实习作业教学设计和教学实录

1.3.1 单调性与最大（小）值

1、教学分析

在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了. 由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解. 2、教学目标

（1）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质. （2）理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力. （3）通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识. （4）能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性. 3、教学重难点

教学重点:函数的单调性和最值. 教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成. 4、课时安排

2课时

5、教学过程（第1课时 函数的单调性）

1、函数的单调性

1．

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y y y

-1

○1

随x的增大，y的值有什么变化？

○2

能否看出函数的最大、最小值？

○3

函数图象是否具有某种对称性？

2．

画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1．f(x) = x ○1

从左至右图象上升还是下降 ? 1 -1 1 x -1 1 -1 1 x -1 1 -1 1 x y 1 -1 -1 1 x ○2

在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．

2．f(x) = -2x+1 ○1

从左至右图象上升还是下降? ○2

在区间

____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着

________ ．

3．f(x) = x2

○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

○2

在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

y 1 -1 -1 1 y 1 -1 -1 1 x x 结论：不同函数的图像变化趋势不同，同一个函数在不同区间的变化趋势也不同。

增函数的定义

一般地，设函数yf(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．

推论：f(x)在区间D上是增函数，则x1x2与f(x1)f(x2)同号(x1x2)

(x1x2)(f(x1)f(x2))0x1x20

f(x1)f(x2)思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

减函数的定义

一般地，设函数yf(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．

推论：f(x)在区间D上是增函数，则x1x2与f(x1)f(x2)异号(x1x2)

(x1x2)(f(x1)f(x2))0函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

课本例题讲解

例：证明函数f(x)x在区间(0,)上增函数。

归纳：定义法证明单调性的步骤（设元、作差、变形、断号、定论）

练习：证明函数f(x)x2x1x20

f(x1)f(x2)1在（1，+∞）上为增函数。

x

变式训练

判断下列说法是否正确：

①已知f(x)=1,因为f(-1)

注意：

○1

判断函数的单调性时，两个自变量x1,x2是定义域内任意的，不能取两个特殊值。

○2函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

③单调区间不能用并集，若有多个则用“与”“和”连接。

④有的函数没有单调区间，例如：y2,xR思考：1、画出反比例函数y

y2x,x{1,2,3}

1的图象．

x○1

这个函数的定义域是什么？

○2

它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

2、打钩函数f(x)xa(a0)在(,a)与(a,)上单调递增，在x(a,0)与(0,a)上单调递减。

2、单调性的简单应用

例1：已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且f(1m)f(m),求m的取值范围.

例2:已知函数f(x)x2(a1)x2

(1)

若函数f(x)的递减区间为(,4]，求a的取值范围；

(2)

若函数f(x)在(,4]上单调递减，求a的取值范围。

例3：已知函数f(x)2xmx3,x(2,)时为增函数，当x(,2)时为减函数，求f(1)。

22

3、函数的最大（小）值

思考：画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，说明它能体现函数的什么特征？

①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x∈［-1,2］；

③f(x)=x2+2x+1;④f(x)=x2+2x+1,x∈［-2,2］.由此引出课题：函数的最值. 最大值的定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

（2）存在x0∈I，使得f(x0)= M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值．

几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义．（学生活动）

最小值的定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)M；

（2）存在x0∈I，使得f(x0)= M

那么，称M是函数y=f(x)的最小值．

几何意义：函数图像上最低点的纵坐标。

注意：

1、○1

函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)= M；

例：y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大或最小值

○2

函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

2、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

○1

利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○2

利用图象求函数的最大（小）值

○3

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

结论：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．

巩固练习：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，

如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出

函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

25 y例2．（教材P37例4）求函数解：设2≤x1

f(x1)-f(x2)=2x1在区间[2，6]上的最大值和最小值．

2[(x21)(x11)]2(x2x1)22==

x11x21(x11)(x21)(x11)(x21)∵2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0. 2在区间［2，6］上是减函数. x12所以，当x=2时，函数y=在区间［2，6］上取得最大值f(2)=2；

x122当x=6时，函数y=在区间［2，6］上取得最小值f(6)= . x15∴f(x1)>f(x2),即函数y=

变式训练

1.求函数y=x2-2x(x∈［-3,2］)的最值。 答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1. 2.画出函数y=－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值. 解：函数图象如图1-3-1-13所示. 图1-3-1-13 由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高点是(±1,4)，

故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；函数在［－1，0］，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4. 3.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.

