同底数幂的除法教学设计和教学实录

1

同底数幂的乘法

1.经历探索同底数幂乘法运算性质的过程,进一步体会幂的运算的意义,发展运算能力和有条理的表达能力.

2.了解同底数幂乘法的运算性质,并能解决一些实际问题.

1.在探索性质的过程中,让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的思维过程.

2.在推理和运用的过程中,让学生理解“由特殊到一般”的思维方法.

1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品质.

2.引导学生自主探索,体验成功的快乐,增强对数学学习的兴趣,在轻松、和谐、有序的教学氛围中,培养学生健全的个性.

【重点】

同底数幂的乘法法则及其灵活应用.

【难点】

理解同底数幂的乘法法则及运算性质.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P2~3.

导入一:

北京奥运会的很多建筑都做了节能设计.据统计,奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤?

[过渡语]

我们可以列出式子108×105,那么它到底等于多少呢?像这样的问题,就是我们要学习的同底数幂的乘法.(揭示课题) [设计意图]

由生活实例的计算入手,直接引入本课的学习内容,可以增强学生在生活中学习数学的意识.

导入二:

上学期我们学习了有理数的乘方,同学们回顾一下,什么样的运算叫做乘方?乘方的结果叫做什么?幂的意义是什么?举例说明.

[设计意图]

通过此活动,让学生回忆幂与乘法之间的关系,即an=

,从而为下一步探索同底数幂

个

的乘法法则提供了依据,培养学生知识迁移的能力.

导入三:

太阳光照射到地球表面所需要的时间约是5×102 s,光在真空中的速度约是3×108 m/s,地球与太阳之间的距离约是多少?

[过渡语]

由路程=速度×时间,可知地球与太阳之间的距离是(5×102×3×108) m,这个乘积等于多少呢?如何去计算? [设计意图]

选用生活中常识性的事例,更有利于激发学生的学习欲望,也可以帮助学生感知数学与生活的密切联系.

[过渡语]

两个底数相同的幂相乘,结果会是怎么样的呢?让我们一起探索同底数幂的乘法.

探究活动1

同底数幂的乘法法则

思路一

活动1:学生独立完成下列题目

(1)求n个相同因数积的运算叫做

,乘方的结果叫做

,n个a相乘写成乘方的形式为

,其中a叫

,n叫

,an读作

.

(2)x3表示

个

相乘,把x3写成乘法的形式为x3=

.

(3)x3,x5,x,x2的指数相同吗?它们的底数相同吗? [设计意图]

让学生回顾乘方的相关知识,为同底数幂的乘法的学习做铺垫.

活动2:探究a3×a2

(1)指导学生根据乘方的意义可得: 103×102=(10×10×10)×(10×10) =10×10×10×10×10

=105.

[设计意图]

让学生感受学习同底数幂的乘法的必要性,并通过有步骤、有依据的计算,为探索同底数幂乘法的运算性质做好知识和方法的铺垫.

(2)学生完成填空.

①43×42=

=

=

.

②a3×a2=

=

=

.

【师生活动】

学生独立完成计算,小组成员互相检查,一位同学在黑板上板书,师生共同分析板书结果.如果学生有困难,教师可以引导学生回顾问题(1)的解答过程,再进行计算.

[设计意图]

(2)中两个特殊的算式具有代表性和层次性,其中算式①底数和指数都是整数,算式②底数为字母,指数为整数.这两个算式和(1)中的算式为抽象概括出一般的结论奠定基础,让学生在每个算式的计算过程中进一步明确算理和算法,进而得出正确结果.

活动3:同底数幂的乘法法则

请同学们观察下列各式等号左右两边底数与指数分别有什么关系.

103×102=103+2=105; 43×42=43+2=45; a3×a2=a3+2=a5.

猜想:对于任意底数a,am×an=

(m,n都是正整数).

(学生小组讨论,能说出结果即可,教师引导推导过程) am·an=

·

个

个

=

个

=am+n.

结论:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

[设计意图]

让学生在观察、比较、抽象、概括中总结出同底数幂的乘法运算的本质特征,并猜想出其性质:am·an=am+n(m,n都是正整数).由此得到同底数幂乘法的性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

思路二

活动1:猜想结果

(1)102×103; (2)a2×a3;

(3)10m×10n(m,n都是正整数).

同学们猜想一下,它们的运算结果各是什么? [处理方式]

让同学们发表不同看法.

猜想1:(1)的结果是105,(2)的结果是a5,(3)的结果是10m+n.

