复习参考题课堂实录【3】

指数函数和对数函数

第一节

指数函数

A组

－－1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a>1，b<0，且ab＋ab＝22，则ab－ab的值等于________．

－－－－解析：∵a>1，b<0，∴01.又∵(ab＋ab)2＝a2b＋a2b＋2＝8，∴a2b＋a2b＝－－－6，∴(ab－ab)2＝a2b＋a2b－2＝4，∴ab－ab＝－2.答案：－2 2．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________. 解析：由图象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，∴a＝3，则f(3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－3 1－23．函数y＝()2xx的值域是________．

2解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，

1－211∴()2xx≥.答案：[，＋∞)

2224．(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1，+∞)

5．(原创题)若函数f(x)＝a－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．

01x20解析：由题意知a－1＝0无解或a－1＝0⇒a＝3.答案：3 a0－1＝2a2－1＝2－2x＋b6．已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．(1)求a，b的值；

2＋a(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

－1＋b解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1. 2＋a1－＋1x2－2＋1－2＋1从而有f(x)＝x＋1.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. 2＋a4＋a1＋a－2x＋111(2)法一：由(1)知f(x)＝x＋1＝－＋x，

22＋12＋2由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0⇔f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．

因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k. 1即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 3

－2x＋1－2t－2t＋1－22tk＋1法二：由(1)知f(x)＝x＋1，又由题设条件得t22t＋1＋2－＋<0 2＋22－＋222tk1＋2即(22tk1＋2)(－2t2t＋1)＋(2t2t1＋2)(－22tk＋1)<0 2－－整理得23t2tk>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0 ＋＋22－2－2－2－2－1上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 3B组

1．如果函数f(x)＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．

①00

②0

③a>1且b<0

④a>1且b>0 解析：当0

－2．(2010年保定模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．

解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，所以f(x)在[a，＋∞)上为减函数，又f(x)，g(x)a≤1都在[1,2]上为减函数，所以需⇒013．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f (x)＝ax·g(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；f(1)f(－1)5若＋＝，则a等于________．

g(1)g(－1)2f(x)f(1)f(－1)551－解析：由f(x)＝ax·g(x)得＝ax，所以＋＝⇒a＋a1＝，解得a＝2或.答案：g(x)g(1)g(－1)22212或

2－4．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，其反函数为f1(x)．若f(2)＝9，则－1f1()＋f(1)的值是________．

31解析：因为f(2)＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，则f(x)＝3x＝，∴x＝－1，

3－1－1故f1()＝－1.又f(1)＝3，所以f1()＋f(1)＝2.答案：2 3315．(2010年山东青岛质检)已知f(x)＝()x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函3数为g(x)，则g(x)的表达式为________．

1解析：设y＝g(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)＝()x31－－－上，∴y＝()2x＝3x2.答案：y＝3x2(x∈R) 3－ex＋ex6．(2009年高考山东卷改编)函数y＝x－x的图象大致为________．

e－e

－

xe＋ee＋e解析：∵f(－x)＝－xx＝－x－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④. e－ee－e－ex＋exe2x＋1e2x－1＋22又∵y＝x－x＝2x＝2x＝1＋2x在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排e－ee－1e－1e－1－xxx

除②、③.答案：①

17．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()x；当x<4时，f(x)＝f(x2＋1)，则f(2＋log23)＝________. 解析：∵2<3<4＝22，∴1

22424248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定f(x)，f(x)≤K，1－义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为2K，

f(x)>K.

________．

2，x≥1或x≤－1，－|x|1解析：由f(x)＝2≤得x≥1或x≤－1，∴fK(x)＝1

22，－1

－|x|

解析：函数y＝2的图象如图．

当a＝－4时，0≤b≤4，

当b＝4时，－4≤a≤0，答案：②

10．(2010年宁夏银川模拟)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a的值．

2xxx2解：f(x)＝a＋2a－1＝(a＋1)－2，∵x∈[－1,1]，

11(1)当0

aa111∴(＋1)2－2＝14，∴＝3，∴a＝. aa31(2)当a>1时，≤ax≤a，∴当ax＝a时，f(x)取得最大值．

a1∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.综上可知，实数a的值为或3. 3－211．已知函数f(x)＝x－a.(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，－1)对称；