2x,x1,1x1,其图象如图1-3-1-16所示. 解法一：（图象法）y＝|x+1|+|x-1|=2,2x,x1,图1-3-1-16 由图象得，函数的最小值是2，无最大值. 解法二：（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±1的对应点A、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，

图1-3-1-17 观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.

4、函数值域的求法

值域是由函数的定义域及对应关系所决定的。

求函数的值域目前有以下几种方法：

（1）

观察法（应用于比较简单的函数）

例1：求下列函数的值域

对于函数f(x)，如果集合A是定义域，那么集合B={f(x)xA}是函数的值域，函数的(1)f(x)2x1,x{1,2,3}(2)f(x)x1

1(3)f(x)2x答案：(1){1,3,5}(2)[1,)(3)(,2)(2,)

（2）

图像法（主要应用于二次函数的值域）

例2：求下列函数的值域

(1)f(x)x24x6(2)f(x)x24x6,x[1,5)x2x(3)f(x)54xx(4)f(x)2xx11答案：(1)[2,)(2)[2,11)(3)[0,3](4)[,1)

32

(3)换元法（主要应用于解析式中只含有一个根式的函数）

例3：求下列函数的值域

(1)f(x)x2x1(2)f(x)2xx1

115答案：(1)[,)(2)[,)28

（4）单调性法(先证明单调性再求值域)

例4：求函数y=3x（x≥0）的最大值. 12x3x解析:可证明函数y=（x≥0）是减函数，

12x3x∴函数y=（x≥0）的最大值是f(0)=3. 12x

练习：

1、

求下列函数的值域

(1)f(x)x22x,x[1,2](2)f(x)x41(3)f(x)2x12

答案：(1)[1,3](2)[1,)(3)[2,)

2、求函数f(x)2x13x的值域。 答案：(,2]

3、求下列函数的值域:(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);(2)y=x4+1. (1)解：(图象法)如图所示: 观察图象知函数的值域是［-1,3］. (2) (观察法)函数的定义域是R,则x4≥0,有x4+1≥1,即函数y=x4+1的值域是［1,+∞).

4、定义在R上的函数y=f(x)的值域为[a,b],则y=f(x+1)的值域为( )[a,b] 5、函数f(x)=

1(x∈R)的值域是( ) (0,1] 21x

基本初等函数的最值

1.正比例函数：y=kx(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间［a,b］上存在最值，当k>0时，函数y=kx的最大值为f(b)＝kb，最小值为f(a)＝ka；当k<0时，函数y=kx的最大值为f(a)＝ka，最小值为f(b)＝kb. k(k≠0)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在闭区间［a,b］（ab>0）上xkkk存在最值，当k>0时，函数y=的最大值为f(a)＝，最小值为f(b)＝；当k<0时，函xabkkk数y=的最大值为f(b)＝，最小值为f(a)＝. xba2.反比例函数：y=3.一次函数：y=kx+b(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间［m,n］上存在最值，当k>0时，函数y=kx+b的最大值为f(n)=kn+b，最小值为f(m)＝km+b；当k<0时，函数y=kx+b的最大值为f(m)＝km+b，最小值为f(n)＝kn+b. 4.二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0):

b24acb当a>0时，函数y=ax+bx+c在定义域R上有最小值f()=，无最大值；

2a4ab24acb2当a<0时，函数y=ax+bx+c在定义域R上有最大值f()=，无最小值. 2a4a2二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最值可能出现以下三种情况：

b＜p，则f(x)在区间［p，q］上是增函数，则f(x)min=f(p)，f(x)max=f(q). 2abb(2)若p≤≤q，则f(x)min=f(),此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：

2a2abpq①当p≤＜时，则f(x)max=f(q); 2a2pqb②当＝时，则f(x)max=f(p)＝f(q); 22apqb③当＜＜q时，则f(x)max=f(p). 22ab(3)若≥q，则f(x)在区间［p，q］上是减函数，则f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p). 2ab由此可见,当∈［p,q］时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最大值2abb是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f()；当［p,q］时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a2a2a(1)若＞0)在闭区间［p，q］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.

6、教学反思

“函数单调性”是一个重要的数学概念，本节课致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材. 本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔. 在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入. 求函数最值的方法是本节的一个难点，教学中应适当补充，多以例题为主，深化练习。