设A={x|-1

【例2】设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B。

【例3】已知集合A＝｛y|y=x2-2x-3,x∈R｝,B=｛y|y=-x2+2x+13,x∈R｝求A∩B、A∪B

【题型二】

并集、交集的应用

例：设集合A＝｛∣a+1∣,3,5},B={2a+1,a2+2a,a2+2a-1}，当A∩B={２，３}时，求A∪B 解：

练：.已知｛3,4，m2-3m-1｝∩{２m，-３}=｛-3｝,则m＝

。

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集合的基本运算㈡

思考1．

U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、

B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？

集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。

（一）. 全集、补集概念及性质：

⒈全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么

就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

⒉补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集,

记作：CUA，读作：A在U中的补集，即CUAxxU,且xA

Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）

UA

说明：补集的概念必须要有全集的限制

CUA

讨论：集合系集合A与CUA之间有什么关系？→借助VennACUA,ACUAU,CU(CUA)A

CUU,CUU

巩固练习（口答）：

①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则CUA=

，CUB=

；

②．设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则CUA＝

；

③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则CUA＝

。

【题型1】求补集

【例1】．设全集Uxx是小于9的正整数,A1，2，3，B3，4，5，6，

求CUA，CUB．

【例2】设全集Uxx4,集合Ax2x3,Bx3x3，求CUA，

AB，AB,CU(AB),(CUA)(CUB),(CUA)(CUB),CU(AB)。

（结论：CU(AB)(CUA)(CUB),CU(AB)(CUA)(CUB)）

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分析图

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【例3】设全集U为R，Axx2px120,

【题型2】集合的混合运算

Bxx25xq0，若



(CUA)B2,A(CUB)4，求AB。（答案：2,3,4）

已知全集为R，集合P=｛x|x＝a2+4a+1,a∈R｝,Q=｛y|y＝-b2+2b+3,b∈R｝求P∩Q和P∩CRQ

集合中元素的个数

在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示集合A中元素的个数。例如：集合A={a,b,c}中有三个元素，我们记作card(A)=3.

结论:已知两个有限集合A，B，有：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).

例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？

解设A={田径运动会参赛的学生}，B={球类运动会参赛的学生}，

A∩B={两次运动会都参赛的学生},A∪B={所有参赛的学生}

因此card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17. 答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.

１.在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小

组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人，则

这个班的学生总人数是

A. 70

B. 55

C. 50

D. 无法确定

２.

给出下列命题：

给出下列命题：

①

若card(A)=card(B)，则A=B；

②

若card(A)=card(B)，

则card(A∩B)=card(A∪B) ,

③

若A∩B=Φ

则card(A∪B)-card(A)=card(B)

④

若A=Φ ，则card(A∩B)=card(A)

⑤

若A B，则card(A∩B)=card(A) ，

其中正确的命题的序号是③④

基础练习：

⑴考察下列对象是否能形成一个集合？

①身材高大的人 ②所有的一元二次方程

③直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体

⑤比2大的几个数 ⑥2的近似值的全体

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⑵给出下面四个关系:3R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数是:( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

⑶下面有四个命题: ①若-aΝ,则aΝ ②若aΝ,bΝ,则a+b的最小值是2 2③集合N中最小元素是1 ④

x+4=4x的解集可表示为{2,2} 其中正确命题的个数是( ) （4）若集合Ma,b,c中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（

）

A．形等腰三角形

B．锐角三角形

C．

钝角三角形

D．直角三角

（5）把集合｛-3≤x≤3,x∈N｝用列举法表示，正确的是(

)

A.｛3,2,1｝

B.｛3,2,1,0｝

C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝

（6）下列说法正确的是(

) 6A.｛0｝是空集

B.

｛x∈Q∣∈Z｝是有限集

x2C.｛x∈Q∣x+x+2=0｝是空集

D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合

二、填空题

用符号“”或“”填空

(1)0______N,

3______Z,

（2）集合A＝{x|5______Q,

2

R,

R

4∈Z，x∈N}，则它的元素是 。

x3（3）已知集合A＝{x|-3

三、解答题

.已知集合A＝｛a,2b-1,a+2b｝B=｛x∣x3-11x2+30x=0｝,若A=B，求a,b的值。

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提高训练：

已知集合Axax22x10,xR,a为实数。

（1）

若A是空集，求a的取值范围；

（2）

若A是单元素集，求a的取值范围；

（3）

若A中至多只有一个元素，求a的取值范围；

练习：

1.设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，则A∩B＝

。

2.设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B＝

。

3.已知集合M＝{x|x-2<0},N={x|x+2>0},则M∩N等于

。

4.设A＝｛不大于20的质数｝，B＝{x|x＝2n+1,n∈N*}，用列举法写出集合A∩B＝

。

5.已知集合M＝{x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},那么M∩N等于（

）

A.