2＋1(2)若f(x)≥－2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．

2解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y＝－x－a，

2＋1P(x，y)关于点M(a，－1)的对称点为P′(2a－x，－2－y)．

－－2·2xa－2－22∴－2－y＝－2＋x－a＝x－a＝，

－(x－a)＝(2a－x)－a2＋12＋11＋22＋1－2说明点P′(2a－x，－2－y)也在函数y＝x－a的图象上，由点P的任意性知，f(x)的图2＋1象关于点M(a，－1)对称．

－22－(2)由f(x)≥－2x得x－a≥－2x，则x－a≤2x，化为2xa·2x＋2x－2≥0，则有(2x)2＋2a·2x2＋12＋1|x|

－2·2a≥0在x≥a上恒成立．令g(t)＝t2＋2a·t－2·2a，则有g(t)≥0在t≥2a上恒成立．∵g(t)的对称轴在t＝0的左侧，∴g(t)在t≥2a上为增函数．

∴g(2a)≥0.∴(2a)2＋(2a)2－2·2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，则a≥0.即实数a的取值范围为a≥0. －－12．(2008年高考江苏)若f1(x)＝3|xp1|，f2(x)＝2·3|xp2|，x∈R，p1、p2为常数，且

f1(x)，f1(x)≤f2(x)，f(x)＝(1)求f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p1、p2表示)；f2(x)，f1(x)>f2(x).(2)设a，b是两个实数，满足a

2－－－－－解：(1)f(x)＝f1(x)恒成立⇔f1(x)≤f2(x)⇔3|xp1|≤2·3|xp2|⇔3|xp1||xp2|≤2 ⇔|x－p1|－|x－p2|≤log32.(*)若p1＝p2，则(*)⇔0≤log32，显然成立；若p1≠p2，记g(x)＝|x

p1－p2，xp2时，g(x)＝－2x＋p1＋p2，p2≤x≤p1，p2－p1，x>p1.所以g(x)max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32. p1－p2，xp2.

所以g(x)max＝p2－p1，故只需p2－p1≤log32. 综上所述，f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1－p2|≤log32. (2)证明：分两种情形讨论．

①当|p1－p2|≤log32时，由(1)知f(x)＝f1(x)(对所有实数x∈[a，b])，则由f(a)＝f(b)及a

a＋bb－a的长度为b－＝. 22－②当|p1－p2|>log32时，不妨设p1log32.于是，当x≤p1时，有f1(x)＝3p1x<3p2－x

－－－－当x≥p2时，f1(x)＝3xp1＝3p2p1·3xp2>3log32·3xp2＝f2(x)，从而f(x)＝f2(x)．

－－－－当p1

221显然p1

2f1(x)，p1≤x≤x0，由①易知f(x)＝

f2(x)，x0

f1(x)，a≤x≤x0，综上可知，在区间[a，b]上，f(x)＝

f2(x)，x0

故由函数f1(x)与f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为(x0－－－p1)＋(b－p2)，由于f(a)＝f(b)，即3p1a＝2·3bp2，得

p1＋p2＝a＋b＋log32.②

b－a1故由①②得(x0－p1)＋(b－p2)＝b－(p1＋p2－log32)＝. 22b－a综合①、②可知，f(x)在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为. 2

第二节

对数函数

A组

1．(2009年高考广东卷改编)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)＝________. 11解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa2＝，∴f(x)＝log1x.答案：log1x

2222．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a、b、c的大小关系是________．

1111解析：a＝log3π>1，b＝log23＝log23∈(，1)，c＝log32＝log32∈(0，)，故有a>b>c.2222答案：a>b>c

1x,x[1,0)3．若函数f(x)＝4，则f(log43)＝________. x4,x[0,1]解析：0

x＋1解析：由已知将点(4,2)代入y＝ax1，∴2＝a41，即a＝23>1. －－1

1是单调递减的，故g(x)递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④

x＋115．(原创题)已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f()＝4，则f(2010)的值为_．

2010111解析：设F(x)＝f(x)－2，即F(x)＝alog2x＋blog3x，则F()＝alog2＋blog3＝－(alog2xxxx11＋blog3x)＝－F(x)，∴F(2010)＝－F()＝－[f()－2]＝－2，

