2.1.1 函数的概念和图象教学设计和教学实录

第二章

函数概念与基本初等函数（Ⅰ）

一、知识结构

性质

定

义

函数

解析式、图象

二、重点难点

听课随笔

指数函数

对数函数

幂函数

表示（解析式、图象）

性质

应用

第一课时

函数的概念和图象（1）

【学习导航】 重点：

函数及其表示方法；函数的单调性、奇偶性，几类特殊函数的性质及应用；

难点：

运用函数解决问题：建立数学模型。

例1：判断下列对应是否为函数：

（1）xy,其中y为不大于x的最大整数，xR,yZ;

知识网络

函数

函数定义

函数的定义域

函数的值域

（2）xy,y2x,xN,yR；

（3）xyx，x{x|0x6}，

学习要求

1．理解函数概念；

2．了解构成函数的三个要素；

3．会求一些简单函数的定义域与值域；

4．培养理解抽象概念的能力．

y{y|0y3}；

1（4）xyx，x{x|0x6}，

6y{y|0y3}．

【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合A中的x即可．

【解】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是。

点评:判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：“非空”、“每一个”、“惟一”。

例2：求下列函数的定义域：

自学评价

1．

函数的定义：设A,B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为yf(x),xA．其中输入值x组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域，所有输出值y的取值集合叫做函数x4

；x2（2）1xx31； 1（3）f(x)x1．

2x（1）f(x)【解】（1）(4,2)(2,)；（2）[3,1]；（3）[1,2)

yf(x)的值域。

(2,)。

【精典范例】

点评: 求函数yf(x)的定义域时通常有以下几种情况：

①如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

②如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

③如果f(x)为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；

④如果f(x)是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。

例3：比较下列两个函数的定义域与值域：

（1）f(x)=(x+2)2+1，x∈{－1,0,1,2,3}；

（2）f(x)(x1)21．

【解】（1）函数的定义域为{1,0,1,2,3}

∴函数值域为{2,5,10,17,26}；

（2）函数的定义域为R，∵(x1)211，

∴函数值域为[1,)。

点评:对应法则相同的函数，不一定是相同的函数。

追踪训练一

1.

对于集合A{x|0x，6B{y|0y3}，有下列从A到B的三个对应：①xy12x

；②xy13x；③xyx；其中是从A到B的函数的对应的序号为

①

②

；

2.

函数f(x)3|x1|2的定义域为

(,3)(3,1)(1,；

3.

函数f(x)=x－1（xz且x[1,4]）的值域为{2,1,0,1,2,3}．

【选修延伸】

一、求函数值

例4: 已知函数f(x)|x1|1的定义域为

{2,1,0,1,2,3,4}，求f(1,)(f(1)f的值．

分析：求f(f(1))的值，即当xf(1)时，求f(x)的值。

【解】f(1)|11|11；

f(f(1))f(1)|11|11

二．求函数的定义域

例5．求函数f(x)111的定义域。

x【解】由11x0，得x1x0，∴x1且x0，即函数的定义域为(,1)(1,。

思维点拨

求函数定义域，不能先化简函数表达式，否则容易出错。如例5，若先化简得f(x)xx1,此时求得的定义域为{x|x1}显然是错误的．

追踪训练二

1．若f(x)(x1)21,x{1,0,1,2,3}，则

f(f(0)) 2 ；

2．函数f(x)1x2x21的定义域为

{1,1}；

3．已知函数yf(x)的定义域为[－2，3]，则函数f(x1)的定义域为[－3，2]．

学生质疑

教师释疑