猜想2:(1)的结果是106,(2)的结果是a6,(3)的结果是10mn.

[设计意图]

在法则的推导过程中,采用了让学生猜想的方式,引起学生的争论,激发了学生进一步探求的欲望,培养学生大胆猜想的数学品质.

活动2:验证猜想,获取正确的结论

[处理方式]

听取学生猜想后老师总结.

猜想1的结论是正确的.因为102表示两个10相乘,103表示三个10相乘,那么102×103就表示五个10相乘,所以结果应该是105;a2表示两个a相乘,a3表示三个a相乘,a2×a3就表示5个a相乘,结果为a5;10m表示m个10相乘,10n表示n个10相乘,10m×10n就表示(m+n)个10相乘,结果为10m+n.

教师利用多媒体课件展示推理过程: 102×103=(10×10)×(10×10×10) =10×10×10×10×10

=105; a2×a3=(a×a)×(a×a×a) =a×a×a×a×a

=a5; 10m×10n

=

×

个

个 =10m+n.

活动3:推导同底数幂的乘法法则

根据上述计算可知(m,n都是正整数): (1)2m×2n=

; (2)

×

=

; (3)(- 3)m×(- 3)n=

; (4)a4×a5=

.

分析:以上四个算式有以下两个特点:每个算式的底数都相同;每个算式的指数都是正整数.通过这四个算式,可把底数和指数都抽象成用字母去表示.

底数和指数都变成一般的字母时,即:

am·an=

·

个

个

=

个

=am+n.

结论:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

字母表示:am·an=am+n(m,n都是正整数).

提醒学生注意:等式左边是积的形式,右边的指数是和的形式.

[设计意图]

探求新知的过程让学生充分发挥个人的主体作用,使学生初步理解“由特殊到一般”的认知规律,体会数学思想方法,接受数学文化的熏陶,激发学生的探索创新精神.学生通过相互之间的合作,归纳出法则,发展学生合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力.

[知识拓展]

三个或三个以上的同底数幂相乘的运算.(m,n,p都是正整数) am·an·ap=

·

·

个

个

个

=

个

=am+n+p.

或(am·an)·ap=am+n·ap=am+n+p.

[设计意图]

本环节主要是让学生通过自己的探究,使法则得到了完善、推广,解决了心中的疑惑,进一步理解法则.

探究活动2

同底数幂乘法法则的应用

(教材例1)计算.

(1)(- 3)7×(- 3)6; (2)

×; (3)- x3·x5; (4)b2m·b2m+1.

【师生活动】

让4名学生板演,其余学生先独立完成,然后小组互相检查,核对过程与结果,教师巡视,及时发现学生在解题过程中出现的问题,然后共同纠错.教师最后强调书写要规范,如:当底数为负数或分数时一定要加括号,并且第(1)小题的结果也可以写为- 313,第(3)题的结果容易错写为(- x)8.

解:(1)(- 3)7×(- 3)6=(- 3)7+6=(- 3)13.

(2)

×=

=

.

(3)- x3·x5=- x3+5=- x8.

(4)b2m·b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.

(教材例2)光在真空中的速度约为3×108 m/s,太阳光照射到地球上大约需要5×102 s.地球距离太阳大约有多远? 【师生活动】

学生认真读题,充分思考分析,一名学生进行板演,其余学生先独立完成,然后同桌互相检查,核对过程与结果,教师巡视,及时发现学生在解题过程中出现的问题.学生完成后教师进行点评,强调结果的书写要符合科学记数法.

解:3×108×5×102

=15×1010

=1.5×1011(m).

地球距离太阳大约有1.5×1011 m.

[设计意图]

以教材中例题为落脚点,让学生学会应用所学知识解决问题,以达到巩固新知的目的.同时让学生感受大数,发展数感,提高对问题的分析、解决能力,使自己在不知不觉中进步.

已知am=4,an=3,求下列各式的值.

(1)am+n; (2)a3m+n.

〔解析〕

同底数幂的乘法法则是可以逆用的,也可以把am+n=am·an(m,n都是正整数)当成公式用.

解:(1)am+n=am·an=4×3=12.

(2)a3m+n=am·am·am·an=4×4×4×3=192.

[知识拓展]

同底数幂的乘法法则的逆用:同底数幂的乘法法则用字母表示为am·an=am+n,其中m,n均为正整数,将公式倒过来就是am+n=am·an,在解决有关问题时,公式的逆用会起到事半功倍的效果.