20102010即f(2010)－2＝－2，故f(2010)＝0.答案：0 6．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0且a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值；(2)若f(log2x)>f(1)且log2f(x)

解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a＝1，∴a＝2.又∵log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝2.∴f(x)＝x2－x＋2. 17∴f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－)2＋. 2417∴当log2x＝，即x＝2时，f(log2x)有最小值. 24(log2x)2－log2x＋2>2，log2x<0或log2x>1，(2)由题意知∴

22log(x－x＋2)<2.0

02，∴∴0

B组

x＋31．(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所10

有的点________．

x＋3解析：∵y＝lg＝lg(x＋3)－1，∴将y＝lgx的图象上的点向左平移3个单位长度得10到y＝lg(x＋3)的图象，再将y＝lg(x＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y＝lg(x＋3)－1的图象．

答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

2．(2010年安徽黄山质检)对于函数f(x)＝lgx定义域中任意x1，x2(x1≠x2)有如下结论：①f(x1f(x1)－f(x2)x1＋x2f(x1)＋f(x2)＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③>0；④f()<.上述结22x1－x2论中正确结论的序号是________．

解析：由运算律f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝f(x1x2)，所以②对；因为f(x)是定义域x1＋x2x1＋x2f(x1)＋f(x2)lgx1＋lgx2x1＋x2内的增函数，所以③正确；f()＝lg，＝＝lgx1x2，∵22222x1＋x2≥x1x2，且x1≠x2，∴lg>lgx1x2，所以④错误．

2答案：②③

3．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a、b，定义运算“*”如下：

a(a≤b)a*b＝，则函数f(x)＝log1(3x－2)*log2x的值域为________．

b(a>b)21解析：在同一直角坐标系中画出y＝log(3x－2)和y＝log2x两个函数的图象，

2

由图象可得

logx

(0

(x>1)24．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为________．

解析：由y＝f(x)与y＝ex互为反函数，得f(x)＝lnx，因为y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象1关于x轴对称，故有g(x)＝－lnx，g(a)＝1⇒lna＝－1，所以a＝. e1答案：

e25．已知函数f(x)满足f()＝log2x|x|，则f(x)的解析式是________．

x＋|x|211解析：由log2x|x|有意义可得x>0，所以，f()＝f()，log2x|x|＝log2x，即有f()＝xxx＋|x|1log2x，故f(x)＝log2＝－log2x.答案：f(x)＝－log2x，(x>0) x6．(2009年高考辽宁卷改编)若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝________. 解析：由题意2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2(x2－1)＝5，②所以2x1＝5－2x1，x1＝log2(5－2x1)，即2x1＝2log2(5－2x1)．令2x1＝7－2t，代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－T71)，∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2，于是2x1＝7－2x2.∴x1＋x2＝.答案：

22

7．当x∈[n，n＋1)，(n∈N)时，f(x)＝n－2，则方程f(x)＝log2x根的个数是________．

解析：当n＝0时，x∈[0,1)，f(x)＝－2；

当n＝1时，x∈[1,2)，f(x)＝－1；

当n＝2时，x∈[2,3)，f(x)＝0；

当n＝3时，x∈[3,4)，f(x)＝1；

当n＝4时，x∈[4,5)，f(x)＝2；

当n＝5时，x∈[5,6)，f(x)＝3.答案：2 8．(2010年福建厦门模拟)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________．

11－解析：由题知，a＝，则f(x)＝()x＝bx，g(x)＝－logbx，当01时，f(x)单调递减，g(x)单调递减．

答案：②

9．已知曲线C：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)与函数y＝log3x及函数y＝3x的图象分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12＋x22的值为________．

解析：∵y＝log3x与y＝3x互为反函数，所以A与B两点关于y＝x对称，所以x1＝y2，y1＝x2，∴x12＋x22＝x12＋y12＝9.答案：9 kx－110．已知函数f(x)＝lg(k∈R且k>0)．(1)求函数f(x)的定义域；

x－1(2)若函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，求k的取值范围．

1x－kkx－11解：(1)由>0及k>0得>0，即(x－)(x－1)>0. kx－1x－111①当0；②当k＝1时，x∈R且x≠1；③当k>1时，x<或x>1.综上kk1可得当0

k1当k≥1时，函数的定义域为(－∞，)∪(1，＋∞)．

k10k－11(2)∵f(x)在[10，＋∞)上是增函数，∴>0，∴k>. 1010－1kx－1k－1又f(x)＝lg＝lg(k＋)，故对任意的x1，x2，当10≤x1，x1－1x2－1x1－1x2－1x1－1x2－1x1－1x2－11∴k－1<0，∴k<1.综上可知k∈(，1)．

