小结教学目标

一元二次方程根的分布

一、教学目标：

知识与技能目标：通过对一元二次方程根的分布的学习，加深一元二次方程、二次函数图像与性质的认识；会利用函数知识、方法重新审视一元二次方程，从而挖掘出一元二次方程更本质的规律。掌握一元二次方程根的分布，学会利用二次函数分析一元二次方程根的分布情况，学会根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围

过程与方法目标：通过探索一元二次方程根的分布于二次函数图像之间的联系进一步培养学生观察问题、发现问题的能力和解决问题的能力，并且在此过程中加强对图像想象能力、思维能敌训练。不断提高学生的抽象概括和逻辑总结能力

情感态度与价值观目标：让学生体会二次函数乃至函数图像的丰富多彩，培养学生不断发现、探索新知的精神，渗透事物之间相互转化和理论结合实际的辩证主义观点，并通过图像的简洁美，培养教学审美意识。使学生在认识到数学源于生活的同时，体会到数学中的严谨细致之美，简洁朴实之美，和谐自然之美，从而使学生更加热爱数学，热爱生活。

二、教学重点：1.掌握一元二次方程根的分布规律

2. 学会利用二次函数分析一元二次方程根的分布情况

三、教学难点：学会根据一元二次方程根的分布求参数的范围

四、教学方法：观察法、探究法、讲练结合法、启发式教学

五、教学内容：

一元二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间的关系

Δ= b2－4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 二次函数f(x)=ax2+bx+c (a>0) 的图象

有相等两实

根x1＝ x2 ＝－b/2a

xx2

Φ

没有实根

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集 一元二次不等式x10)

的解集 例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围. （1）

两个正根

有相异两

实根x1,x2 (x1

R

x≠－b/2a

Φ

解：(方法一常利用韦达定理和判别式来解)

(m3)24m0

3m0m0

{m|0

解.设f(x)=x2+(m-3)x+m则:

结论

方程有两个正根

代数方法

b24ac0bx1x20acxx012a

方程两根都大于m(m=0) 几何方法

0f(m)0bm2a

例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围. （2）有两个负根

代数方法

解：法一

(m3)24m03m0m0

mm9几何方法

法二：设f(x)=x2+(m-3)x+m则

总结：方程有两个负根

代数方法

b24ac0x1x20xx012

几何方法

方程两根都小于m（m=0) 0f(m)0bm2a

例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围. （3）

两个根都小于1 解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则

(m3)24m0b3m122af(1)2m20mm9

总结：方程两根都小于m 0(x1m)(x2m)0(xm)(xm)021

方程两根都小于m

0f(m)0bm2a 例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围. （4）两根都大于1/2 解:设f(x)=x2+(m-3)x+m (m3)24m0b3m1222a16m5f()042

5mm16

总结：方程两根都大于m 0(x1m)(x2m)0(xm)(xm)021

方程两根都大于m 0f(m)0bm2a

例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围. （5）

一个根大于1，一个根小于1 解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则

f(1)=2m-2 <0得

mm1

总结：方程一根大于m另一根小于m f(m)0

方程一个根大于m另一根小于m (x1m)(x2m)0

例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围. （6）

两个根都在（0 , 2）内

解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则

(m3)24m0

03m22f(0)m0f(2)3m20

m23

m1

总结：方程两根都大于m且都小于n即

两个根都在（m , n0f(m)0f(n)0mb2an

）内

一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布一般情况两个根都小于K两个根都大于Kyykx一个根小于K，一个根大于Kykkxx0bk2af(k)00bk2af(k)0f(k)<0

一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布一般情况两个根都在（k1.k2)内y两个根有且仅有一个在（k1.k2)内yx1∈(m,n)xy∈(p,q)2k1kx2k1k2xmnpqx0bk2k12af(k1)0f(k2)0f(k )f(k )<012ffff(m)0(n)0(p)0(q)0

六、小结：

突现函数图象，研究二次方程ax2+bx+c=0的根的分布问题：

①二次项系数a的符号；

②判别式的符号；

③区间端点函数值的正负；

④对称轴x=－b/2a与区间端点的关系

注：方程、不等式问题等价转化图形问题

等价转化简单不等式组

七、练习

例1 若关于x的方程x2－5x＋m＝0有两个正根，则实数m的取值范围是___________．

例2.若关于x的二次方程(k-2)x2-(3k+6)x+6k＝0有两个负根，则实数k的取值范围是_________．

练习:x2+（m-3)x+m=0 求m的范围

（1）

两个根有且仅有一个在（0 , 2）内

（2)一个根在（-2 ,0）内,另一个根在（1 , 3）内

(3）

一个正根，一个负根且正根绝对值较大 （4）一个根小于2，一个根大于4 （5）一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（0 , 4）内

八、课后作业：

1.已知关于x的一元二次方程 2ax2－2x－3a＋2＝0的一个根大于1，另一个根在0与1之间，求a的取值范围．

2．已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m 的取值范围. 3.已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的对应方程的根（零点）都在区间(0,1)上，求实数m的取值范围。

4.已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．