B.N

C.M

D.R

6.满足条件M∪｛1｝＝｛1，2，3｝的集合M的个数是

。

7.已知集合A＝｛x|-1≤x≤2｝,B=｛x|2a＜x＜a+3｝,且满足A∩B＝，则实数a的聚取值啊范围是

。

基础练习：

1、判断下列集合的关系.

(1) N_____Z;

(2) N_____Q;

(3) R_____Z;

(4) R_____Q; (5) A={x| (x-1)2=0}，B={y|y2-3y+2=0};

(6) A={1,3}，B={x|x2-3x+2=0}; (7).写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

2、

已知集合M满足｛2,3｝M｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M

3、已知集合A＝｛x|x2-2x-3=0｝,B=｛x|ax=1｝若BA，则实数a的值构成的集合是（

）

111A.｛-1,0,｝

B.｛-1,0｝

C.｛-1,｝

D.｛,0｝

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解答题：

1.已知集合A{x|ax5}，B{x|x≥2}，且满足AB，求实数a的取值范围。

2.已知三个元素集合A＝｛x,xy,x-y｝,B=｛0,∣x∣,y｝且A=B，求x与y的值。

提高训练：

已知集合Axx23x100

(1)若BA,Bxm1x2m1，求实数m的取值范围。

(2)若AB,Bxm6x2m1，求实数m的取值范围。

(3)若AB,Bxm6x2m1，求实数m的取值范围。

课后练习：

1.课本P8练习3 2．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的非空真子集的个数是A．16

B．8 C．7

D．6 3．(09·广东文)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是(

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) －( {

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4．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{矩形}，E＝{多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________________________________．

5．用适当的符号填空．(∈，∉，⊆，⊇，＝) a________{b，a}； a________{(a，b)}； {a，b，c}________{a，b}；

{2,4}________{2,3,4}； ∅________{a}．

6. 已知集合Ax2x5,Bxm1x2m1且AB，求实数m的取值范围。

基础练习：

（1）若S={2，3，4}，A={4，3}，则CSA=

；

（2）若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB=

；

⑶若S={1，2，4，8}，A=ø，则CSA=

；

（4）已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B；

（5）设全集U={2，3，m2+2m-3}，A={|m+1|，2}，CUA={5}，求m的值；

（6）已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x∈U}，求CUA、m；

（7）已知全集U=R,集合A={x|0

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（8）已知M={1}，N={1，2}，设A={（x，y）|x∈M，y∈N}，B={（x，y）|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B。

（9）已知集合M{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有(

)；

A

3个

B

4个

C

6个

D5个

（10）设集合A={-1,1}, B={x|x2-2ax+b=0}, 若B, 且BA, 求a, b的值

提高训练：

⑴已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且XA,XBX，试求p、q；

（2）集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若AB={-2，0，1}，求p、q

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(3)某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数。

课后练习：

1．(2010·福建文，1)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x>2}，则A∩B等于(

) A．{x|2

B．{x|x≥1} C．{x|2≤x<3} D．{x|x>2} 2．(09·山东文)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(

) A．0

B．1 C．2

D．4 3．(2010·辽宁理，1)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(

) A．{1,3}

3．如图，阴影部分用集合A、B、U表示为(

) A．(∁UA)∩B B．(∁UA)∪(∁UB) C．A∩(∁UB) D．A∪(∁UB) 4．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，________. 5．如果U＝{x|x是自然数}，A＝{x|x是正奇数}，B＝{x|x是5的倍数}，则B∩∁UA＝________. 6．已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5} (1)若A∩B＝∅，求a的取值范围．

(2)若A∪B＝B，a的取值范围又如何？

B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9} x}，则x＝爱，赋予学习的灵感！ 第 15 页

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