101＋x11．(2010年天津和平质检)已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；

1－x(2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．

1＋x解：(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．

1－x1－x(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．

1＋x

1＋x1＋x(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得00，则0<<1，解得－10且a≠1.

a－1(1)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的集合；

(2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．

a－解：令logax＝t(t∈R)，则x＝at，∴f(t)＝2(at－at)，

a－1aa－－∴f(x)＝2(ax－ax)．∵f(－x)＝2(ax－ax)＝－f(x)，

a－1a－1∴f(x)是R上的奇函数．

a－当a>1时，2>0，ax是增函数，－ax是增函数，∴f(x)是R上的增函数；

a－1a－当0

a－1综上所述，a>0且a≠1时，f(x)是R上的增函数．

(1)由f(1－m)＋f(1－m2)<0有f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)，

1－m

解得m∈(1，2)．

(2)∵f(x)是R上的增函数，∴f(x)－4也是R上的增函数，由x<2，得f(x)

∴f(x)－4

a－即2(a2－a2)－4≤0，解得2－3≤a≤2＋3，

a－1∴a的取值范围是2－3≤a≤2＋3且a≠1.

第三节

幂函数与二次函数的性质

A组

1．若a>1且01的解集为________．

解析：∵a>1,01⇔logb(x－3)>0⇔logb(x－3)>logb1⇔0

23解析：y＝x＝x2是偶函数，∴排除②、③，当x>1时，23

3xx23＝x>1，∴x>x，∴1323排除①.答案：④

3．(2010年江苏海门质检)若x∈(0,1)，则下列结论正确的是__________．

①2x>x>lgx

②2x>lgx>x

③x>2x>lgx

④lgx>x>2x

12121212

解析：∵x∈(0,1)，∴2>2>1,0

4．(2010年东北三省模拟)函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有则a＝__________. 解析：先画出f(x)＝4x－x2的图象，再将x轴下方转到x轴的上方，如图，y＝a过抛物线顶点时恰有三故得a的值为4.答案：4 1x12三个零点，的图象翻个交点，5．(原创题)方程x2＝logsin1x的实根个数是__________．

解析：在同一坐标系中分别作出函数y1＝x

和logsin1x的图象，可知只有惟一一个交点．答案：1 12y2＝

6．(2009年高考江苏卷)设a为实数，函数f(x)＝2x＋(x－a)·|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；

(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．

解：(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0.由a2≥1知a≤－1.因此，a的取值范围为(－∞，－1]．

(2)记f(x)的最小值为g(a)．则有f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a| a22a23(x－3)＋3，x>a，

①＝

2(x＋a)2－2a2，x≤a，

②(ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2. a22(ⅱ)当a<0时，f()＝a2.若x>a，则由①知f(x)≥a2；

33322若x≤a，则x＋a≤2a<0，由②知f(x)≥2a2>a2.此时g(a)＝a2. 33－2a，

a≥0，2综上，得g(a)＝2a

，

a<0.362]∪[，＋∞)时，解集为(a，＋∞)；

22a＋3－2a222(ⅱ)当a∈[－，)时，解集为[，＋∞)；

223a－3－2a2a＋3－2a262(ⅲ)当a∈(－，－)时，解集为(a，]∪[，＋∞)．

2233B组

11．(2010年江苏无锡模拟)幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－)，则满足f(x)＝27的x的值8是__________．

11－解析：设幂函数为y＝xα，图象经过点(－2，－)，则－＝(－2)α，∴α＝－3，∵x3＝881127，∴x＝.答案：

332．(2010年安徽蚌埠质检)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：

1x 1

2(3)(ⅰ)当a∈(－∞，－2

f(x)

1

2

2则不等式f(|x|)≤2的解集是__________．

1121α1解析：由表知＝()，∴α＝，∴f(x)＝x2.∴(|x|)2≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4. 222答案：{x|－4≤x≤4}