(1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

(2)理解法则时一定要注意前提条件是幂的底数要相同,是乘法运算而不是加法运算.

(3)公式中的m,n都是正整数.

(4)运算法则可以推广到多个同底数幂的乘法运算,以三个同底数幂相乘为例,用字母表示为mna·a·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数).

1.填空.

(1)若am·a4=a20,则m=

; (2)若102·10m=102013,则m=

.

解析:(1)由am·an=am+n,可知m+4=20,所以m=16.(2)由am·an=am+n可知m+2=2013,则m=2011.

答案:(1)16

(2)2011 2.计算.

(1)y·y2·y3; (2)ym·ym+1; (3)ym- 1·ym+1·y;

(4)- b2·(- b)2·(- b)3.

解析:运用同底数幂的乘法法则计算,注意不要忽略指数为1的特殊情况.运算的过程中必须注意同底数这个前提,注意确定积的符号.

解:(1)y·y2·y3=y1+2+3=y6.

(2)ym·ym+1=ym+m+1=y2m+1.

(3)ym- 1·ym+1·y=ym- 1+m+1+1=y2m+1.

(4)- b2·(- b)2·(- b)3=- b2·(- b)5

=b2·b5=b7.

3.某种计算机每秒钟可以进行3×108次运算,那么这台计算机3×102秒可以进行多少次运算? 解:3×108×3×102=9×1010(次).

故3×102秒可以进行9×1010次运算.

4.若am=2,an=5,求am+n的值.

解析:注意同底数幂乘法法则的逆用.

解:am+n=am·an=2×5=10.

1

同底数幂的乘法

探究活动1

同底数幂的乘法法则

探究活动2

同底数幂乘法法则的应用

例1 例2 例3

一、教材作业

【必做题】

教材第4页习题1.1知识技能第1,2题.

【选做题】

教材第4页习题1.1问题解决第4,5题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列计算正确的是

(

) A.y3·y5=y15

B.y2+y3=y5

C.y2+y2=2y4

D.y3·y5=y8

2.下列各式中,结果为(a+b)3的是

(

) A.a3+b3

B.(a+b)(a2+b2) C.(a+b)(a+b)2

D.a+b(a+b)2

3.下列各式中,不能用同底数幂的乘法法则化简的是

(

) A.(a+b)(a+b)2

B.(a+b)(a- b)2

C.- (a- b)(b- a)2

D.(a+b)(a+b)3(a+b)2

4.下列计算中,错误的是

(

) A.2y4+y4=2y8

B.(- 7)5·(- 7)3·74=712

C.(- a)2·a5·a3=a10

D.(a- b)3(b- a)2=(a- b)5

【能力提升】

5.计算.

(1)- x5·x3·(- x)4; (2)(- b)2·(- b)3+b·(- b)4; (3)x3m- n·x2m- 3n·xn- m; (4)(- 2)×(- 2)2×(- 2)3×…×(- 2)100.

6.(1)已知ax=2,ay=3,求ax+y的值; (2)已知4·2a·2a+1=29,且2a+b=8,求ab的值.

【拓展探究】

7.1千克铀235释放的热量相当于2.7×106千克煤燃烧释放的热量.1吨铀235释放的热量相当于多少千克煤燃烧释放的热量? 【答案与解析】

1.D(解析:由同底数幂相乘,底数不变,指数相加可知D正确.) 2.C(解析:将a+b看成一个整体作为底数,再利用法则可以得出.) 3.B(解析:选项A和D中底数都是a+b,可以利用法则,C中a- b和b- a互为相反数,可以化为同底数幂的乘法.故选B.) 4.A(解析:B,C,D选项可以利用同底数幂的乘法法则得到,选项A不属于同底数幂的乘法,应该是合并同类项.) 5.解:(1)- x5·x3·(- x)4=- x5·x3·x4=- x12. (2)(- b)2·(- b)3+b·(- b)4=b2·(- b3)+b5=- b5+b5=0. (3)x3m- n·x2m- 3n·xn- m=x4m- 3n. (4)原式=(- 2)1+2+…+100=(- 2)5050=25050.

6.解:(1)ax+y=ax·ay=2×3=6. (2)由题意可知22a+3=29,即2a+3=9,则a=3,由2a+b=8可得b=2,故ab=32=9.

7.解:1吨=103千克,103×2.7×106=2.7×109(千克),故相当于2.7×109千克煤燃烧释放的热量.