平方差公式的应用板书设计

第一章

整式的乘除

5 平方差公式（第2课时）

永登县第七中学 周厚芳

一、

学生起点分析

学生的知识技能基础：学生通过上一节课的学习，已经经历了探索和推导平方差公式的过程，并能运用公式进行简单的计算，同时前面有理数运算、整式运算等基础知识以及基本技能的学习，为本节课的学习奠定了知识技能基础. 学生活动经验基础：学生在前面的学习中，已经经历了探索和应用平方差公式的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力，具有了一定自主探究意识以及与同伴合作交流的能力.前期数形结合思想的渗透，为本节课的探究活动做好了知识、经验准备.

二、

教学任务分析

学生在上节课经历了平方差公式的探索和推导过程，并能够运用平方差公式进行简单计算.在此基础上，教材提出本节课的学习任务，是对上一节课平方差公式的进一步巩固，并拓展到有关数的简便运算当中去.本节课又通过拼图游戏，对平方差公式进行几何意义解释，目的是使学生对平方差公式有一个直观的认识，进一步体会数形结合的数学思想。

教学目标：

1.知识与技能：（1）进一步使学生掌握平方差公式，并能运用平方差公式进行简单的运算。（2）会用面积法验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识进行简单的混合运算。

2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，通过探索规律，归纳出利用平方差公式，解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、应用能力. 3.情感与态度：

了解平方差公式的几何背景，培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心. 教学重点：灵活运用平方差公式简化运算。

教学难点：通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景

三、教学过程设计

（一）自主学习交流展示

活动内容：回顾上节课平方差公式

1.

2.

3.

4.

5.

平方差公式用字母怎样表示？

语言又怎样叙述呢？

这个公式适用于怎样的两个多项式相乘？

公式中的a,b可以表示什么？

上节课是用什么验证平方差公式的?

活动目的：上节课直接利用多项式乘以多项式法则，推导得到平方差公式，设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，引入本节课的平方差公式的几何解释，并为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备. 实际教学效果：采用提问的形式进行复习，做好知识准备，从而为本节课平方差公式的应用做好准备. （二）合作探究释疑点拨

活动内容：

如图1-3，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. （1）请表示图1-3中阴影部分的面积

小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图1-4），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？

比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？

b 图1-3 a a b 图1-4

活动目的：本环节通过几何拼图，给平方差公式一个几何背景，使学生在拼图和计算过程中发现规律，验证自己的猜想，使学生对平方差公式，有一个直观感受和认识,避免在公式的学习过程中单纯依赖背诵的弊病. 通过拼图操作，让学生经历观察、交流的过程，倡导思维和算法多样化，让学生在图形直观分析的基础上，从代数角度推导公式，培养学生的逻辑推理能力，渗透了转化的数学思想。

实际教学效果：为了引领学生思路，教材采用问题串形式，逐层深入，问题提出后，学生能够主动地去寻找解决问题的方法，根据图形的拼接原理，利用阴影部分面积相等的思想，得到等量关系，进而化简得到平方差公式，情境的设计，为平方差公式赋予几何背景，渗透数形结合的思想，进一步验证平方差公式存在的合理性.

活动内容：

（1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特点

7×9=

11×13=

79×81=

8×8=

12×12=

80×80= （2）从以上过程中，你发现了什么规律？

（3）请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

活动目的：通过特例进行归纳，让学生经历由特殊到一般的探究过程，最后利用符号表示出一般规律.这个过程包括了符号表示和符号运算，学生通过（1）中各组算式的特点，提出猜想，并且可以利用字母表示出这一猜想（n-1）（n+1）=n2-1，然后利用平方差公式计算得到（n-1）（n+1）=n2-1，从而验证猜想的正确性.这一过程的经历，让学生体会到符号运算，在验证猜想时的重要作用，也为例1数的简便运算做好知识的铺垫.

实际教学效果：学生能够利用小学时已有的数的计算经验，得到两个算式值差1的规律，并利用字母表示数的知识，将这一发现进行符号表示，进而再利用上节课平方差公式的知识，对猜想进行证明，从而体会到平方差公式在数的计算中的简便性.整个环节循序渐进，符合学生的认知规律. 活动内容：

例1 用平方差公式进行计算：

103×97 ；

巩固练习：

计算：

（1）118×122；

（2）10.1x9.9

(3)7162

33活动目的：运用平方差公式，把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，体现了转化的思想和数式通性，让学生体会到，利用公式可以进行一些有关于数的简便运算，目的是进一步巩固平方差公式，体会符号运算对于解决问题的作用．

实际教学效果：学生在已有的知识的基础上，灵活运用平方差公式，解决生活中常见的数的计算类问题，体会数学的现实意义，并在运用平方差公式过程中，进一步体会平方差公式在简化数的计算过程中的价值.

活动内容：

例2

计算：

（1）a2（a+b）（a-b）+a2b2

；

（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）

巩固练习：

计算：

11（1）（x+2y）（x-2y）+（x+1）（x－1）；

（2）x（x－1）－(x)(x)

33

活动目的：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用.这一环节是巩固提高的环节，为了培养学生基本的运算技能，设计必要练习，使学生准确的运用平方差公式，进行简单的混合运算，并能明白每一步计算的算理，提高综合运用公式的能力.

实际教学效果：学生能根据平方差公式的形式，在混合运算中，灵活运用公式简化运算，但部分学生出现知识混淆，还有个别学生出现符号错等问题，教师在引领计算过程中，应该抓好落实，力求让所有学生明白每一步的算理，做到步步有据，尽可能避开粗心错.

（三）训练检测巩固提高

小练习：

（1）ab10,ab5,求ab的值。22(2)计算2001×1999

－20002 A

-1

B

1

C

0

D

2

（四）要点梳理交流收获

谈谈你这节课有什么收获？

1.平方差公式：

1）公示的符号表示：（a+b）（a-b）=a2-b2 ; 2）公式的几何解释：

b 2．运用—简化运算

a a b

图1-4 3．整式混合运算的注意事项：

1）运算顺序 2）运算律

3）加括号

4）结果化为最简

活动目的：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中遇到的挫折以及积累的经验，构建自己的知识体系，同时提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识的目的.

布置作业

教材习题1.10 四教学设计反思

1、本节课虽然算不上课本中的难点，但却是整式一章中的重点，它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算.学生需要熟练掌握公式的适用范围和使用方法，以提高运算速度.授课过程中，应注重让学生总结公式的特点，说明运用公式过程中容易出现的问题和特别注意的细节，然后再通过逐层深入的练***方差公式的应用.

2、教学中，教师应该有意识地培养学生的推理能力，鼓励学生通过合情推理进行大胆猜测，然后利用符号间的运算验证猜测或解决问题，同时鼓励学生有条理的表达自己的思考过程. 3、符号运算对于数学而言必不可少，培养学生的基本运算技能，是本节课一个重要的目标，因此本设计中适当、分层的提供一些必要的训练，使学生能够准确地进行基本的符号运算，并能说明每一步的算理，培养学生的基本运算能力和条理的表达能力.

4、关注学生从具体问题情境中抽象出数量关系，以及借助情境进行公式推导的过程，关注学生的参与度，及时评价，同时注意评价方式多元化，使每个学生都能在数学学习中，收获成功体验，从而培养学习数学的兴趣和信心.