1x(x>0)，3．(2010年广东江门质检)设k∈R，函数f(x)＝F(x)＝f(x)＋kx，x∈R.当k＝1时，xe(x≤0)，F(x)的值域为__________．

1解析：当x>0时，F(x)＝＋x≥2；当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与幂函数的单x调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以k＝1时，F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)

－2

(x>0)，4．设函数f(x)＝2若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1x＋bx＋c

(x≤0)，的解集为__________．

x≤0，x>0，解析：由f(－4)＝f(0)，得b＝4.又f(－2)＝0，可得c＝4，∴2或x＋4x＋4≤1－2≤1，可得－3≤x≤－1或x>0.答案：{x|－3≤x≤－1或x>0} 2x＋4x，

x≥0，5．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a24x－x，

x<0.的取值范围是__________．

2x＋4x，x≥0，解析：函数f(x)＝的图象如图．

24x－x，x<0，知f(x)在R上为增函数．

∵f(2－a2)>f(a)，即2－a2>a. 解得－2

2解析：由题意定义域D为不等式ax＋bx＋c≥0的解集．∵ax224ac－b2b24ac－b＋bx＋c＝a(x＋)＋，∵a<0，∴0≤y≤

，∴所有点(s，f(t))，(s，t∈D)2a4a4a4ac－b22构成一个正方形区域，意味着方程ax＋bx＋c＝0的两根x1，x2应满足|x1－x2|＝

，4a4ac－b2b24cb2－4ac由根与系数的关系知＝2－＝，∴4a＝－a2.∵a<0，∴a＝－4.答案：－4 24aaaa－2＋x，x>0，7．(2010年辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝2若f(0)＝－2f(－1)＝1，则函－x＋bx＋c，x≤0.数g(x)＝f(x)＋x的零点的个数为__________．

111解析：∵f(0)＝1，∴c＝1.又f(－1)＝－，∴－1－b＋1＝－，∴b＝.当x>0时，g(x)22213＝－2＋2x＝0，∴x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋x＋1＋x＝0，∴x2－x－1＝0，∴x＝2(舍)221或x＝－，所以有两个零点．答案：2 2

8．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数；②b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．其中正确的命题是__________．

解析：c＝0时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数；b＝0，c>0时，f(x)＝x|x|＋c＝0，∴x≥0时，x2＋c＝0无解，x<0时，f(x)＝－x2＋c＝0，∴x＝－c，有一个实数根．答案：①②③

9．(2010年湖南长沙质检)对于区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间[a，b]中的任意数x均有|f(x)－g(x)|≤1，则称函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间．若m(x)＝x2－3x＋4与n(x)＝2x－3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是________．

①[3,4]

②[2,4]

③[2,3]

④[1,4] 解析：|m(x)－n(x)|≤1⇒|x2－5x＋7|≤1，解此绝对值不等式得2≤x≤3，故在区间[2,3]上|m(x)－n(x)|的值域为[0,1]，∴|m(x)－n(x)|≤1在[2,3]上恒成立．

答案：③

10．设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c

(1)证明：－3

(2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负并加以证明．

c＋1c＋11解：(1)证明：f(1)＝0⇒1＋2b＋c＝0⇒b＝－.又c

c＋1由b＝－知b≥0. 2(2)f(x)＝x2＋2bx＋c＝x2－(c＋1)x＋c＝(x－c)(x－1)，f(m)＝－1<0，

∴c0，

∴f(m－4)的符号为正．

a11．(2010年安徽合肥模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证：(1)a>02b3且－3<<－；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1、x2是函数f(x)的两个零a457点，则2≤|x1－x2|<. 4a证明：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0. 2又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b，

b3∴3a>－3a－2b>2b.∵a>0，∴－3<<－. a4(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，

a①当c>0时，∵a>0，∴f(0)＝c>0且f(1)＝－<0，

2∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．

a②当c≤0时，∵a>0，∴f(1)＝－<0且f(2)＝a－c>0，∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有2一个零点．综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点．

(3)∵x1、x2是函数f(x)的两个零点，则x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴x1＋x2bc3bb3b＝－，x1x2＝＝－－，∴|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝

(－)2－4(－－)＝

aa2aa2abb357(＋2)2＋2.∵－3<<－，∴2≤|x1－x2|<. aa4412．已知函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a<0，a、b∈R)，设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x1、x2，方程f(x)＝x的两实根为α、β.(1)若|α－β|＝1，求a、b的关系式；(2)若a、b均为负整数，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式；(3)若α<1<β<2，求证：(x1＋1)(x2＋1)<7.

解：(1)由f(x)＝x得ax2＋3x＋b＝0(a<0，a、b∈R)有两个不等实根为α、β，

3b∴Δ＝9－4ab>0，α＋β＝－，α·β＝.由|α－β|＝1得(α－β)2＝1，

aa94b即(α＋β)2－4αβ＝2－＝1，∴9－4ab＝a2，即a2＋4ab＝9(a<0，a、b∈R)．

aa(2)由(1)得a(a＋4b)＝9，∵a、b均为负整数，

a＝－1a＝－9a＝－3，∴或或显然后两种情况不合题意，应舍去，a＋4b＝－9a＋4b＝－1a＋4b＝－3，

a＝－1，a＝－1，从而有∴

a＋4b＝－9，b＝－2.故所求函数解析式为f(x)＝－x2＋4x－2. 4b3b(3)证明：由已知得x1＋x2＝－，x1·x2＝，又由α<1<β<2得α＋β＝－<3，α·β＝<2，aaaa1b4∴－<1，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1·x2＋(x1＋x2)＋1＝－＋1<2＋4＋1＝7，

aaa即(x1＋1)(x2＋1)<7. 第四节

函数的图像特征

A组

1．命题甲：已知函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．命题乙：函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．则甲、乙命题正确的是__________．

x解析：可举实例说明如f(x)＝2，依次作出函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象判断．答案：甲

xx2．(2010年济南市高三模拟考试)函数y＝·a(a>1)的图象的基本形状是_____．

|x|

解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y＝ax(x>0)，由指数函数图象易知①正确．

－ax(x<0)答案：①

13．已知函数f(x)＝()x－log3x，若x0是方程f(x)＝0的解，且50

1解析：分别作y＝()x与y＝log3x的图象，如图可知，当0log3x1，

5∴f(x1)>0.答案：正值

4．(2009年高考安徽卷改编)设a

解析：∵x>b时，y>0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正确．答案：③

5．(原创题)已知当x≥0时，函数y＝x2与函数y＝2x的图象如图x2所示，则当x≤0时，不等式2·x≥1的解集是__________．

x2解析：在2·x≥1中，令x＝－t，由x≤0得t≥0，

－t2∴2·(－t)≥1，即t2≥2t，由所给图象得2≤t≤4，

∴2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2. 答案：－4≤x≤－2

3－x2，x∈[－1,2]，6．已知函数f(x)＝

x－3，x∈(2,5]．(1)画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间．

解：(1)函数f(x)的图象如图所示．,

(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[-1,0]，[2,5]．

B组

1－x1.(2010年合肥市高三质检)函数f(x)＝ln的图象只可能是__________．

1＋x21＋x在定义域{x|－1

1＋x1＋x答案：①

2．家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下图所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是

解析：本题中f(x)的定义域为{x|－1

解析：运输效率是运输总量Q与时间t的函数的导数，几何意义为图象的切线，切线斜率的增长表明运输效率的提高，从图形看，②正确．

答案：②

3．如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图象交于A，B两点，过Bx作y轴的垂线交函数y＝4的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是__________．

解析：设C(a,4a)，所以A(a,2a)，B(2a,4a)，又O，A，B三点共线，aa24所以＝，故4a＝2×2a，所以2a＝0(舍去)或2a＝2，即a＝1，所以点a2aA的坐标是(1,2)．答案：(1,2) 4．已知函数f(x)＝4－x2，g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数y＝f(x)·g(x)的大致图象为__________．

解析：f(x)为偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)·g(x)为奇函数，图象关于原点对称，当x→＋∞时，f(x)→－∞，g(x)→＋∞，所以f(x)·g(x)→－∞答案：②

5．某加油机接到指令，给附近空中一运输机加油．运输机的余油量为Q1(吨)，加油机加油箱内余油Q2(吨)，加油时间为t分钟，Q1、Q2与时间t的函数关系式的图象如右图．若运输机加完油后以原来的速度飞行需11小时到达目的地，问运输机的油料是否够用？________. 解析：加油时间10分钟，Q1由30减小为0.Q2由40增加到69，因而10分钟时间内运输机用油1吨．以后的11小时需用油66吨．因69>66，故运输机的油料够用．答案：够用

6．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x的交点的个数为__________．

解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数y＝f(x)为周期为2的周期函数，作图．

答案：6 m7．函数y＝xn(m，n∈Z，m≠0，|m|，|n|互质)图象如图所示，论正确的是__________．

①mn>0，m，n均为奇数

则下列结

②mn<0，m，n一奇一偶

③mn<0，m，n均为奇数

④mn>0，m，n一奇一偶

解析：由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0，＋∞)上单调递减，此时只需保m|m|m证<0，即mn<0，有y＝xn＝x－|n|；同时函数只在第一象限有图象，则函数的定义域为(0，n＋∞)，此时|n|定为偶数，n即为偶数，由于两个数互质，则m定为奇数．答案：②

8．(2009年高考福建卷改编)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是

①y＝x2＋1 ②y＝|x|＋1 2x＋1，x≥0③y＝3

x＋1，x<0

ex，x≥0④y＝－x

e，x<0解析：∵f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2,0)上为减函数，而y＝x3＋1在(－∞，0)上为增函数．答案：③

9．(2010年安徽合肥模拟)已知函数图象C′与C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1关于直线y＝x对称，且图象C′关于点(2，－3)对称，则a的值为__________．

解析：∵C′与C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1关于直线y＝x对称，

1－a∴C′为x(y＋a＋1)＝ay＋a2＋1.整理得，y＋1＋a＝. x－a∵C′关于点(2，－3)对称，∴a＝2.答案：2 10．作下列函数的图象：

1－|x|1(1)y＝；(2)y＝|x－2|(x＋1)；(3)y＝；(4)y＝|log2x－1|；(5)y＝2|x－1|. |x|－1|1－x|1解：(1)定义域{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数．又当x≥0且x≠1时，y＝.先作x－111函数y＝的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝(x≥0且x≠1)的图象(如图xx－1(a)所示)．

1又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，得y＝的图象(如图(b)所示)．

|x|－1

(x－2)－4

(x≥2)，(2)函数式可化为y＝19－(x－)＋

(x<2).242219

其图象如图①所示．

1＋x1－x

(x<0)，(3)函数式化为y＝1

(0≤x<1)，－1

(x>1).

其图象如图②所示．

(4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示．

(5)先作出y＝2的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝2|x|的图象，再将y＝2|x|的图象向右平移1个单位长度，即得y－＝2|x1|的图象，如图④所示．

a1111．已知函数f(x)＝－x(a>0且a≠1)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称；22a＋ax(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．

11解：(1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点(，－)对称的点的坐22aaax标为(1－x，－1－y)．由已知，y＝－x，则－1－y＝－1＋x＝－x.,f(1－x)a＋aa＋aa＋aaaa·axax＝－1－x＝－＝－＝－x. aa＋aa＋a·axa＋a＋aax11∴－1－y＝f(1－x)．即函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称．

22(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)．即f(x)＋f(1－x)＝－1. ∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1. 则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3. x＋b113112．设函数f(x)＝(x∈R，且a≠0，x≠)．(1)若a＝，b＝－，指出f(x)与g(x)＝的图a22xax－1象变换关系以及函数f(x)的图象的对称中心；(2)证明：若ab＋1≠0，则f(x)的图象必关于直线y＝x对称．

3x－22x－3131解：(1)a＝，b＝－，f(x)＝＝＝2＋，

221x－2x－2x－12∴f(x)的图象可由g(x)的图象沿x轴右移2个单位，再沿y轴上移2个单位得到，f(x)的图象的对称中心为点(2,2)．

x0＋b(2)证明：设P(x0，y0)为f(x)图象上任一点，则y0＝，P(x0，y0)关于y＝x的对称点ax0－1x0＋by0＋b为P′(y0，x0)．由y0＝得x0＝.∴P′(y0，x0)也在f(x)的图象上．故f(x)的图象关于ax0－1ay0－1直线y＝x对称.